【新高考复习】课时跟踪检测（十三） 函数模型及其应用 作业

课时跟踪检测（十三）函数模型及其应用1．有一组实验数据如下表所示：t12345s1.55.913.424.137下列所给函数模型较适合的是()A．y＝logax(a1)B．y＝ax＋b(a1)C．y＝ax2＋b(a0)D．y＝logax＋b(a1)解析：选C由题表中数据可知，s随t的增大而增大且增长速度越来越快，A、D中的函数的增长速度越来越慢，B中的函数的增长速度保持不变，C中的函数在x1时，y随x的增大而增大，且增长速度越来越快．故选C.2．某新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是()A．y＝100xB．y＝50x2－50x＋100C．y＝50×2xD．y＝100log2x＋100解析：选C根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数函数模型．故选C.3．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为()A.p＋q2B．p＋1q＋1－12C.pqD．p＋1q＋1－1解析：选D设年平均增长率为x，原生产总值为a，则a(1＋p)·(1＋q)＝a(1＋x)2，解得x＝1＋p1＋q－1，故选D.4．(多选)某工厂生产一种溶液，按市场要求该溶液的杂质含量不得超过0.1%，而这种溶液最初的杂质含量为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少13，若使这种溶液的杂质含量达到市场要求，则过滤次数可以为(参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477)()A．6B．7C．8D．9解析：选CD设经过n次过滤这种溶液的含量达到市场要求，则2100×1－13n≤11000，即23n≤120，两边取对数得nlg23≤－lg20，即n(lg2－lg3)≤－(1＋lg2)，得n≥1＋lg2lg3－lg2≈7.4，故选C、D.5．(2020·新高考全国卷Ⅰ)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)()A．1.2天B．1.8天C．2.5天D．3.5天解析：选B∵R0＝1＋rT，∴3.28＝1＋6r，∴r＝0.38.由题意，累计感染病例数增加1倍，则I(t2)＝2I(t1)，即e0.38t2＝2e0.38t1，∴e0.38(t2－t1)＝2，即0.38(t2－t1)＝ln2≈0.69，解得t2－t1≈1.8，故选B.6．(2021·安徽淮北月考)华罗庚是上世纪我国伟大的数学家，以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”“华氏不等式”“华王方法”等．他除了数学理论研究，还在生产一线大力推广了“优选法”和“统筹法”．“优选法”，是指研究如何用较少的试验次数，迅速找到最优方案的一种科学方法．在当前防疫取得重要进展的时刻，为防范机场带来的境外输入，某机场海关在对入境人员进行检测时采用了“优选法”提高检测效率：每16人为一组，把每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查，若为阴性，则全部放行；若为阳性，则对该16人再次抽检确认感染者．某组16人中恰有一人感染(鼻咽拭子样本检验将会是阳性)，若逐一检测可能需要15次才能确认感染者．现在先把这16人均分为2组，选其中一组8人的样本混合检查，若为阴性，则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组．继续把认定的这组的8人均分为2组，选其中一组4人的样本混合检查……依此类推，最终从这16人中认定那名感染者需要经过检测的次数为()A．3B．4C．6D．7解析：选B先把这16人均分为2组，选其中一组8人的样本混合检查，若为阴性，则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组，此时进行了1次检测．继续把认定的这组的8人均分为2组，选其中一组4人的样本混合检查，若为阴性，则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组，此时进行了2次检测．继续把认定的这组的4人均分为2组，选其中一组2人的样本混合检查，若为阴性，则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组，此时进行了3次检测．选认定的这组的2人中一人进行样本检查，若为阴性，则认定是另一个人；若为阳性，则认定为此人，此时进行了4次检测．所以，最终从这16人中认定那名感染者需要经过4次检测．故选B.7.如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若P处有一棵树与两墙的距离分别是4m和am(0a12)，不考虑树的粗细．现用16m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃ABCD，设此矩形花圃的最大面积为u，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数u＝f(a)(单位：m2)的图象大致是()解析：选B设AD长为x，则CD长为16－x.又因为要将P点围在矩形ABCD内，所以a≤x≤12.则矩形ABCD的面积为x(16－x)．当0a≤8时，当且仅当x＝8时，u＝64.当8a12时，u＝a(16－a)．所以u＝64，0a≤8，a16－a，8a12，分段画出函数图象，可得其形状与B选项中图象接近．故选B.8．某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费．某职工某月的水费为55元，则该职工这个月实际用水为()A．13立方米B．14立方米C．15立方米D．16立方米解析：选C设该职工某月的实际用水为x立方米时，水费为y元，由题意得y＝3x，0≤x≤10，30＋5x－10，x10，即y＝3x，0≤x≤10，5x－20，x10.易知该职工这个月的实际用水量超过10立方米，所以5x－20＝55，解得x＝15，故选C.9.某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形ABCD，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面面积为93平方米，且高度不低于3米．记防洪堤横断面的腰长为x米，外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y米．要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x的取值范围为()A．[2,4]B．[3,4]C．[2,5]D．[3,5]解析：选B根据题意知，93＝12(AD＋BC)h，其中AD＝BC＋2×x2＝BC＋x，h＝32x，所以93＝12(2BC＋x)32x，得BC＝18x－x2，由h＝32x≥3，BC＝18x－x20，得2≤x6.所以y＝BC＋2x＝18x＋3x2(2≤x6)，由y＝18x＋3x2≤10.5，解得3≤x≤4.因为[3,4]⊆[2,6)，所以腰长x的取值范围为[3,4]．故选B.10．成都市某物流公司为了配合“北改”项目顺利进行，决定把三环内的租用仓库搬迁到北三环外重新租地建设．已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1，y2分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站()A．5千米处B．4千米处C．3千米处D．2千米处解析：选A设仓库应建在离车站x千米处．因为仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，所以令反比例系数为m(m0)，则y1＝mx.当x＝10时，y1＝m10＝2，所以m＝20.因为每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，所以令正比例系数为n(n0)，则y2＝nx，当x＝10时，y2＝10n＝8，所以n＝45.所以两项费用之和为y＝y1＋y2＝20x＋4x5≥220x·4x5＝8，当且仅当20x＝4x5，即x＝5时取等号．所以要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站5千米处．故选A.11．中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可，良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史，考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量N随时间t(单位：年)的衰变规律满足N＝N0·2－t5730(N0表示碳14原有的质量)，则经过5730年后，碳14的质量变为原来的________；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的37至12，据此推测良渚古城存在的时期距今约在5730年到________年之间．(参考数据：lg2≈0.30，lg7≈0.85，lg3≈0.48)解析：∵N＝N0·25730t，∴当t＝5730时，N＝N0·2－1＝12N0.∴经过5730年后，碳14的质量变为原来的12.由题意可知25730t37，两边同时取以2为底的对数得，log225730tlog237，∴－t5730lg37lg2＝lg3－lg7lg2≈－1.2，∴t6876，∴推测良渚古城存在的时期距今约在5730年到6876年之间．答案：12687612．已知某品牌商品靠广告宣传得到的收入R与广告费A之间满足关系R＝aA(a为常数且a0)，广告效应D＝aA－A.那么对于此商品，精明的商人为了取得最大的广告效应，投入的广告费应为________．(用常数a表示)解析：由题意得D＝aA－A＝－A－a22＋a24，且A≥0，∴当A＝a2，即A＝a24时，D最大，最大为a24.答案：a2413．某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P(毫克/升)与时间t(小时)的关系为P＝P0e－kt，P0为过滤前的污染物数量．如果在前5小时消除了10%的污染物，那么污染物减少19%需要花费的时间为________小时．解析：由题设可得(1－0.1)P0＝P0e－5k，即0.9＝e－5k，故－5k＝ln0.9；又(1－0.19)P0＝P0e－kt，即0.81＝e－kt，故－kt＝ln0.81＝2ln0.9＝－10k，故t＝10.答案：1014.某人准备购置一块占地1800平方米的矩形地块，中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路(如阴影部分所示)，大棚占地面积为S平方米，其中a∶b＝1∶2，若要使S最大，则y＝________.解析：由题意可得xy＝1800，b＝2a，则y＝a＋b＋3＝3a＋3，S＝(x－2)a＋(x－3)×b＝(3x－8)a＝(3x－8)×y－33＝1808－3x－83y＝1808－3x－83×1800x＝1808－3x＋4800x≤1808－23x×4800x＝1808－240＝1568，当且仅当3x＝4800x，即x＝40时取等号，所以当S取得最大值时，y＝180040＝45.答案：4515．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数．当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4x≤20时，v是x的一次函数；当x达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v的值为0千克/年．(1)当0x≤20时，求函数v关于x的函数解析式；(2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值．解：(1)由题意得当0x≤4时，v＝2；当4x≤20时，设v＝ax＋b，显然v＝ax＋b在(4,20]内是减函数，由已知得20a＋b＝0，4a＋b＝2，解得a＝－18，b＝52，所以v＝－18x＋52，故函数v＝2，0x≤4，－18x＋52，4x≤20.(2)设年生长量为f(x)千克/立方米，依题意并由(1)可得，f(x)＝2x，0x≤4，－18x2＋52x，4x≤20，当0x≤4时，f(x)为增函数，故f