【新高考复习】第一节 平面向量的概念及线性运算 教案

第五章平面向量、复数第一节平面向量的概念及线性运算核心素养立意下的命题导向1.结合平面向量的有关概念，考查对向量特性的理解，凸显数学抽象的核心素养．2．结合向量的线性运算，考查用向量刻画平面图形的能力，凸显逻辑推理的核心素养．3．结合向量的线性运算的几何意义，考查数形结合的思想，凸显直观想象的核心素养．[理清主干知识]1．向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量，可在平面内自由平移零向量长度为0的向量记作0，其方向是任意的单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为±a|a|平行向量方向相同或相反的非零向量(又叫做共线向量)0与任一向量平行或共线相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不相等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|＝|λ||a|，当λ0时，λa的方向与a的方向相同；当λ0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.[澄清盲点误点]一、关键点练明1．(向量的有关概念)下列说法正确的是()A．方向相同的向量叫做相等向量B．共线向量是在同一条直线上的向量C．零向量的长度等于0D．AB―→∥CD―→就是AB―→所在的直线平行于CD―→所在的直线解析：选C长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故A不正确；方向相同或相反的非零向量叫做共线向量，但共线向量不一定在同一条直线上，故B不正确；显然C正确；当AB―→∥CD―→时，AB―→所在的直线与CD―→所在的直线可能重合，故D不正确．2．(多选·向量线性运算)下列各式中结果为零向量的为()A．AB―→＋BC―→＋CA―→B．AB―→＋MB―→＋BO―→＋OM―→C．OA―→＋OB―→＋BO―→＋CO―→D．AB―→－AC―→＋BD―→－CD―→答案：AD3．(共线向量定理)设a与b是两个不共线向量，且向量a＋xb与－(b－2a)共线，则x＝________.答案：－12二、易错点练清1．(多选·忽视零向量)下列命题中，正确的是()A．向量AB―→的长度与向量BA―→的长度相等B．向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反C．两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同D．零向量与任意数的乘积都为零答案：AC2．(忽视向量相等的条件)若四边形ABCD满足AD―→∥BC―→且|AB―→|＝|DC―→|，则四边形ABCD的形状是______________．解析：当|AD―→|＝|BC―→|时，四边形ABCD是平行四边形；当|AD―→|≠|BC―→|时，四边形ABCD是等腰梯形．答案：平行四边形或等腰梯形考点一平面向量的基本概念[典例](1)已知a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确的是()A．a＋b＝0B．a⊥bC．a与b共线反向D．存在正实数λ，使a＝λb(2)下列说法中，正确的是()A．a与b共线，b与c共线，则a与c共线B．任意两个相等的非零向量的始点与终点总是一平行四边形的四个顶点C．向量a与b不共线，则a与b都是非零向量D．有相同起点的两个非零向量不平行[解析](1)∵a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，∴向量a与b的方向相同，即存在正实数λ，使a＝λb，故选D.(2)A错，当b＝0时，由a与b共线，b与c共线推不出a与c共线；B错，任意两个相等的非零向量的始点与终点也可以在一条直线上；C正确，当a与b中有零向量时，它们一定共线；D错，有相同起点的两个非零向量也可以平行，即可以共线．故选C.[答案](1)D(2)C[方法技巧]解决向量问题的关键点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)共线向量即平行向量，它们均与起点无关．(3)相等向量不仅模相等，而且方向也相同，所以相等向量一定是平行向量，但平行向量未必是相等向量．(4)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的平移混为一谈．(5)非零向量a与a|a|的关系：a|a|是a方向上的单位向量，因此单位向量a|a|与a方向相同．(6)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能．但向量的模是非负实数，可以比较大小．(7)在解决向量的概念问题时，要注意两点：①不仅要考虑向量的大小，还要考虑向量的方向；②考虑零向量是否也满足条件．[针对训练]1．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，一定能使a|a|＋b|b|＝0成立的是()A．a＝2bB．a∥bC．a＝－13bD．a⊥b解析：选C由a|a|＋b|b|＝0得a|a|＝－b|b|≠0，即a＝－b|b|·|a|≠0，则a与b共线且方向相反，因此当向量a与向量b共线且方向相反时，能使a|a|＋b|b|＝0成立．对照各个选项可知，选项A中a与b的方向相同；选项B中a与b共线，方向相同或相反；选项C中a与b的方向相反；选项D中a与b互相垂直．2．设a0为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0，假命题的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：选D向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.考点二平面向量的线性运算考法(一)平面向量的线性运算[例1](1)(2020·新高考全国卷Ⅱ)若D为△ABC的边AB的中点，则CB―→＝()A．2CD―→－CA―→B．2CA―→－CD―→C．2CD―→＋CA―→D．2CA―→＋CD―→(2)如图所示，在△ABC中，点M是AB的中点，且AN―→＝12NC―→，BN与CM相交于点E，设AB―→＝a，AC―→＝b，则AE―→等于()A.25a＋15bB．15a＋25bC.13a＋13bD．25a＋45b[解析](1)∵D为△ABC的边AB的中点，∴CD―→＝12(CA―→＋CB―→)，∴CB―→＝2CD―→－CA―→，故选A.(2)由题意得AN―→＝13AC―→＝13b，AM―→＝12AB―→＝12a，由N，E，B三点共线可知，存在实数m，满足AE―→＝mAN―→＋(1－m)AB―→＝13mb＋(1－m)a.由C，E，M三点共线可知，存在实数n，满足AE―→＝nAM―→＋(1－n)AC―→＝12na＋(1－n)b，所以13mb＋(1－m)a＝12na＋(1－n)b.因为a，b为基底，所以1－m＝12n，13m＝1－n，解得m＝35，n＝45.所以AE―→＝25a＋15b，故选A.[答案](1)A(2)A[方法技巧]向量线性运算的解题策略(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则．(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．(3)用基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．考法(二)利用向量的线性运算求参数[例2]如图，一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E，F两点，且交其对角线AC于K，其中，AE―→＝25AB―→，AF―→＝12AD―→，AK―→＝λAC―→，则λ的值为()A.29B．27C.25D．23[解析]∵AE―→＝25AB―→，AF―→＝12AD―→，∴AB―→＝52AE―→，AD―→＝2AF―→.∵AC―→＝AB―→＋AD―→，∴AK―→＝λAC―→＝λ(AB―→＋AD―→)＝λ52AE―→＋2AF―→＝52λAE―→＋2λAF―→.由E，F，K三点共线可得，52λ＋2λ＝1，解得λ＝29，故选A.[答案]A[方法技巧]利用向量的线性运算求参数的方法与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量线性运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数．[针对训练]1．(2021·菏泽模拟)设M是△ABC所在平面上的一点，MB―→＋32MA―→＋32MC―→＝0，D是AC的中点，tMB―→＝DM―→，则实数t的值为()A.12B．13C．2D．1解析：选B因为D是AC的中点，所以MA―→＋MC―→＝2MD―→，又因为MB―→＋32MA―→＋32MC―→＝0，所以13MB―→＋12(MA―→＋MC―→)＝13MB―→＋MD―→＝0，所以13MB―→＝DM―→，因为tMB―→＝DM―→，所以t＝13.2.(多选)如图所示，在△ABC中，D是AB的中点，下列关于向量CD―→表示不正确的是()A．CD―→＝CA―→＋DB―→B．CD―→＝BC―→＋DA―→C．CD―→＝12AB―→＋AC―→D．CD―→＝12CA―→＋12CB―→解析：选BC对于A，因为D是AB的中点，所以AD―→＝DB―→，因为CD―→＝CA―→＋AD―→，所以CD―→＝CA―→＋DB―→，所以A正确；对于B，由三角形法则得，CD―→＝CB―→＋BD―→＝CB―→＋DA―→＝－BC―→＋DA―→，所以B不正确；对于C，CD―→＝CA―→＋AD―→＝12AB―→－AC―→，所以C不正确；对于D，因为D是AB的中点，所以CD―→＝12CA―→＋12CB―→，所以D正确．3．在正六边形ABCDEF中，对角线BD，CF相交于点P，若AP―→＝xAB―→＋yAF―→，则x＋y＝________.解析：如图，记正六边形ABCDEF的中心为点O，连接OB，OD，易证四边形OBCD为菱形且P恰为其中心．∴FP―→＝32FO―→＝32AB―→，∴AP―→＝AF―→＋FP―→＝AF―→＋32AB―→，∵AP―→＝xAB―→＋yAF―→，∴x＝32，y＝1，∴x＋y＝52.答案：52考点三共线向量定理的应用[典例](1)已知a，b是不共线的向量，AB―→＝λa＋b，AC―→＝a＋μb(λ，μ∈R)，若A，B，C三点共线，则λ，μ的关系一定成立的是()A．λμ＝1B．λμ＝－1C．λ－μ＝－1D．λ＋μ＝2(2)(2021·石家庄模拟)设e1与e2是两个不共线向量，AB―→＝3e1＋2e2，CB―→＝ke1＋e2，CD―→＝3e1－2ke2，若A，B，D三点共线，则k的值为________．[解析](1)∵AB―→与AC―→有公共点A，∴若A，B，C三点共线，则存在一个实数t使AB―→＝tAC―→，即λa＋b＝ta＋μtb，则λ＝t，μt＝1，消去参数t得λμ＝1；反之，当λμ＝1时，AB―→＝1μa＋b，此时存在实数1μ使AB―→＝1μAC―→，故AB―→和AC―→共线．∵AB―→与AC―→有公共点A，∴A，B，C三点共线．故选A.(2)由题意，A，B，D三点共线，故必存在一个实数λ，使得AB―→＝λBD―→.又AB―→＝3e1＋2e2，CB―→＝ke1＋e2，CD―→＝3e1－2ke2，所以BD―→＝CD―→－CB―→＝3e1－2ke2－(ke1＋e2)＝(3－k)e1－(2k＋1)e2，所以3e1＋2e2＝λ(3－k)e1－λ(2k＋1)e2，又e1与e2不共线，所以3＝λ3－k，2＝－λ2k＋1，解得k＝－94.[答案](1)A(2)－94[方法技巧]平面向量共线定理的3个应用证明向量共线若存在实数λ，使a＝λb，则a与非零向量b共线证明三点共线若存在实数λ，使AB―→＝λAC―→，AB―→与AC―→有公