第七节 第1课时 系统知识牢基础——正弦定理、余弦定理及应用举例 课件

第七节正弦定理和余弦定理第1课时系统知识牢基础——正弦定理、余弦定理及应用举例知识点一正弦定理、余弦定理1．正、余弦定理及变形定理正弦定理余弦定理内容__________________＝2R(其中R是△ABC外接圆的半径)a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝_______________；c2＝_______________asinA＝bsinB＝csinCa2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosC定理正弦定理余弦定理变形形式a＝2RsinA，b＝_______，c＝________；sinA＝a2R；sinB＝_____；sinC＝___；a∶b∶c＝___________________；asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA；a＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝2RcosA＝b2＋c2－a22bc；cosB＝_____________；cosC＝______________2RsinB2RsinCb2Rc2RsinA∶sinB∶sinCa2＋c2－b22aca2＋b2－c22ab[提醒]若已知两边和其中一边的对角，解三角形时，可用正弦定理．在根据另一边所对角的正弦值确定角的值时，要注意避免增根或漏解，常用的基本方法就是注意结合“大边对大角，大角对大边”及三角形内角和定理去考虑问题．2．谨记常用结论(1)在三角形ABC中，A＋B＋C＝π，则①sinA＝sin(B＋C)，cosA＝－cos(B＋C)，tanA＝－tan(B＋C)．②sinA2＝cosB＋C2，cosA2＝sinB＋C2.③sinA＝sinB⇔A＝B；sin2A＝sin2B⇔A＝B或A＋B＝π2.④AB⇔ab⇔sinAsinB⇔cosAcosB．(2)三角形的面积S△ABC＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB＝abc4R＝12(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.[重温经典]1．(教材改编题)已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝π6，B＝π4，a＝1，则b＝()A．2B．1C.3D．2答案：D2．(教材改编题)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c.若2asinB＝3b，则角A等于()A.π3B．π4C.π6D．π12答案：A3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若B＝π6，c＝23，b＝2，则C＝()A.π3B．π3或2π3C.π4D．π4或5π4答案：B4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinAsinB＝ac，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为()A．直角三角形B．等腰非等边三角形C．等边三角形D．钝角三角形解析：∵sinAsinB＝ac，∴ab＝ac，∴b＝c.又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，∴b2＋c2－a2＝bc，∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝bc2bc＝12.∵A∈(0，π)，∴A＝π3，∴△ABC是等边三角形．答案：C5．(教材改编题)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若2sinB＝sinA＋sinC，cosB＝35，且S△ABC＝6，则b＝________.解析：在△ABC中，由正弦定理可得，2b＝a＋c，①由余弦定理可得，b2＝a2＋c2－2ac×35＝(a＋c)2－165ac，②由cosB＝35，得sinB＝45，故S△ABC＝12ac×45＝6，③由①②③得，b＝4.答案：46．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝4，b＝5，bc，△ABC的面积为53，则c＝________.解析：由三角形面积公式，得12×4×5sinC＝53，即sinC＝32.又ba，bc，所以C为锐角，于是C＝60°.由余弦定理，得c2＝42＋52－2×4×5cos60°，解得c＝21.答案：21知识点二解三角形应用举例测量中几个术语的意义及图形表示名称意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线___方的叫做仰角，目标视线在水平视线___方的叫做俯角方位角从某点的指___方向线起按______方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角，方位角θ的范围是____________上下北0°≤θ360°顺时针名称意义图形表示方向角_____或_____方向线与目标方向线所成的___角，通常表达为北(南)偏东(西)α例：(1)北偏东α：(2)南偏西α：正北正南锐[提醒](1)方位角和方向角本质上是一样的，方向角是方位角的一种表达形式，是同一问题中对角的不同描述．(2)将三角形的解还原为实际问题时，要注意实际问题中的单位、近似值要求，同时还要注意所求的结果是否符合实际情况．[重温经典]1．(教材改编题)如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为________m.答案：5022．海面上有A，B，C三个灯塔，AB＝10nmile，从A望C和B成60°视角，从B望C和A成75°视角，则BC＝________nmile.答案：563．已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A到C的距离为2km，B船在灯塔C北偏西40°，A，B两船的距离为3km，则B到C的距离为________km.解析：由条件知，∠ACB＝80°＋40°＝120°，设BC＝xkm，则由余弦定理知9＝x2＋4－4xcos120°，∵x0，∴x＝6－1.答案：6－14.某中学举行升旗仪式，在坡度为15°的看台E点和看台的坡脚A点，分别测得旗杆顶部的仰角分别为30°和60°，量得看台坡脚A点到E点在水平线上的射影B点的距离为10m，则旗杆的高是________m.解析：由题意得∠DEA＝45°，∠ADE＝30°，AE＝ABcos15°，所以AD＝AEsin45°sin30°＝2ABcos15°，因此CD＝ADsin60°＝2×10cos45°－30°×sin60°＝10(3－3)．答案：10(3－3)谢谢观看