【新高考复习】第五节 对数与对数函数 教案

第五节对数与对数函数核心素养立意下的命题导向1.对数的运算性质与对数的换底公式相结合考查对数的运算，凸显数学运算的核心素养．2．与不等式等问题相结合考查对数函数的图象及其应用，凸显直观想象、数学运算的核心素养．3．与不等式等问题相结合考查对数函数的单调性、值域等性质，凸显直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养．[理清主干知识]1．对数概念如果ax＝N(a0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式性质对数式与指数式的互化：ax＝N⇔x＝logaNloga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N运算法则loga(M·N)＝logaM＋logaNa0，且a≠1，M0，N0logaMN＝logaM－logaNlogaMn＝nlogaM(n∈R)换底公式logab＝logcblogca(a0，且a≠1，c0，且c≠1，b0)2．对数函数的图象与性质y＝logaxa10a1图象性质定义域为(0，＋∞)值域为R过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0当x1时，y0；当x1时，y0；当0x1时，y0当0x1时，y0在区间(0，＋∞)上是增函数在区间(0，＋∞)上是减函数3．底数的大小决定了图象相对位置的高低不论是a＞1还是0＜a＜1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，如图，0cd1ab.在x轴上侧，图象从左到右相应的底数由小变大；在x轴下侧，图象从右到左相应的底数由小变大．(无论在x轴的上侧还是下侧，底数都按顺时针方向变大)4．反函数指数函数y＝ax(a0且a≠1)与对数函数y＝logax(a0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．[澄清盲点误点]一、关键点练明1．(对数式的计算)计算：2312log＋lg8＋32lg25＋92512＝________.答案：52．(换底公式的应用)log225·log34·log59＝________.答案：83．(对数函数图象过定点问题)已知函数y＝loga(x－3)－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．答案：(4，－1)4．(对数函数的定义域)函数y＝log2x－1的定义域为________．答案：[2，＋∞)5．(对数型函数的单调性)函数y＝log12(3x－1)的单调递减区间为________．答案：13，＋∞二、易错点练清1．(对数的运算性质不熟悉)有下列结论：①lg(lg10)＝0；②lg(lne)＝0；③若lgx＝1，则x＝10；④若log22＝x，则x＝1；⑤若logmn·log3m＝2，则n＝9.其中正确结论的序号是____________．答案：①②③④⑤2．(忽视真数大于零)已知lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，则xy＝________.答案：43．(忽视对底数的讨论)若函数y＝logax(a0，a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a＝________.答案：2或12考点一对数式的化简与求值[典例](1)(2020·全国卷Ⅰ)设alog34＝2，则4－a＝()A.116B.19C.18D．16(2)计算下列各式的值：①log535＋2log122－log5150－log514；②[(1－log63)2＋log62·log618]÷log64.[解析](1)选B因为alog34＝2，所以log34a＝2，则有4a＝32＝9，所以4－a＝14a＝19，故选B.(2)①原式＝log535＋log550－log514＋2log12212＝log535×5014＋log122＝log553－1＝2.②原式＝[(log66－log63)2＋log62×log6(2×32)]÷log64＝log6632＋log62×log62＋log632÷log622＝[(log62)2＋(log62)2＋2log62×log63]÷2log62＝log62＋log63＝log6(2×3)＝1.[方法技巧]解决对数运算问题的常用方法(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．(2)将同底对数的和、差、倍合并．(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．(4)利用常用对数中的lg2＋lg5＝1.[针对训练]1．(多选)(2021·山东临沂期末)若10a＝4,10b＝25，则()A．a＋b＝2B．b－a＝1C．ab8lg22D．b－alg6解析：选ACD由10a＝4,10b＝25，得a＝lg4，b＝lg25，∴a＋b＝lg4＋lg25＝lg100＝2，故A正确；b－a＝lg25－lg4＝lg254，∵lg10＝1lg254lg6，∴1b－alg6，故B错误，D正确；ab＝4lg2·lg54lg2·lg4＝8lg22，故C正确．故选A、C、D.2．计算：1－log632＋log62·log618log64＝________.解析：原式＝1－2log63＋log632＋log663×log66×3log64＝1－2log63＋log632＋1－log632log64＝21－log632log62＝log66－log63log62＝log62log62＝1.答案：13．已知log23＝a,3b＝7，则log37221的值为________．解析：由题意3b＝7，所以log37＝b.所以log37221＝log6384＝log284log263＝log222×3×7log232×7＝2＋log23＋log23·log372log23＋log23·log37＝2＋a＋ab2a＋ab.答案：2＋a＋ab2a＋ab考点二对数函数的图象及应用考法(一)对数函数图象的辨析[例1](2019·浙江高考)在同一直角坐标系中，函数y＝1ax，y＝logax＋12(a0，且a≠1)的图象可能是()[解析]法一：当a1时，函数y＝ax的图象过定点(0,1)，在R上单调递增，于是函数y＝1ax的图象过定点(0,1)，在R上单调递减，函数y＝logax＋12的图象过定点12，0，在－12，＋∞上单调递增．显然A、B、C、D四个选项都不符合．当0a1时，函数y＝ax的图象过定点(0,1)，在R上单调递减，于是函数y＝1ax的图象过定点(0,1)，在R上单调递增，函数y＝logax＋12的图象过定点12，0，在－12，＋∞上单调递减．因此，选项D中的两个图象符合，故选D.法二：易知a与1a必有1个大于1,1个小于1，则f(x)＝1ax与g(x)＝logax＋12在各自定义域内单调性相反，可排除B；由g12＝0可排除A、C.故选D.[答案]D[方法技巧]研究对数型函数图象的思路研究对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，要注意底数a1或0a1这两种不同情况．考法(二)对数函数图象的应用[例2]当0x≤12时，4xlogax，则a的取值范围是()A.0，22B.22，1C．(1，2)D．(2，2)[解析]构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，当a1时不满足条件，当0a1时，画出两个函数的图象如图所示，可知f12g12，即2loga12，则a22，所以a的取值范围为22，1.[答案]B[方法技巧]与对数型函数有关的方程或不等式问题常常结合对数函数的图象来解决，即数形结合法，应用时要准确画出图象，把方程根、不等式的解等问题转化为函数图象之间的问题．[针对训练]1．(2021·岳阳模拟)在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x0)与g(x)＝logax的图象可能是()解析：选A易知g(x)的图象过点(1,0)．若0a1，则函数f(x)＝xa(x0)单调递增，且递增趋势越来越慢，函数g(x)＝logax单调递减．显然四个选项不满足条件．若a1，则函数g(x)＝logax单调递增，函数f(x)＝xa(x0)单调递增且递增趋势越来越快，显然只有选项A满足条件．故选A.2．(2021·宜昌五校联考)已知函数f(x)＝|lnx|.若0ab，且f(a)＝f(b)，则a＋4b的取值范围是()A．(4，＋∞)B．[4，＋∞)C．(5，＋∞)D．[5，＋∞)解析：选C由f(a)＝f(b)得|lna|＝|lnb|，根据函数y＝|lnx|的图象及0ab，得－lna＝lnb,0a1b，1a＝b.令g(b)＝a＋4b＝4b＋1b，易得g(b)在(1，＋∞)上单调递增，所以g(b)g(1)＝5.3．已知函数f(x)＝|log12x|的定义域为12，m，值域为[0,1]，则m的取值范围为________．解析：作出f(x)＝|log12x|的图象(如图)，可知f12＝f(2)＝1，f(1)＝0，由题意结合图象知：1≤m≤2.答案：[1,2]考点三对数函数的性质及应用考法(一)与对数函数有关的函数定义域问题[例1]若函数y＝log2(mx2－2mx＋3)的定义域为R，则实数m的取值范围是()A．(0,3)B．[0,3)C．(0,3]D．[0,3][解析]由题意知mx2－2mx＋30恒成立．当m＝0时，30，符合题意；当m≠0时，只需m0，Δ＝－2m2－12m0，解得0m3.综上0≤m3，故选B.[答案]B[方法技巧]已知f(x)＝loga(px2＋qx＋r)(a0，且a≠1)的定义域为R，求参数范围时，要注意分p＝0，p≠0讨论．同时p≠0时应结合图象说明成立条件．考法(二)与对数函数有关的比较大小问题[例2](1)(2020·天津高考)设a＝30.7，b＝13－0.8，c＝log0.70.8，则a，b，c的大小关系为()A．abcB．bacC．bcaD．cab(2)(2020·全国卷Ⅰ)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则()A．a＞2bB．a＜2bC．a＞b2D．a＜b2[解析](1)由题知c＝log0.70.81，b＝13－0.8＝30.8，易知函数y＝3x在R上单调递增，所以b＝30.830.7＝a30＝1，所以cab，故选D.(2)法一：令f(x)＝2x＋log2x，因为y＝2x在(0，＋∞)上单调递增，y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝2x＋log2x在(0，＋∞)上单调递增．又2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b＜22b＋log2(2b)，所以f(a)＜f(2b)，所以a＜2b.故选B.法二：由2a＋log2a＝4b＋2log4b＝4b＋log2b，取b＝1，得2a＋log2a＝4.令f(x)＝2x＋log2x－4，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＜0，f(2)＞0，所以f(1)f(2)＜0，f(x)＝2x＋log2x－4在(0，＋∞)上存在唯一的零点，所以1＜a＜2，故a＞2b＝2，a＜b2都不成立，排除A、D；取b＝2，得2a＋log2a＝17.令g(x)＝2x＋log2x－17，则g(x)在(0，＋∞)上单调递增，且g(3)＜0，g(4)＞0，所以g(3)g(4)＜0，g(x)＝2x＋log2x－17在(0，＋∞)上存在唯一的零点，所以3＜a＜4，故a＞b2＝4不成立，排除C.故选B.[答案](1)D(2)B[方法技巧]对数函数值大小比较的方法单调性法在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底中间量过渡法寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”，“1”或其他特殊值进行“比较传递”图象法根据图象观察得出大小关系考法(三)与对数函数有关的不等式问题[例3]设函数f(x)＝log2x，x＞0，log12－x，x＜0.若f(a)＞