第3部分 深化2 第1讲　函数与方程思想 课件（共30张PPT）

深化二思想方法第1讲函数与方程思想第三部分学科素养考前深化函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的，函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求解，研究运动中的等量关系.考点1构造函数法构造函数法就是根据题中所给的式子结构，构造出相应的函数，然后再研究该函数的性质，如奇偶性、单调性等，达到解决问题的目的．一般情况下，比较大小、解不等式可能涉及构造函数法．【例1】(1)(2021·泰州市姜堰二中模拟)若12log3a＋3a－1＝log9b＋9b，则()A．a2bB．a2bC．ab2D．ab2(2)设0＜a＜1，e为自然对数的底数，则a，ae，ea－1的大小关系为()A．ea－1＜a＜aeB．ae＜a＜ea－1C．ae＜ea－1＜aD．a＜ea－1＜ae(3)设x，y为实数，满足(x－1)3＋2022(x－1)＝－1，(y－1)3＋2022(y－1)＝1，则x＋y＝________.(1)A(2)B(3)2[(1)∵12log3a＋3a－1＝log9b＋9b，∴log3a＋3a＝log3b＋32b＋1＝log3b＋32b＋log33log32b＋32b，设f(x)＝3x＋log3x，∵y＝3x在R上为增函数，y＝log3x在(0，＋∞)上为增函数，∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数，∴f(a)f(2b)，即a2b.故选A．(2)设f(x)＝ex－x－1，x＞0，则f′(x)＝ex－1＞0，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(0)＝0，f(x)＞0，∴ex－1＞x，即ea－1＞a.又y＝ax(0＜a＜1)在R上是减函数，得a＞ae，从而ea－1＞a＞ae.(3)令f(t)＝t3＋2022t，则f(t)为奇函数且在R上是增函数．由f(x－1)＝－1＝－f(y－1)＝f(1－y)，可得x－1＝1－y，∴x＋y＝2.]【点评】结构形式决定方法技巧，通过方程、不等式的特征构造函数，利用函数性质寻求变量间的关系是破解此类问题的关键．考点2分离参数法求参数范围分离参数法就是将参数和自变量分开，各自独立组团，互不相扰．(1)在求参数的取值范围时，应该先建立关于参数的等式或不等式，然后利用函数的定义域、值域或解不等式求解．在对式子变形的过程中，应优先选择分离参数的方法．(2)对于方程有解、不等式的恒成立问题或存在性问题，往往可以分离参数，然后再构造函数，把问题转化成求函数的值域或最值．【例2】(1)若对任意x∈(0，＋∞)，xex－2lnx＞2x＋a恒成立，则a的取值范围是()A．(－∞，－2ln2)B．(－∞，ln2)C．(－∞，2－2ln2)D．(－∞，2＋2ln2)(2)若方程cos2x－sinx＋a＝0在0，π2上有解，则实数a的取值范围为________．(1)C(2)(－1,1][(1)∵xex－2lnx＞2x＋a恒成立，∴a＜xex－2lnx－2x，设f(x)＝xex－2lnx－2x，对任意x∈(0，＋∞)，设t＝lnx＋x，则t∈R，设g(t)＝et－2t，则g′(t)＝et－2，令g′(t)＝0，解得t＝ln2，当t＜ln2时，g′(t)＜0，当t＞ln2时，g′(t)＞0，∴g(t)在(－∞，ln2)上是减函数，在(ln2，＋∞)上是增函数，∴g(t)≥g(ln2)＝2－2ln2，∴g(t)的最小值为2－2ln2，即f(x)的最小值为2－2ln2，∴a＜2－2ln2，故选C．(2)由cos2x－sinx＋a＝0，得a＝sin2x＋sinx－1.问题变成求函数a＝sin2x＋sinx－1在x∈0，π2上的值域问题．∵a＝sinx＋122－54，而0sinx≤1，∴－1a≤1，即a的取值范围为(－1,1]．]【点评】本题考查了函数思想，考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．考点3目标函数法求最值目标函数法即把所谓目标写成函数形式，然后再求其值域、最值的方法．有关长度、面积、体积以及数量积等的计算经常采用目标函数法．【例3】(2021·天津高考)已知△ABC是边长为1的等边三角形，D为线段BC上的动点，DE⊥AB且交AB于点E，DF∥AB且交AC于点F，则|2BE→＋DF→|＝______________，(DE→＋DF→)·DA→的最小值为________．11120[由题意，设|DC→|＝λ，λ∈(0,1)，则△DFC是边长为λ的等边三角形，∴|BD→|＝1－λ.在Rt△BED中，|BE→|＝1－λ2.又DF∥BA，∴BE→与DF→同向共线．(1)∴|2BE→＋DF→|＝2|BE→|＋|DF→|＝2×1－λ2＋λ＝1.(2)以B为原点，建立平面直角坐标系(图略)，则D(1－λ，0)，A12，32，F1－λ2，32λ，E1－λ4，31－λ4.∴DE→＋DF→＝5λ－34，3λ＋14，DA→＝λ－12，32.∴(DE→＋DF→)·DA→＝14(5λ2－4λ＋3)＝54λ－252＋1120.当且仅当λ＝25时，上式取得最小值1120.]【点评】本题考查平面向量的线性运算及数量积的运算，考查计算能力，考查函数思想，属于中等题．其中第一空还可以采用特殊位置法求解．考点4利用方程思想求值方程思想无处不在，只要涉及含有等量关系的条件或结论时，均可考虑到通过列方程或方程组求解．【例4】(1)如图，已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的一条渐近线交于P，Q两点，若∠PAQ＝60°，且OQ→＝3OP→，则双曲线C的离心率为()A．233B．72C．396D．3(2)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)＜c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为________．(1)B(2)9[(1)因为∠PAQ＝60°，|AP|＝|AQ|，所以|AP|＝|AQ|＝|PQ|，设|AQ|＝2R，又OQ→＝3OP→，则|OP|＝12|PQ|＝R.双曲线C的一条渐近线方程是y＝bax，A(a,0)，所以点A到直线y＝bax的距离d＝ba·a－0ba2＋－12＝aba2＋b2，所以aba2＋b22＝(2R)2－R2＝3R2，即a2b2＝3R2(a2＋b2)，在△OQA中，由余弦定理得，|OA|2＝|OQ|2＋|QA|2－2|OQ||QA|·cos60°＝(3R)2＋(2R)2－2×3R×2R×12＝7R2＝a2.由a2b2＝3R2a2＋b2，a2＝7R2，得a2＝7R2，b2＝214R2，所以双曲线C的离心率为e＝ca＝c2a2＝a2＋b2a2＝1＋b2a2＝1＋214R27R2＝72.(2)由题意知f(x)＝x2＋ax＋b＝x＋a22＋b－a24.因为f(x)的值域为[0，＋∞)，所以b－a24＝0，即b＝a24.所以f(x)＝x＋a22.又f(x)＜c，所以x＋a22＜c，即－a2－c＜x＜－a2＋c.所以－a2－c＝m，①－a2＋c＝m＋6.②②－①得2c＝6，所以c＝9.]【点评】(1)函数与方程的相互转化：对于方程f(x)＝0，可利用函数y＝f(x)的图象和性质求解问题．(2)解析几何中求斜率、截距、半径、点的坐标、离心率等几何量经常要用到方程(组)的思想；直线与圆锥曲线的位置关系问题，可以通过转化为一元二次方程，利用判别式进行解决；求变量的取值范围和最值问题常转化为求函数的值域、最值，用函数的思想分析解答．