第三节 不等式的性质及一元二次不等式 课件

第三节不等式的性质及一元二次不等式核心素养立意下的命题导向1.与命题的真假判断相结合，考查不等式的性质，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养．2．结合二次函数的图象，考查一元二次不等式的解法，凸显直观想象、数学运算的核心素养．3．结合“三个二次”间的关系，考查转化与化归能力，凸显数学抽象的核心素养．4．与实际问题相结合，考查应用不等式性质、一元二次不等式解决问题的能力，凸显数学建模的核心素养．[理清主干知识]1．两个实数比较大小的依据(1)ab⇔a－b0；(2)a＝b⇔a－b0；(3)ab⇔a－b0.2．不等式的性质性质性质内容注意对称性ab⇔；ab⇔可逆传递性ab，bc⇒；ab，bc⇒同向可加性ab⇔a＋cb＋c可逆ba＝baacac性质性质内容注意可乘性ab，c0⇒；ab，c0⇒c的符号同向可加性ab，cd⇒同向同向同正可乘性ab0，cd0⇒同向，同正可乘方性ab0，n∈N*⇒同正可开方性ab0，n∈N，n≥2⇒同正acbcacbca＋cb＋dacbdanbnnanb3.三个“二次”间的关系判别式Δ＝b2－4acΔ0Δ＝0Δ0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象判别式Δ＝b2－4acΔ0Δ＝0Δ0一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a0)的根有两相异实根x1，x2(x1x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c0(a0)的解集ax2＋bx＋c0(a0)的解集{x|xx2或xx1}xx≠－b2aR{x|x1xx2}∅∅[澄清盲点误点]一、关键点练明1．(不等式的判断)若ab0，则下列不等式不能成立的是()A.1a－b1aB.1a1bC．|a||b|D．a2b2解析：取a＝－2，b＝－1，则1a－b1a不成立．答案：A2．(实数大小比较)设A＝(x－3)2，B＝(x－2)(x－4)，则A与B的大小关系为()A．A≥BB．ABC．A≤BD．AB解析：因为A－B＝(x2－6x＋9)－(x2－6x＋8)＝10，所以AB.故选B.答案：B3．(解一元二次不等式)函数f(x)＝log2(－x2－3x＋4)的定义域为________．解析：由－x2－3x＋40得x2＋3x－40，解得－4x1，故f(x)的定义域为(－4,1)．答案：(－4,1)4．(一元二次不等式恒成立)若集合A＝{x|x2－ax＋10}＝R，则实数a的取值范围是________．解析：由题意知不等式x2－ax＋10恒成立，故Δ＝a2－40，解得－2a2.答案：(－2,2)5．(不等式性质)若1α3，－4β2，则α－|β|的取值范围是________．解析：∵－4β2，∴0≤|β|4，∴－4－|β|≤0.∴－3α－|β|3.答案：(－3,3)二、易错点练清1．(乘法运算忽视符号)已知实数a∈(－3,1)，b∈18，14，则ab的取值范围是()A．(－12,8)B．(－24,8)C．(－24,4)D．(－12,4)解析：当－3a≤0时，ab∈(－24,0]；当0a1时，ab∈(0,8)．综上可知ab∈(－24,8)．答案：B2．(没有等价变形)不等式x(x＋5)3(x＋5)的解集为________．解析：原不等式等价于(x＋5)(x－3)0，解得－5x3，故不等式的解集为(－5,3)．答案：(－5,3)3．(忽视二次项的符号)不等式(x－2)(3－2x)≥0的解集为________．解析：由(x－2)(3－2x)≥0得(x－2)(2x－3)≤0，解得32≤x≤2，故不等式的解集为32，2.答案：32，24．(忽视对含参二次项系数的讨论)若不等式mx2＋2mx－42x2＋4x对任意x都成立，则实数m的取值范围是________．解析：原不等式可整理为(2－m)x2＋(4－2m)x＋40.当m＝2时，不等式为40，该不等式恒成立；当m≠2时，必须满足2－m0，4－2m2－4×42－m0，解得－2m2.综上知实数m的取值范围是(－2,2]．答案：(－2,2]考点一不等式的性质及应用[典例](1)已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是()A．c≥baB．ac≥bC．cbaD．acb(2)若1a1b0，给出下列不等式：①1a＋b1ab；②|a|＋b0；③a－1ab－1b；④lna2lnb2.其中正确的不等式是()A．①④B．②③C．①③D．②④[解析](1)∵c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，∴c≥b.又b＋c＝6－4a＋3a2，∴2b＝2＋2a2，∴b＝a2＋1，∴b－a＝a2－a＋1＝a－122＋340，∴ba，∴c≥ba.(2)因为1a1b0，故可取a＝－1，b＝－2.显然|a|＋b＝1－2＝－10，所以②错误；因为lna2＝ln(－1)2＝0，lnb2＝ln(－2)2＝ln40，所以④错误．综上所述，可排除A、B、D.[答案](1)A(2)C[方法技巧]1．比较两个数(式)大小的2种方法2．谨记2个注意点(1)与命题真假判断相结合问题．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．(2)在求式子的范围时，如果多次使用不等式的可加性，式子中的等号不能同时取到，会导致范围扩大．[针对训练]1．(多选)已知实数a，b，c满足cba且ac0，则下列不等式一定成立的是()A．abacB．c(b－a)0C．ac(a－c)0D．cb2ab2解析：因为cba且ac0，所以c0，a0，所以abac，故A一定成立；又b－a0，所以c(b－a)0，故B一定成立；又a－c0，ac0，所以ac(a－c)0，故C一定成立；当b＝0时，cb2＝ab2，当b≠0时，有cb2ab2，故D不一定成立，故选A、B、C.答案：ABC2．(多选)(2020·新高考全国卷Ⅰ)已知a0，b0，且a＋b＝1，则()A．a2＋b2≥12B．2a－b12C．log2a＋log2b≥－2D.a＋b≤2解析：∵a2＋b2≥a＋b22＝12，∴A正确；易知0a1,0b1，∴－1a－b1，∴2a－b2－1＝12，∴B正确；对于选项C，令a＝14，b＝34，则log214＋log234＝－2＋log234－2，∴C错误；∵(a＋b)2＝a＋b＋2ab＝1＋2ab≤1＋a＋b＝2，∴a＋b≤2，∴D正确．故选A、B、D.答案：ABD考点二一元二次不等式的解法[例1](2021·南京调研)不等式2x＋3－x20的解集是()A．{x|－1x3}B．{x|x3或x－1}C．{x|－3x1}D．{x|x1或x－3}[解析]原不等式变形为x2－2x－30，即(x－3)(x＋1)0，解得－1x3.故选A.[答案]A[例2](2021·湖南六校联考)已知常数a∈R，解关于x的不等式12x2－axa2.[解]∵12x2－axa2，∴12x2－ax－a20，即(4x＋a)(3x－a)0.令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得x1＝－a4，x2＝a3.①当a0时，－a4a3，解集为{x|x－a4或xa3}；②当a＝0时，x20，解集为{x|x∈R且x≠0}；③当a0时，－a4a3，解集为{x|xa3或x－a4}.综上所述：当a0时，不等式的解集为{x|x－a4或xa3}；当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；当a0时，不等式的解集为x|xa3或x－a4.[方法技巧]解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．(2)当不等式对应方程的实根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无实根时可直接写出解集，确定方程有两个实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式．[针对训练]1．(多选)下列四个不等式中，解集为∅的是()A．－x2＋x＋1≤0B．2x2－3x＋4＜0C．x2＋3x＋10≤0D．－x2＋4x－a＋4a＞0(a＞0)解析：对于A，－x2＋x＋1≤0，对应的函数y＝－x2＋x＋1开口向下，显然解集不为∅；对于B，2x2－3x＋4＜0，对应的函数开口向上，Δ＝9－32＜0，其解集为∅；对于C，x2＋3x＋10≤0，对应的函数开口向上，Δ＝9－40＜0，其解集为∅；对于D，－x2＋4x－a＋4a＞0(a＞0)，对应的函数开口向下，Δ＝16－4a＋4a≤16－4×2a×4a＝0，其解集为∅.故选B、C、D.答案：BCD2．已知实数a满足不等式－3a3，求关于x的不等式(x－a)(x＋1)0的解集．解：方程(x－a)(x＋1)＝0的两根为－1，a.①当a－1，即－3a－1时，原不等式的解集为{x|xa或x－1}；②当a＝－1时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠－1}；③当a－1，即－1a3时，原不等式的解集为{x|x－1或xa}．综上所述，当－3a－1时，原不等式的解集为{x|xa或x－1}；当a＝－1时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠－1}；当－1a3时，原不等式的解集为{x|x－1或xa}．考点三一元二次不等式的综合应用考法(一)“三个二次”之间的关系及应用[例1]若不等式ax2＋bx＋c0的解集为{x|－1x2}，那么不等式a(x2＋1)＋b(x－1)＋c2ax的解集为()A．{x|－2x1}B．{x|x－2或x1}C．{x|0x3}D．{x|x0或x3}[解析]由题意a(x2＋1)＋b(x－1)＋c2ax，整理得ax2＋(b－2a)x＋(a＋c－b)0，①又不等式ax2＋bx＋c0的解集为{x|－1x2}，则a0，且－1,2分别为方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系得－1＋2＝－ba，－1×2＝ca，即ba＝－1，ca＝－2.②将①两边同除以a得x2＋ba－2x＋1＋ca－ba0，将②代入①得x2－3x0，解得0x3，故选C.[答案]C[方法技巧]“三个二次”之间的关系若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根是x1，x2，则x1，x2是不等式ax2＋bx＋c0(或ax2＋bx＋c0)解集的端点，也是函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标．考法(二)一元二次不等式的恒(能)成立问题题点1一元二次不等式在实数集R上的恒成立问题[例2]若不等式2kx2＋kx－380对一切实数x都成立，则k的取值范围为_____．[解析]当k＝0时，显然成立；当k≠0时，即一元二次不等式2kx2＋kx－380对一切实数x都成立，则k0，Δ＝k2－4×2k×－380，解得－3k0.综上，满足不等式2kx2＋kx－380对一切实数x都成立的k的取值范围是(－3,0]．[答案](－3,0][方法技巧]一元二次不等式在R上恒成立的条件不等式类型恒成立条件ax2＋bx＋c0a0，Δ0ax2＋bx＋c≥0a0，Δ≤0ax2＋bx＋c0a0，Δ0ax2＋bx＋c≤0a0，Δ≤0题点2一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题[例3]设函数f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若对于x∈[1,3]，f(x)－m＋5恒成立，则m的取值范围是________________．[解析]f(x)－m＋5即mx2－mx＋m－60，故mx－122＋34m－60在x∈[1,3]上恒成立．法一：令g(x)＝mx－122