【新高考复习】课时跟踪检测（九） 指数与指数函数 作业

课时跟踪检测（九）指数与指数函数一、基础练——练手感熟练度1．函数y＝ln(2x－1)的定义域是()A．[0，＋∞)B．[1，＋∞)C．(0，＋∞)D．(1，＋∞)解析：选C由2x－10，得x0，所以函数的定义域为(0，＋∞).2．函数y＝122x－x2的值域为()A.12，＋∞B．－∞，12C.0，12D．(0,2]解析：选A设t＝2x－x2，则t≤1，所以y＝12t，t≤1，所以y∈12，＋∞，故选A.3．化简4a23·b13÷－23a13b23的结果为()A．－2a3bB．－8abC．－6abD．－6ab解析：选C原式＝－6a2133b1233＝－6ab－1＝－6ab.4．已知函数f(x)＝4＋2ax－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是()A．(1,6)B．(1,5)C．(0,5)D．(5,0)解析：选A由于函数y＝ax的图象过定点(0,1)，当x＝1时，f(x)＝4＋2＝6，故函数f(x)＝4＋2ax－1的图象恒过定点P(1,6)．5．已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则a，b，c的大小关系是()A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．c＞a＞bD．b＞c＞a解析：选A由0.2＜0.6,0.4＜1，并结合指数函数的图象可知0.40.2＞0.40.6，即b＞c；因为a＝20.2＞1，b＝0.40.2＜1，所以a＞b.综上，a＞b＞c.二、综合练——练思维敏锐度1．(2021·衡水模拟)已知ab＝－5，则a－ba＋b－ab的值是()A．25B．0C．－25D．±25解析：选B由题意知ab0，a－ba＋b－ab＝a－aba2＋b－abb2＝a5a2＋b5b2＝a5|a|＋b5|b|＝0.故选B.2．已知0ba1，则在ab，ba，aa，bb中最大的是()A．baB．aaC．abD．bb解析：选C∵0ba1，∴y＝ax和y＝bx均为减函数，∴abaa，babb，又∵y＝xb在(0，＋∞)上为增函数，∴abbb，∴在ab，ba，aa，bb中最大的是ab.故选C.3．函数y＝132+1x的值域为()A．(0,1)B．(1，＋∞)C．(2，＋∞)D．(0,1)∪(1，＋∞)解析：选D由2x＋1≠0，得y＝132+1x≠1，又y0，所以值域为(0,1)∪(1，＋∞)，故选D.4．函数y＝ax(a0且a≠1)与函数y＝(a－1)x2－2x－1在同一个坐标系内的图象可能是()解析：选C两个函数分别为指数函数和二次函数，其中二次函数过点(0，－1)，故排除A、D；二次函数的对称轴为直线x＝1a－1，当0a1时，指数函数递减，1a－10，C符合题意；当a1时，指数函数递增，1a－10，B不符合题意，故选C.5．已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系是()A．abcB．acbC．cabD．cba解析：选C函数f(x)＝2|x－m|－1为偶函数，则m＝0，故f(x)＝2|x|－1，a＝f(log0.53)＝2|log0.53|－1＝2log23－1＝2，b＝f(log25)＝2log25－1＝4，c＝f(0)＝20－1＝0.所以cab，故选C.6．(2021·安徽皖江名校模拟)若ea＋πb≥e－b＋π－a，则有()A．a＋b≤0B．a－b≥0C．a－b≤0D．a＋b≥0解析：选D令f(x)＝ex－π－x，则f(x)在R上单调递增，因为ea＋πb≥e－b＋π－a，所以ea－π－a≥e－b－πb，则f(a)≥f(－b)，所以a≥－b，即a＋b≥0.故选D.7．(多选)已知函数f(x)＝2x－12x＋1，下面说法正确的有()A．f(x)的图象关于原点对称B．f(x)的图象关于y轴对称C．f(x)的值域为(－1,1)D．∀x1，x2∈R，且x1≠x2，fx1－fx2x1－x2＜0解析：选AC对于选项A，f(x)＝2x－12x＋1，定义域为R，则f(－x)＝2－x－12－x＋1＝1－2x1＋2x＝－f(x)，则f(x)是奇函数，图象关于原点对称，故A正确；对于选项B，计算f(1)＝2－12＋1＝13，f(－1)＝12－112＋1＝－13≠f(1)，故f(x)的图象不关于y轴对称，故B错误；对于选项C，f(x)＝2x－12x＋1＝1－21＋2x，令1＋2x＝t，t∈(1，＋∞)，则f(x)＝g(t)＝1－2t，易知1－2t∈(－1,1)，故f(x)的值域为(－1,1)，故C正确；对于选项D，易知函数t＝1＋2x在R上单调递增，且y＝1－2t在t∈(1，＋∞)上单调递增，根据复合函数的单调性，可知f(x)＝1－21＋2x在R上单调递增，故∀x1，x2∈R，且x1≠x2，fx1－fx2x1－x20，故D错误．故选A、C.8．化简：(23a2·b)(－6a·3b)÷(－36a·6b5)＝_______.解析：(23a2·b)(－6a·3b)÷(－36a·6b5)＝2a23·b12－6a12·b13÷－3a16·b56＝4a1621+-32·b5611+-23＝4a1·b0＝4a.答案：4a9．若函数f(x)＝ax－1(a0且a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a的值为________．解析：当0a1时，f(x)＝ax－1在[0,2]上为减函数，故f(x)max＝f(0)＝a0－1＝0，这与已知条件函数f(x)的值域是[0,2]相矛盾．当a1时，f(x)＝ax－1在[0,2]上为增函数，又函数f(x)的定义域和值域都是[0,2]，所以f0＝0，f2＝a2－1＝2，a1，解得a＝3，所以实数a的值为3.答案：310．当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x0恒成立，则实数m的取值范围是________．解析：∵(m2－m)·4x－2x0在(－∞，－1]上恒成立，∴(m2－m)12x在x∈(－∞，－1]上恒成立．∵y＝12x在(－∞，－1]上单调递减，∴当x∈(－∞，－1]时，y＝12x≥2，∴m2－m2，解得－1m2，故m的取值范围是(－1,2)．答案：(－1,2)11．设a0，且a≠1，函数y＝a2x＋2ax－1在[－1,1]上的最大值是14，求实数a的值．解：令t＝ax(a0，且a≠1)，则原函数化为y＝f(t)＝(t＋1)2－2(t0)．①当0a1，x∈[－1,1]时，t＝ax∈a，1a，此时f(t)在a，1a上为增函数．所以f(t)max＝f1a＝1a＋12－2＝14.所以1a＋12＝16，解得a＝－15(舍去)或a＝13.②当a1时，x∈[－1,1]，t＝ax∈1a，a，此时f(t)在1a，a上是增函数．所以f(t)max＝f(a)＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3或a＝－5(舍去)．综上得a＝13或3.12．已知函数f(x)＝2a·4x－2x－1.(1)当a＝1时，求函数f(x)在x∈[－3,0]上的值域；(2)若关于x的方程f(x)＝0有解，求a的取值范围．解：(1)当a＝1时，f(x)＝2·4x－2x－1＝2(2x)2－2x－1，令t＝2x，因为x∈[－3,0]，所以t∈18，1.故y＝2t2－t－1＝2t－142－98，t∈18，1，故值域为－98，0.(2)设2x＝m0，关于x的方程2a(2x)2－2x－1＝0有解，等价于方程2am2－m－1＝0在(0，＋∞)上有解，记g(m)＝2am2－m－1，当a＝0时，解为m＝－10，不成立．当a0时，开口向下，对称轴m＝14a0，过点(0，－1)，不成立．当a0时，开口向上，对称轴m＝14a0，过点(0，－1)，必有一个根为正．综上，a的取值范围为(0，＋∞)．13．已知定义域为R的函数f(x)＝－2x＋b2x＋1＋a是奇函数．(1)求a，b的值；(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)0恒成立，求k的取值范围．解：(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，即－1＋b2＋a＝0，解得b＝1，所以f(x)＝－2x＋12x＋1＋a.又由f(1)＝－f(－1)知－2＋14＋a＝－－12＋11＋a，解得a＝2.(2)由(1)知f(x)＝－2x＋12x＋1＋2＝－12＋12x＋1，由上式易知f(x)在R上为减函数，又因为f(x)是奇函数，从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)0等价于f(t2－2t)－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)．因为f(x)是R上的减函数，由上式推得t2－2t－2t2＋k.即对一切t∈R有3t2－2t－k0，从而Δ＝4＋12k0，解得k－13.故k的取值范围为－∞，－13.三、自选练——练高考区分度1．已知函数f(x)＝|2x－1|，abc且f(a)f(c)f(b)，则下列结论中，一定成立的是()A．a0，b0，c0B．a0，b≥0，c0C．2－a2cD．2a＋2c2解析：选D作出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图所示．因为abc且f(a)f(c)f(b)，结合图象知，0f(a)1，a0，c0，所以02a1.所以f(a)＝|2a－1|＝1－2a1，所以f(c)1，所以0c1.所以12c2，所以f(c)＝|2c－1|＝2c－1，又因为f(a)f(c)，所以1－2a2c－1，所以2a＋2c2，故选D.2．(多选)若实数x，y满足5x－4y＝5y－4x，则下列关系式中可能成立的是()A．x＝yB．1xyC．0xy1D．yx0解析：选ACD由题意，实数x，y满足5x－4y＝5y－4x，可化为4x＋5x＝5y＋4y，设f(x)＝4x＋5x，g(x)＝5x＋4x，由基本初等函数的性质，可得f(x)，g(x)在R上都是单调递增函数，画出函数y＝f(x)，y＝g(x)的大致图象，如图所示．根据图象可知，当x＝0时，f(0)＝g(0)＝1；当x＝1时，f(1)＝g(1)＝9.故当x＝y＝0或1时，f(x)＝g(y)，所以5x－4y＝5y－4x成立，故A正确；当1xy时，f(x)g(y)，故B不正确；当0xy1时，f(x)＝g(y)可能成立，故C正确；当yx0时，f(x)＝g(y)可能成立，故D正确．故选A、C、D.3．(多选)设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如，[－3.5]＝－4，[2.1]＝2.已知函数f(x)＝ex1＋ex－12，则关于函数g(x)＝[f(x)]和f(x)的叙述中正确的是()A．g(x)是偶函数B．f(x)是奇函数C．f(x)在R上是增函数D．g(x)的值域是{}－1，0，1解析：选BC根据题意知f(x)＝ex1＋ex－12＝12－11＋ex，定义域为R.∵g(1)＝[f(1)]＝e1＋e－12＝0，g(－1)＝[f(－1)]＝1e＋1－12＝－1，∴g(1)≠g(－1)，g(1)≠－g(－1)，∴函数g(x)既不是奇函数也不是偶函数，A错误；∵f(－x)＝e－x1＋e－x－12＝11＋ex－12＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，B正确；由复合函数的单调性知f(x)＝12－11＋ex在R上是增函数，C正确；∵ex0，∴1＋ex1，∴－12f(x)12，∴g(x)＝[f(x)]的值域是{}－1，0，D错误．故选B、C.