【新高考复习】第一节 函数及其表示 教案

第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第一节函数及其表示核心素养立意下的命题导向1.以指数函数、对数函数、分式函数及带二次根号的函数为载体，考查函数的定义域，凸显数学运算的核心素养．2．考查换元法、待定系数法、解方程组法等在求函数解析式中的应用，凸显数学运算的核心素养．3．与不等式、方程、指数函数、对数函数相结合考查分段函数求值或求参数问题，凸显分类讨论思想的应用及数学运算的核心素养．[理清主干知识]1．函数的概念函数两集合A，B设A，B是两个非空的数集对应关系f：A→B如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数记法y＝f(x)，x∈A2．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．3．函数的表示方法函数的表示方法有三种，分别为解析法、列表法和图象法．同一个函数可以用不同的方法表示．4．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．5．分段函数的相关结论(1)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．[澄清盲点误点]一、关键点练明1．(相等函数的判断)下列f(x)与g(x)表示同一函数的是()A．f(x)＝x2－1与g(x)＝x－1·x＋1B．f(x)＝x与g(x)＝x3＋xx2＋1C．y＝x与y＝(x)2D．f(x)＝x2与g(x)＝3x3答案：B2．(函数的定义域)函数f(x)＝2x－1＋1x－2的定义域为________________．解析：由题意得2x－1≥0，x－2≠0，解得x≥0且x≠2.答案：[0,2)∪(2，＋∞)3．(函数的值域)已知函数f(x)＝2x－3，x∈{x∈N|1≤x≤5}，则函数f(x)的值域为____________．解析：∵x＝1,2,3,4,5，∴f(x)＝2x－3＝－1,1,3,5,7.∴f(x)的值域为{－1,1,3,5,7}．答案：{－1,1,3,5,7}4．(求函数的解析式)已知f(x)是一次函数，满足3f(x＋1)＝6x＋4，则f(x)＝________.解析：设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(x＋1)＝a(x＋1)＋b＝ax＋a＋b，依题设得3ax＋3a＋3b＝6x＋4，∴3a＝6，3a＋3b＝4，∴a＝2，b＝－23，则f(x)＝2x－23.答案：2x－235．(分段函数求值)已知函数f(x)＝log2x，x0，3x＋1，x≤0，则ff14的值是________．解析：由题意可得f14＝log214＝－2，∴ff14＝f(－2)＝3－2＋1＝109.答案：109二、易错点练清1．(对函数概念理解不清)已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列从P到Q的各对应关系f不是函数的是()A．f：x→y＝12xB．f：x→y＝13xC．f：x→y＝23xD．f：x→y＝x解析：选C对于C，因为当x＝4时，y＝23×4＝83∉Q，所以C不是函数．2．(忽视自变量范围)设函数f(x)＝x＋12，x1，4－x－1，x≥1，则使得f(x)≥1的自变量x的取值范围为__________________．解析：因为f(x)是分段函数，所以f(x)≥1应分段求解．当x1时，f(x)≥1⇒(x＋1)2≥1⇒x≤－2或x≥0，所以x≤－2或0≤x1.当x≥1时，f(x)≥1⇒4－x－1≥1，即x－1≤3，所以1≤x≤10.综上所述，x≤－2或0≤x≤10，即x∈(－∞，－2]∪[0,10]．答案：(－∞，－2]∪[0,10]3．(忽视新元范围)已知f(x)＝x－1，则f(x)＝________.解析：令t＝x，则t≥0，x＝t2，所以f(t)＝t2－1(t≥0)，即f(x)＝x2－1(x≥0)．答案：x2－1(x≥0)考点一函数的定义域考法(一)求函数的定义域[例1](1)函数f(x)＝lnx＋31－2x的定义域是()A．(－3,0)B．(－3,0]C．(－∞，－3)∪(0，＋∞)D．(－∞，－3)∪(－3,0)(2)已知函数f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝fx＋12＋fx－12的定义域是()A.12，1B.12，2C.12，32D.1，32[解析](1)∵f(x)＝lnx＋31－2x，∴要使函数f(x)有意义，需使x＋30，1－2x0，解得－3x0，即函数的定义域为(－3,0)．故选A.(2)由题意得0≤x＋12≤2，0≤x－12≤2，∴－12≤x≤32，12≤x≤52，∴12≤x≤32.故选C.[答案](1)A(2)C[方法技巧]1．根据具体的函数解析式求定义域的策略已知解析式的函数，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求解时只要根据函数解析式列出自变量满足的不等式(组)，得出不等式(组)的解集即可．2．求抽象函数的定义域的策略(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．3．求函数定义域应注意的问题(1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化；(2)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．考法(二)已知函数的定义域求参数[例2]若函数f(x)＝mx2＋mx＋1的定义域为一切实数，则实数m的取值范围是()A．[0,4)B．(0,4)C．[4，＋∞)D．[0,4][解析]由题意可得mx2＋mx＋1≥0恒成立．当m＝0时，1≥0恒成立；当m≠0时，则m0，m2－4m≤0，解得0m≤4.综上可得0≤m≤4.[答案]D[方法技巧]已知函数的定义域求参数问题的解题步骤(1)调整思维方向，根据已知函数，将给出的定义域问题转化为方程或不等式的解集问题；(2)根据方程或不等式的解集情况确定参数的取值或范围．[针对训练]1．函数y＝－x2＋2x＋3lgx＋1的定义域为()A．(－1,3]B．(－1,0)∪(0,3]C．[－1,3]D．[－1,0)∪(0,3]解析：选B要使函数有意义，x需满足－x2＋2x＋3≥0，x＋10，x＋1≠1，解得－1x0或0x≤3，所以函数的定义域为(－1,0)∪(0,3]．故选B.2．若函数f(x＋1)的定义域是[－1,1]，则函数f(log12x)的定义域为________．解析：∵f(x＋1)的定义域是[－1,1]，∴f(x)的定义域是[0,2]．令0≤log12x≤2，解得14≤x≤1，∴函数f(log12x)的定义域为14，1.答案：14，13．已知函数y＝1kx2＋2kx＋3的定义域为R，则实数k的取值范围是________．解析：当k＝0时，y＝13，满足条件；当k≠0时，由k0，4k2－12k0，得0k3.综上，0≤k3.答案：[0,3)考点二求函数解析式[典题例析](1)已知f2x＋1＝lgx，求f(x)的解析式．(2)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式．(3)已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x)的解析式．[解](1)(换元法)令2x＋1＝t，得x＝2t－1，代入得f(t)＝lg2t－1，又x0，所以t1，故f(x)的解析式是f(x)＝lg2x－1，x∈(1，＋∞)．(2)(待定系数法)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx，又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，所以2a＋b＝b＋1，a＋b＝1，解得a＝b＝12.所以f(x)＝12x2＋12x，x∈R.(3)(解方程组法)由f(－x)＋2f(x)＝2x，①得f(x)＋2f(－x)＝2－x，②①×2－②，得3f(x)＝2x＋1－2－x.即f(x)＝2x＋1－2－x3.故f(x)的解析式是f(x)＝2x＋1－2－x3，x∈R.[方法技巧]求函数解析式的常用方法待定系数法当函数的特征已经确定时，一般用待定系数法来确定函数解析式换元法如果给定复合函数的解析式，求外函数的解析式，通常用换元法将内函数先换元，然后求出外函数的解析式配凑法将f(g(x))右端的代数式配凑成关于g(x)的形式，进而求出f(x)的解析式解方程组法如果给定两个函数的关系式，可以通过变量代换建立方程组，再通过方程组求出函数解析式[针对训练]1．(换元法)已知函数f(x－1)＝xx＋1，则函数f(x)的解析式为()A．f(x)＝x＋1x＋2B．f(x)＝xx＋1C．f(x)＝x－1xD．f(x)＝1x＋2解析：选A令x－1＝t，则x＝t＋1，∴f(t)＝t＋1t＋2，即f(x)＝x＋1x＋2.故选A.2．(配凑法)已知二次函数f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，求f(x)的解析式．解：因为f(2x＋1)＝4x2－6x＋5＝(2x＋1)2－10x＋4＝(2x＋1)2－5(2x＋1)＋9，所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．3．(解方程组法)已知f(x)满足2f(x)＋f1x＝3x，求f(x)的解析式．解：∵2f(x)＋f1x＝3x，①∴把①中的x换成1x，得2f1x＋f(x)＝3x.②联立①②可得2fx＋f1x＝3x，2f1x＋fx＝3x，解此方程组可得f(x)＝2x－1x(x≠0)．考点三分段函数考法(一)分段函数求值[例1](1)设函数f(x)＝x2－2x，x≤0，fx－3，x0，则f(5)的值为()A．－7B．－1C．0D.12(2)(2021·宜昌调研)已知f(x)＝log3x，x0，ax＋b，x≤0(0a1)，且f(－2)＝5，f(－1)＝3，则f(f(－3))＝()A．－2B．2C．3D．－3[解析](1)f(5)＝f(5－3)＝f(2)＝f(2－3)＝f(－1)＝(－1)2－2－1＝12.故选D.(2)由题意得，f(－2)＝a－2＋b＝5，①f(－1)＝a－1＋b＝3，②联立①②，结合0a1，得a＝12，b＝1，所以f(x)＝log3x，x0，12x＋1，x≤0，则f(－3)＝12－3＋1＝9，f(f(－3))＝f(9)＝log39＝2，故选B.[答案](1)D(2)B[方法技巧]分段函数求值的解题思路求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．考法(二)分段函数与方程、不等式结合[例2](1)已知函数f(x)＝x＋1，－1x0，2x，x≥0.若实数a满足f(a)＝f(a－1)，则f1a＝()A．2B．4C．6D．8(2)已知函数f(x)＝log2x，x≥1，11－x，x1，则不等式f(x)≤1的解集为()A．(－∞，2]B．(－∞，0]∪(1,2]C．[0,2]D．(－∞，0]∪[1,2][解析](1)由题意得a0.当0a1时，由f(a)＝f(a－1)，