【新高考复习】课时跟踪检测（二十五） 平面向量的概念及线性运算 作业

课时跟踪检测（二十五）平面向量的概念及线性运算一、基础练——练手感熟练度1．(多选)设a，b是非零向量，记a与b所成的角为θ，下列四个条件中，使a|a|＝b|b|成立的充要条件是()A．a∥bB．θ＝0C．a＝2bD．θ＝π解析：选BCa|a|＝b|b|等价于非零向量a与b同向共线，即θ＝0，故B正确．对于选项C，a＝2b，则a与b同向共线，故C正确．2．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则EB―→＋FC―→＝()A．AD―→B．12AD―→C.12BC―→D．BC―→解析：选A由题意得EB―→＋FC―→＝12(AB―→＋CB―→)＋12(AC―→＋BC―→)＝12(AB―→＋AC―→)＝AD―→.3．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是()A．a与λa的方向相反B．a与λ2a的方向相同C．|－λa|≥|a|D．|－λa|≥|λ|·a解析：选B对于A，当λ0时，a与λa的方向相同，当λ0时，a与λa的方向相反；B正确；对于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定；对于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小．4.如图，在正六边形ABCDEF中，BA―→＋CD―→＋EF―→＝()A．0B．BE―→C．AD―→D．CF―→解析：选D由题图知BA―→＋CD―→＋EF―→＝BA―→＋AF―→＋CB―→＝CB―→＋BF―→＝CF―→.5．在△ABC中，O为△ABC的重心，若BO―→＝λAB―→＋μAC―→，则λ－2μ＝()A．－12B．－1C.43D．－43解析：选D如图，延长BO交AC于点M，∵点O为△ABC的重心，∴M是AC的中点，∴BO―→＝23BM―→＝2312BA―→＋12BC―→＝13BA―→＋13BC―→＝－13AB―→＋13(AC―→－AB―→)＝－23AB―→＋13AC―→，又BO―→＝λAB―→＋μAC―→，∴λ＝－23，μ＝13，∴λ－2μ＝－43，故选D.二、综合练——练思维敏锐度1．已知两个非零向量a，b互相垂直，若向量m＝4a＋5b与n＝2a＋λb共线，则实数λ的值为()A．5B．3C.52D．2解析：选C∵a，b是非零向量，且互相垂直，∴4a＋5b≠0，m≠0.∵m，n共线，∴n＝μm，即2a＋λb＝μ(4a＋5b)，∴2＝4μ，λ＝5μ.解得λ＝52.2．设平面向量a，b不共线，若AB―→＝a＋5b，BC―→＝－2a＋8b，CD―→＝3(a－b)，则()A．A，B，D三点共线B．A，B，C三点共线C．B，C，D三点共线D．A，C，D三点共线解析：选A∵AB―→＝a＋5b，BC―→＝－2a＋8b，CD―→＝3(a－b)，∴AD―→＝AB―→＋BC―→＋CD―→＝(a＋5b)＋(－2a＋8b)＋3(a－b)＝2(a＋5b)＝2AB―→，∴AD―→与AB―→共线，即A，B，D三点共线．3．已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且2OP―→＝2OA―→＋BA―→，则()A．点P在线段AB上B．点P在线段AB的反向延长线上C．点P在线段AB的延长线上D．点P不在直线AB上解析：选B因为2OP―→＝2OA―→＋BA―→，所以2AP―→＝BA―→，所以点P在线段AB的反向延长线上．4．(多选)在△ABC中，点E，F分别是边BC和AC的中点，P是AE与BF的交点，则有()A．AE―→＝12AB―→＋12AC―→B．AB―→＝2EF―→C．CP―→＝13CA―→＋13CB―→D．CP―→＝23CA―→＋23CB―→解析：选AC如图，根据三角形中线性质和平行四边形法则知，AE―→＝AB―→＋BE―→＝AB―→＋12BC―→＝AB―→＋12(AC―→－AB―→)＝12(AC―→＋AB―→)，A是正确的；因为EF是中位线，所以AB―→＝2FE―→，B是错误的；设AB的中点为G，则根据三角形重心性质知，CP＝2PG，所以CP―→＝23CG―→＝23×12()CA―→＋CB―→＝13()CA―→＋CB―→，所以C是正确的，D错误．5．设向量a，b不共线，AB―→＝2a＋pb，BC―→＝a＋b，CD―→＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为()A．－2B．－1C．1D．2解析：选B因为BC―→＝a＋b，CD―→＝a－2b，所以BD―→＝BC―→＋CD―→＝2a－b.又因为A，B，D三点共线，所以AB―→，BD―→共线．设AB―→＝λBD―→，所以2a＋pb＝λ(2a－b)，所以2＝2λ，p＝－λ，即λ＝1，p＝－1.6．(多选)已知向量OA―→＝(1，－3)，OB―→＝(－2,1)，OC―→＝(t＋3，t－8)，若点A，B，C能构成三角形，则实数t可以为()A．－2B．12C．1D．－1解析：选ABD若点A，B，C能构成三角形，则A，B，C三点不共线，故向量AB―→，BC―→不共线．由于向量OA―→＝(1，－3)，OB―→＝(－2,1)，OC―→＝(t＋3，t－8)，故AB―→＝OB―→－OA―→＝(－3,4)，BC―→＝OC―→－OB―→＝(t＋5，t－9)，若A，B，C三点不共线，则－3(t－9)－4(t＋5)≠0，∴t≠1.7．已知点O为△ABC的外接圆的圆心，且OA―→＋OB―→＋CO―→＝0，则△ABC的内角A等于()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：选A由OA―→＋OB―→＋CO―→＝0，得OA―→＋OB―→＝OC―→，由O是△ABC外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知，四边形OACB为菱形，且∠CAO＝60°，故∠CAB＝30°，选A.8．已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d共线反向，则实数λ的值为()A．1B．－12C．1或－12D．－1或－12解析：选B由于c与d共线反向，则存在实数k使c＝kd(k0)，于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]，整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.由于a，b不共线，所以有λ＝k，2λk－k＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－12.又因为k0，所以λ0，故λ＝－12.9．在△ABC中，D为△ABC所在平面内一点，且AD―→＝13AB―→＋12AC―→，则S△BCDS△ABD＝()A.16B．13C.12D．23解析：选B如图，由已知得，点D在△ABC中与AB平行的中位线上，且在靠近BC边的三等分点处，从而有S△ABD＝12S△ABC，S△ACD＝13S△ABC，S△BCD＝1－12－13S△ABC＝16S△ABC，所以S△BCDS△ABD＝13.10.如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点或终点的向量中，与向量OA―→相等的向量有________个．解析：根据正六边形的性质和相等向量的定义，易知与向量OA―→相等的向量有CB―→，DO―→，EF―→，共3个．答案：311.如图，在△ABC中，点D，E是线段BC上两个动点，且AD―→＋AE―→＝xAB―→＋yAC―→，则1x＋4y的最小值为________．解析：易知x，y均为正数，设AD―→＝mAB―→＋nAC―→，AE―→＝λAB―→＋μAC―→，∵B，C，D共线，∴m＋n＝1，同理，λ＋μ＝1.∵AD―→＋AE―→＝xAB―→＋yAC―→＝(m＋λ)AB―→＋(n＋μ)AC―→，∴x＋y＝m＋n＋λ＋μ＝2.∴1x＋4y＝121x＋4y(x＋y)＝125＋yx＋4xy≥125＋2yx·4xy＝92，当且仅当y＝2x时等号成立，则1x＋4y的最小值为92.答案：9212．在△ABC中，P为BC的中点，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cAC―→＋aPA―→＋bPB―→＝0，则△ABC的形状为________．解析：∵在△ABC中，P为BC的中点，∴PA―→＝－12(AB―→＋AC―→)，又∵cAC―→＋aPA―→＋bPB―→＝0，PB―→＝12CB―→＝12(AB―→－AC―→)，∴cAC―→－12a(AB―→＋AC―→)＋12b(AB―→－AC―→)＝0，∴c－a＋b2AC―→－a－b2AB―→＝0，即c－a＋b2AC―→＝a－b2AB―→，又AB―→，AC―→不共线，∴a－b2＝0，c－a＋b2＝0，解得a＝b＝c，∴△ABC为等边三角形．答案：等边三角形13．在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝23，BC＝2，点E在线段CD上，若AE―→＝AD―→＋μAB―→，则μ的取值范围是________．解析：由题意可求得AD＝1，CD＝3，∴AB―→＝2DC―→.∵点E在线段CD上，∴DE―→＝λDC―→(0≤λ≤1)．∵AE―→＝AD―→＋DE―→，又AE―→＝AD―→＋μAB―→＝AD―→＋2μDC―→＝AD―→＋2μλDE―→，∴2μλ＝1，即μ＝λ2.∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤12，即μ的取值范围是0，12.答案：0，1214．如图，O，A，B三点不共线，OC―→＝2OA―→，OD―→＝3OB―→，设OA―→＝a，OB―→＝b.(1)试用a，b表示向量OE―→；(2)设线段AB，OE，CD的中点分别为L，M，N，试证明：L，M，N三点共线．解：(1)∵B，E，C三点共线，∴OE―→＝xOC―→＋(1－x)OB―→＝2xa＋(1－x)b，①同理，∵A，E，D三点共线，可得OE―→＝ya＋3(1－y)b，②由①②，得2x＝y，1－x＝31－y，解得x＝25，y＝45，∴OE―→＝45a＋35b.(2)证明：∵OL―→＝a＋b2，OM―→＝12OE―→＝4a＋3b10，ON―→＝12(OC―→＋OD―→)＝2a＋3b2，∴MN―→＝ON―→－OM―→＝6a＋12b10，ML―→＝OL―→－OM―→＝a＋2b10，∴MN―→＝6ML―→，又∵MN―→与ML―→有公共点M，∴L，M，N三点共线．15．已知a，b不共线，OA―→＝a，OB―→＝b，OC―→＝c，OD―→＝d，OE―→＝e，设t∈R，如果3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值；若不存在，请说明理由．解：由题设知，CD―→＝d－c＝2b－3a，CE―→＝e－c＝(t－3)a＋tb，C，D，E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得CE―→＝kCD―→，即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.因为a，b不共线，所以有t－3＋3k＝0，t－2k＝0，解得t＝65.故存在实数t＝65使C，D，E三点在一条直线上．