第三节 二次函数与幂函数 课件

第三节二次函数与幂函数核心素养立意下的命题导向1.与不等式、方程等问题综合考查幂函数的图象与性质，凸显数学抽象、逻辑推理的核心素养．2．与一元二次方程、一元二次不等式相结合考查二次函数的图象与性质，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．[理清主干知识]1．幂函数的定义形如(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是，α为．对于幂函数，只讨论α＝1,2,3，12，－1时的情形．y＝xα自变量常数2．五种幂函数的图象与性质函数y＝xy＝x2y＝x3y＝x12y＝x－1定义域RRR{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数函数y＝xy＝x2y＝x3y＝x12y＝x－1单调性在R上单调递增在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增在R上单调递增在(0，＋∞)上单调递增在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减图象过定点(0,0)，(1,1)(1,1)3.二次函数解析式的三种形式一般式f(x)＝，图象的对称轴是x＝－b2a，顶点坐标是－b2a，4ac－b24a顶点式f(x)＝，图象的对称轴是x＝m，顶点坐标是(m，n)零点式f(x)＝，其中x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，图象的对称轴是x＝x1＋x22ax2＋bx＋c(a≠0)a(x－m)2＋n(a≠0)a(x－x1)(x－x2)(a≠0)4．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质a0a0图象定义域R值域4ac－b24a，＋∞－∞，4ac－b24a奇偶性b＝0时为偶函数，b≠0时既不是奇函数也不是偶函数a0a0单调性在____________上单调递减，在______________上单调递增在____________上单调递增，在______________上单调递减最值当x＝－b2a时，ymin＝_______当x＝_____时，ymax＝4ac－b24a－∞，－b2a－b2a，＋∞－∞，－b2a－b2a，＋∞4ac－b24a－b2a[澄清盲点误点]一、关键点练明1．(幂函数的概念)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点12，22，则k＋α＝()A.12B．1C.32D．2答案：C2．(幂函数的图象)如图是①y＝xa；②y＝xb；③y＝xc在第一象限的图象，则a，b，c的大小关系为()A．cbaB．abcC．bcaD．acb答案：D3．(二次函数的图象)已知抛物线y＝8x2－(m＋1)x＋m－7的顶点在x轴上，则m＝________.答案：154．(二次函数的值域)函数f(x)＝2x2－6x＋1在区间[－1,1]上的最小值是______，最大值是________．答案：－39二、易错点练清1．(图象特征把握不准)如图，若a0，b0，则函数y＝ax2＋bx的大致图象是()答案：C2．(对二次函数的单调性理解不到位)若函数y＝mx2＋x＋2在[3，＋∞)上是减函数，则m的取值范围是________．答案：－∞，－163．(忽视幂函数的定义域)已知幂函数f(x)＝x12，若f(a＋1)f(10－2a)，则a的取值范围为________．答案：(3,5)考点一幂函数的图象与性质[典例](1)与函数y＝x12－1的图象关于x轴对称的图象大致是()(2)已知a＝345，b＝425，c＝1215，则a，b，c的大小关系为()A．bacB．abcC．cbaD．cab[解析](1)y＝x12的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数y＝x12－1的图象可看作由y＝x12的图象向下平移一个单位得到的(如选项A中的图象所示)，将y＝x12－1的图象关于x轴对称后即为选项B.(2)因为a＝8115，b＝1615，c＝1215，由幂函数y＝x15在(0，＋∞)上为增函数，知abc，故选C.[答案](1)B(2)C[方法技巧]幂函数图象与性质的应用(1)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性；(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．[针对训练]1．(多选)已知函数f(x)＝xα的图象经过点(4,2)，则()A．函数f(x)在定义域内为增函数B．函数f(x)为偶函数C．当x1时，f(x)1D．当0x1x2时，fx1＋fx22fx1＋x22解析：由题意得4α＝2，∴α＝12，∴f(x)＝x12＝x，∴函数f(x)在0，＋∞上单调递增，且为非奇非偶函数，故A正确，B错误；当x1时，f(x)＝x1，故C正确；由函数图象知f(x)＝x为“上凸函数”，故D正确，故选A、C、D.答案：ACD2．当x∈(0，＋∞)时，幂函数y＝(m2－m－1)x－5m－3为减函数，则实数m的值为()A．m＝2B．m＝－1C．m＝－1或m＝2D．m≠1±52解析：因为函数y＝(m2－m－1)x－5m－3既是幂函数又是(0，＋∞)上的减函数，所以m2－m－1＝1，－5m－30，解得m＝2.答案：A3．若(2m＋1)12(m2＋m－1)12，则实数m的取值范围是()A.－∞，－5－12B.5－12，＋∞C．(－1,2)D.5－12，2解析：因为函数y＝x12的定义域为[0，＋∞)，且在定义域内为增函数，所以不等式等价于2m＋1≥0，m2＋m－1≥0，2m＋1m2＋m－1.解得m≥－12，m≤－5－12或m≥5－12，－1m2，即5－12≤m2.故选D.答案：D考点二求二次函数的解析式[典例]已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．[解]法一：利用一般式设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由题意得4a＋2b＋c＝－1，a－b＋c＝－1，4ac－b24a＝8，解得a＝－4，b＝4，c＝7.∴所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7.法二：利用顶点式设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线的对称轴为x＝2＋－12＝12，∴m＝12.又根据题意，函数有最大值8，∴n＝8，∴f(x)＝ax－122＋8.∵f(2)＝－1，∴a2－122＋8＝－1，解得a＝－4，∴f(x)＝－4x－122＋8＝－4x2＋4x＋7.法三：利用零点式由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1(a≠0)．又函数有最大值ymax＝8，即4a－2a－1－a24a＝8.解得a＝－4或a＝0(舍去)．∴所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.[方法技巧]求二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：[针对训练]1．已知二次函数f(x)的图象的顶点坐标是(－2，－1)，且图象经过点(1,0)，则函数的解析式f(x)＝________________.解析：法一：设所求解析式为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．依题意得－b2a＝－2，4a－2b＋c＝－1，a＋b＋c＝0，解得a＝19，b＝49，c＝－59，因此所求解析式为f(x)＝19x2＋49x－59.法二：设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．∵二次函数f(x)图象的顶点坐标是(－2，－1)，∴f(x)＝a(x＋2)2－1.∵图象经过点(1,0)，∴f(1)＝a(1＋2)2－1＝9a－1＝0，∴a＝19，∴f(x)＝19(x＋2)2－1＝19x2＋49x－59.答案：19x2＋49x－592．已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，求函数f(x)的解析式．解：∵f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，∴f(x)的对称轴为x＝2.又∵f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，∴f(x)＝0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)．又∵f(x)的图象经过点(4,3)，∴3a＝3，a＝1.∴所求f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3.考点三二次函数的图象与性质考法(一)二次函数的图象识别[例1](多选)设函数f(x)＝x2＋x＋a(a＞0)，若f(m)＜0，则()A．f(m＋1)＞0B．f(m＋1)＜0C．f(－2－m)＞0D．f(－2－m)＜0[解析]因为f(x)的对称轴为x＝－12，f(0)＝a＞0，所以f(x)的大致图象如图所示．由f(m)＜0，得－1＜m＜0，所以m＋1＞0＞－12，所以f(m＋1)＞f(0)＞0，f(－2－m)＝f(m＋1)＞0，故选A、C.[答案]AC[方法技巧]识别二次函数图象应学会“三看”考法(二)二次函数的最值问题[例2](1)若函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在[－1,2]上有最大值4，则a的值为_____．(2)设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值．[解析](1)∵f(x)＝a(x＋1)2＋1－a.①当a＝0时，函数f(x)在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；②当a0时，函数f(x)在区间[－1,2]上是增函数，最大值为f(2)＝8a＋1＝4，解得a＝38；③当a0时，函数f(x)在区间[－1,2]上是减函数，最大值为f(－1)＝1－a＝4，解得a＝－3.综上可知，a的值为38或－3.答案：38或－3(2)f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函数图象的对称轴为直线x＝1.当t＋11，即t0时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，所以最小值为f(t＋1)＝t2＋1；当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，函数图象如图(2)所示，在x＝1处取得最小值，最小值为f(1)＝1；当t1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，所以最小值为f(t)＝t2－2t＋2.综上可知，f(x)min＝t2＋1，t0，1，0≤t≤1，t2－2t＋2，t1.[方法技巧]二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)在[m，n]上的最值情况mn－b2am－b2an，即－b2a∈(m，n)－b2amn图象最大值、最小值f(x)max＝f(m)，f(x)min＝f(n)f(x)max＝max{f(n)，f(m)}，f(x)min＝f－b2af(x)max＝f(n)，f(x)min＝f(m)考法(三)二次函数中恒成立问题[例3](1)已知关于x的不等式2kx2＋kx－380恒成立，求实数k的取值范围．(2)若对∀x∈[－1,0]，不等式－2x2＋4x＋6＋t≤4恒成立，求实数t的取值范围．[解](1)∵关于x的不等式2kx2＋kx－380恒成立，∴k＝0或2k0，Δ＝k2＋3k0，即k＝0或－3k0，∴实数k的取值范围为{k|－3k≤0}．(2)由－2x2＋4x＋6＋t≤4得∀x∈[－1,0]，t≤2x2－4x－2恒成立．当－1≤x≤0时，2x2－4x－2∈[－2,4]，∴t≤－2.∴实数t的取值范围是(－∞，－2]．[方法技巧]二次函数中恒成立问题的解题思路(1)ax2＋bx＋c0(a≠0)恒成立的充要条件是a0，b2－4ac0；(2)ax2＋bx＋c0(a≠0)恒成立的充要条件是a0，b2－4ac0；(3)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max