第3部分 深化2 第4讲　转化与化归思想 课件（共24张PPT）

深化二思想方法第4讲转化与化归思想第三部分学科素养考前深化转化与化归思想方法适用于在研究、解决数学问题时，思维受阻或试图寻求简单方法或从一种情形转化到另一种情形，也就是转化到另一种情形使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式.考点1直接转化所谓直接转化就是一步到位，到位之后就可以用公式、定理等解决．【例1】(1)若sinπ3－α＝13，则cosπ3＋2α＝()A．79B．23C．－23D．－79(2)已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cos〈a，a＋b〉＝()A．－3135B．－1935C．1735D．1935(1)D(2)D[(1)∵sinπ3－α＝13，∴cosπ6＋α＝13，∴cosπ3＋2α＝cos2π6＋α＝2cos2π6＋α－1＝－79，故选D．(2)由a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝25－6＝19，又|a＋b|＝a2＋2a·b＋b2＝7，所以cos〈a，a＋b〉＝a·a＋b|a|·|a＋b|＝195×7＝1935，故选D．]【点评】直接转化的关键是发现待求问题与已知量间的关系，其中公式、原理等是实现直接转化的桥梁．考点2等价转化所谓等价转化，一是转化，将题干中陌生的情景转化为自己熟悉的，即化陌生为熟悉，用自己熟悉的方法解决问题，二是等价，这很关键！【例2】(1)如图，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M为CD中点，则四面体A­BC1M的体积为()A．12B．14C．16D．112(2)由命题“存在x0∈R，使ex0－1－m≤0”是假命题，得m的取值范围是(－∞，a)，则实数a的值是()A．(－∞，1)B．(－∞，2)C．1D．2(3)函数y＝cos2x－sinx在x∈0，π4上的最大值为________．(1)C(2)C(3)1[(1)在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，∵M为CD中点，∴S△ABM＝12×1×1＝12，∴VA­BC1M＝VC1­ABM＝13×12×1＝16.故选C．(2)由命题“存在x0∈R，使ex0－1－m≤0”是假命题，可知它的否定形式“任意x∈R，e|x－1|－m0”是真命题，可得m的取值范围是(－∞，1)，而(－∞，a)与(－∞，1)为同一区间，故a＝1.(3)y＝cos2x－sinx＝－sin2x－sinx＋1.令t＝sinx，又x∈0，π4，∴t∈0，22，∴y＝－t2－t＋1，t∈0，22.∵函数y＝－t2－t＋1在0，22上单调递减，∴t＝0时，ymax＝1.]【点评】根据命题的等价性对题目条件进行明晰化是解题常见思路．考点3正与反的相互转化正与反的转化，体现“正难则反”的原则，先从反面求解，再取反面答案的补集即可．一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单．因此，间接法多用于含有“至多”“至少”及否定型命题情形的问题中．【例3】(1)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是________．(2)若对于任意t∈[1,2]，函数g(x)＝x3＋m2＋2x2－2x在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m的取值范围是________．(1)710(2)－373，－5[(1)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学共有10种不同的选法，其中选出的2名同学都是男同学的选法有3种，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率为P＝1－310＝710.(2)由题意得g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2，若g(x)在区间(t,3)上总为单调函数，则①g′(x)≥0在(t,3)上恒成立，或②g′(x)≤0在(t,3)上恒成立．由①得3x2＋(m＋4)x－2≥0，即m＋4≥2x－3x在x∈(t,3)上恒成立，∴m＋4≥2t－3t恒成立，则m＋4≥－1，即m≥－5；由②得m＋4≤2x－3x在x∈(t,3)上恒成立，则m＋4≤23－9，则m≤－373.∴函数g(x)在区间(t,3)上总不为单调函数的m的取值范围为－373＜m＜－5.]【点评】对复杂问题可采用正难则反策略，也称为“补集法”；含两个变量的问题可以变换主元．考点4一般与特殊的转化一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单，也可以通过一般问题的特殊情形找到一般思路；特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果；对于某些选择题、填空题，可以把题中变化的量用特殊值代替，得到问题答案．【例4】(1)设四边形ABCD为平行四边形，|AB→|＝6，|AD→|＝4，若点M，N满足BM→＝3MC→，DN→＝2NC→，则AM→·NM→＝()A．20B．15C．9D．6(2)如图，在三棱锥S­ABC中，E，F，G，H分别为SA，AC，BC，SB的中点，则截面EFGH将该三棱锥分成的两部分的体积之比VABGHEFVSCGHEF＝________.(1)C(2)1[(1)(特例法)若四边形ABCD为矩形，建系如图所示．由BM→＝3MC→，DN→＝2NC→，知M(6,3)，N(4,4)，所以AM→＝(6,3)，NM→＝(2，－1)，AM→·NM→＝6×2＋3×(－1)＝9.(2)(秒杀解法)由于图形不确定，而答案固定，故假设该三棱锥为正四面体，则所截得的两部分形状一样，体积相等，故答案为1.]【点评】当题设所给信息比较宽泛时，我们时常弱化题设信息，采用特例法，灵活选择几何图形，达到解题快捷高效的目的.