【新高考复习】课时跟踪检测（十） 对数与对数函数 作业

课时跟踪检测（十）对数与对数函数一、基础练——练手感熟练度1．log29·log32＋loga54＋loga45a(a0，且a≠1)的值为()A．2B．3C．4D．5解析：选B原式＝2log23×log32＋loga54×45a＝2×1＋logaa＝3.2．函数y＝log232x－1的定义域是()A．[1,2]B．[1,2)C.12，1D．12，1解析：选D由log23(2x－1)≥0⇒02x－1≤1⇒12x≤1.3．设a＝log3π，b＝log23，c＝log32，则a，b，c的大小关系是()A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．b＞a＞cD．b＞c＞a解析：选A因为a＝log3π＞log33＝1，b＝log23＜log22＝1，所以a＞b；又bc＝12log2312log32＝(log23)2＞1，c＞0，所以b＞c.故a＞b＞c.4．(多选)已知函数f(x)＝log12x＋1x，则下列结论正确的是()A．f(x)的定义域为(0，＋∞)B．f(x)的值域为[－1，＋∞)C．f(x)是奇函数D．f(x)在(0,1)上单调递增解析：选AD由题知f(x)＝log12x＋1x，则x＋1x0且x≠0，解得x0，所以f(x)的定义域为(0，＋∞)，故A正确；因为x＋1x≥2，所以f(x)≤－1，故B错误；因为f(x)的定义域不关于原点对称，所以f(x)不是奇函数，故C错误；当x∈(0,1)时，y＝x＋1x单调递减，y＝log12x也单调递减，故f(x)在(0,1)上单调递增，故D正确．故选A、D.5．已知a0，且a≠1，函数y＝loga(2x－3)＋2的图象恒过点P.若点P也在幂函数f(x)的图象上，则f(x)＝________.解析：设幂函数为f(x)＝xα，因为函数y＝loga(2x－3)＋2的图象恒过点P(2，2)，则2α＝2，所以α＝12，故幂函数为f(x)＝x12.答案：x126．函数y＝log2|x＋1|的单调递减区间为__________，单调递增区间为__________．解析：作出函数y＝log2x的图象，将其关于y轴对称得到函数y＝log2|x|的图象，再将图象向左平移1个单位长度就得到函数y＝log2|x＋1|的图象(如图所示)．由图知，函数y＝log2|x＋1|的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为(－1，＋∞)．答案：(－∞，－1)(－1，＋∞)二、综合练——练思维敏锐度1．已知函数f(x)＝lg(1＋4x2＋2x)＋2，则f(ln2)＋fln12＝()A．4B．2C．1D．0解析：选A由函数f(x)的解析式可得：f(x)＋f(－x)＝lg(1＋4x2＋2x)＋2＋lg(1＋4x2－2x)＋2＝lg(1＋4x2－4x2)＋4＝4，∴f(ln2)＋fln12＝f(ln2)＋f(－ln2)＝4.故选A.2．(多选)已知函数f(x)＝(log2x)2－log2x2－3，则下列说法正确的是()A．f(4)＝－3B．函数y＝f(x)的图象与x轴有两个交点C．函数y＝f(x)的最小值为－4D．函数y＝f(x)的最大值为4解析：选ABCA正确，f(4)＝(log24)2－log242－3＝－3；B正确，令f(x)＝0，得(log2x＋1)(log2x－3)＝0，解得x＝12或x＝8，即f(x)的图象与x轴有两个交点；C正确，因为f(x)＝(log2x－1)2－4(x＞0)，所以当log2x＝1，即x＝2时，f(x)取最小值－4；D错误，f(x)没有最大值．3．(2020·全国卷Ⅱ)若2x－2y＜3－x－3－y，则()A．ln(y－x＋1)＞0B．ln(y－x＋1)＜0C．ln|x－y|＞0D．ln|x－y|＜0解析：选A由2x－2y＜3－x－3－y，得2x－3－x＜2y－3－y，即2x－13x＜2y－13y.设f(x)＝2x－13x，则f(x)＜f(y)．因为函数y＝2x在R上为增函数，y＝－13x在R上为增函数，所以f(x)＝2x－13x在R上为增函数，则由f(x)＜f(y)，得x＜y，所以y－x＞0，所以y－x＋1＞1，所以ln(y－x＋1)＞0，故选A.4．设函数f(x)＝loga|x|(a0，且a≠1)在(－∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(2)的大小关系是()A．f(a＋1)f(2)B．f(a＋1)f(2)C．f(a＋1)＝f(2)D．不能确定解析：选A由已知得0a1，所以1a＋12，又易知函数f(x)为偶函数，故可以判断f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以f(a＋1)f(2)．5．(多选)(2021·青岛模拟)如果函数f(x)＝loga|x－1|在(0,1)上是减函数，那么()A．f(x)在(1，＋∞)上递增且无最大值B．f(x)在(1，＋∞)上递减且无最小值C．f(x)在定义域内是偶函数D．f(x)的图象关于直线x＝1对称解析：选AD由|x－1|＞0得，函数y＝loga|x－1|的定义域为{x|x≠1}．设g(x)＝|x－1|＝x－1，x＞1，－x＋1，x＜1，则g(x)在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，且g(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，D正确；因为f(x)＝loga|x－1|在(0,1)上是减函数，所以a＞1，所以f(x)＝loga|x－1|在(1，＋∞)上递增且无最大值，A正确，B错误；又f(－x)＝loga|－x－1|＝loga|x＋1|≠f(x)，所以C错误．故选A、D.6．5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C＝Wlog21＋SN.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中SN叫做信噪比．按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比SN从1000提升至2000，则C大约增加了()A．10%B．30%C．50%D．100%解析：选A将信噪比SN从1000提升至2000，C大约增加了Wlog21＋2000－Wlog21＋1000Wlog21＋1000＝log22001－log21001log21001≈10.967－9.9679.967≈10%，故选A.7．已知函数f(x)＝loga(2x－a)在区间12，23上恒有f(x)0，则实数a的取值范围是()A.13，1B．13，1C.23，1D．23，1解析：选A当0a1时，函数f(x)在区间12，23上是减函数，所以loga43－a0，即043－a1，解得13a43，故13a1；当a1时，函数f(x)在区间12，23上是增函数，所以loga(1－a)0，即1－a1，解得a0，此时无解．综上所述，实数a的取值范围是13，1.8．如果函数f(x)的图象与函数g(x)＝ex的图象关于直线y＝x对称，则f(4x－x2)的单调递增区间为________．解析：由题意得f(x)＝lnx(x0)．则f(4x－x2)＝ln(4x－x2)，0x4.若求f(4x－x2)的单调递增区间，就是求y＝4x－x2,0x4的单调递增区间．结合图象知y＝4x－x2(0x4)的单调递增区间为(0,2)，故f(4x－x2)的单调递增区间为(0,2)．答案：(0,2)9．已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a0，且a≠1)，若f(x)1在区间[1,2]上恒成立，则实数a的取值范围是________．解析：当a1时，f(x)＝loga(8－ax)在[1,2]上是减函数，由f(x)1在区间[1,2]上恒成立，得f(x)min＝loga(8－2a)1，解得1a83.当0a1时，f(x)在[1,2]上是增函数，由f(x)1在区间[1,2]上恒成立，得f(x)min＝loga(8－a)1，解得a4，且0a1，故不存在．综上可知，实数a的取值范围是1，83.答案：1，8310．已知函数f(x)＝loga(－x＋1)(a0且a≠1)在[－2,0]上的值域是[－1,0]，则实数a＝________；若函数g(x)＝ax＋m－3的图象不经过第一象限，则实数m的取值范围为________．解析：函数f(x)＝loga(－x＋1)(a0且a≠1)在[－2,0]上的值域是[－1,0]．当a1时，f(x)在[－2,0]上单调递减，∴f－2＝loga3＝0，f0＝loga1＝－1，无解；当0a1时，f(x)在[－2,0]上单调递增，∴f－2＝loga3＝－1，f0＝loga1＝0，解得a＝13.∵g(x)＝13x＋m－3的图象不经过第一象限，∴g(0)＝13m－3≤0，解得m≥－1，即实数m的取值范围是[－1，＋∞)．答案：13[－1，＋∞)11．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(0)＝0，当x0时，f(x)＝log12x.(1)求函数f(x)的解析式；(2)解不等式f(x2－1)－2.解：(1)当x0时，－x0，则f(－x)＝log12(－x)．因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)．所以当x0时，f(x)＝log12(－x)，所以函数f(x)的解析式为f(x)＝log12x，x0，0，x＝0，log12－x，x0.(2)因为f(4)＝log124＝－2，f(x)是偶函数，所以不等式f(x2－1)－2可化为f(|x2－1|)f(4)．又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以0|x2－1|4，解得－5x5且x≠±1，又x2－1＝0时，f(0)＝0－2，所以x∈(－5，5)．12．已知函数f(x)＝lgx＋ax－2，其中a是大于0的常数．(1)求函数f(x)的定义域；(2)当a∈(1,4)时，求函数f(x)在[2，＋∞)上的最小值；(3)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)0，试确定a的取值范围．解：(1)由x＋ax－20，得x2－2x＋ax0，当a1时，x2－2x＋a0恒成立，定义域为(0，＋∞)；当a＝1时，定义域为{x|x0且x≠1}；当0a1时，定义域为{x|0x1－1－a或x1＋1－a}．(2)设g(x)＝x＋ax－2，当a∈(1,4)，x∈[2，＋∞)时，g′(x)＝1－ax2＝x2－ax20.因此g(x)在[2，＋∞)上是增函数，∴f(x)在[2，＋∞)上是增函数．则f(x)min＝f(2)＝lga2.(3)对任意x∈[2，＋∞)，恒有f(x)0，即x＋ax－21对x∈[2，＋∞)恒成立．∴a3x－x2.令h(x)＝3x－x2，x∈[2，＋∞)．由于h(x)＝－x－322＋94在[2，＋∞)上是减函数，∴h(x)max＝h(2)＝2.故当a2时，恒有f(x)0.因此实数a的取值范围为(2，＋∞)．三、自选练——练高考区分度1．已知正实数a，b，c满足12a＝log2a，13b＝log2b，c＝log12c，则a，b，c的大小关系为()A．abcB．cbaC．bcaD．cab解析：选B因为c＝log12c，所以－c＝log2c.又12a＝log2a，13b＝log2b，所以a，b，c分别为y＝12x，y＝13x，y＝－x的图象与y＝log2x的图象交点的横坐标．在同一平面直角坐标系中，分别作出y＝12x，y＝13x，y＝－x与y＝log2x的图象，如图，由图可知cba，故选B.2．(多选)已知函数f(x)＝log12(2－x)－log2(x＋4)，则下列结论中错误的是()A．函数f(x)的定义域是[－4,2]B．函数y＝f(x－1)是偶函数C．函数f(x)在区间[