【新高考复习】课时跟踪检测（二十七） 平面向量的数量积及应用 作业

课时跟踪检测（二十七）平面向量的数量积及应用一、综合练——练思维敏锐度1．已知向量a＝(－1,2)，b＝(3,1)，c＝(x,4)，若(a－b)⊥c，则c·(a＋b)＝()A．(2,12)B．(－2,12)C．14D．10解析：选C由题意可得，a－b＝(－4,1)，由(a－b)⊥c，得(－4)×x＋1×4＝0，即－4x＋4＝0，解得x＝1，所以c＝(1,4)．又a＋b＝(2,3)，所以c·(a＋b)＝1×2＋4×3＝14.2．已知非零向量a，b的夹角为60°，且|b|＝1，|2a－b|＝1，则|a|＝()A.12B．1C.2D．2解析：选A由题意得a·b＝|a|×1×12＝|a|2，又|2a－b|＝1，∴|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝4|a|2－2|a|＋1＝1，即4|a|2－2|a|＝0，又|a|≠0，解得|a|＝12.3．已知a＝(2sin13°，2sin77°)，|a－b|＝1，a与a－b的夹角为π3，则a·b＝()A．2B．3C．4D．5解析：选B因为a＝(2sin13°，2sin77°)，所以|a|＝2sin13°2＋2sin77°2＝2sin13°2＋2cos13°2＝2，又因为|a－b|＝1，向量a与a－b的夹角为π3，所以cosπ3＝a·a－b|a||a－b|＝a2－a·b2×1＝4－a·b2×1＝12，所以a·b＝3，故选B.4.如图，正六边形ABCDEF的边长为2，则AC―→·BD―→＝()A．2B．3C．6D．12解析：选CAC―→·BD―→＝(AB―→＋BC―→)·(AD―→－AB―→)＝(AB―→＋BC―→)·(2BC―→－AB―→)＝2|BC―→|2＋BC―→·AB―→－|AB―→|2＝8＋2×2×12－4＝6.5．(多选)(2021·石家庄质检)已知向量a＝(6,2)，b＝(－2，k)，k为实数，则下列结论正确的是()A．若a·b＝6，则k＝9B．若|a＋b|≤5，则－5≤k≤1C．不存在实数k，使(a－b)⊥b成立D．若a与b的夹角为钝角，则k6解析：选ABC对于A，由a·b＝6×(－2)＋2k＝6，解得k＝9，A正确；对于B，a＋b＝(4,2＋k)，由|a＋b|≤5，得16＋(2＋k)2≤25，解得－5≤k≤1，B正确；对于C，因为a－b＝(8,2－k)，由(a－b)⊥b，得(8,2－k)·(－2，k)＝0，即k2－2k＋16＝0，此方程无解，所以不存在实数k，使(a－b)⊥b成立，C正确；对于D，若a与b的夹角为钝角，则a·b0，且a与b不共线，即6×(－2)＋2k0,6k－(－2)×2≠0，解得k6且k≠－23，D错误，故选A、B、C.6.如图，半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝2π3，P是弧AB上的一点，且满足OP⊥OB，M，N分别是线段OA，OB上的动点，则PM―→·PN―→的最大值为()A.22B．32C．1D．2解析：选C∵扇形OAB的半径为1，∴|OP―→|＝1，∵OP⊥OB，∴OP―→·OB―→＝0.∵∠AOB＝2π3，∴∠AOP＝π6，∴PM―→·PN―→＝(PO―→＋OM―→)·(PO―→＋ON―→)＝PO―→2＋ON―→·PO―→＋OM―→·PO―→＋OM―→·ON―→＝1＋|OM―→|cos5π6＋|OM―→|·|ON―→|cos2π3≤1＋0×－32＋0×－12＝1，故选C.7．直角△ABC中，AB＝AC＝2，D为AB边上的点，且ADDB＝2，则CD―→·CA―→＝________；若CD―→＝xCA―→＋yCB―→，则xy＝________.解析：以A为原点，分别以AB―→，AC―→的方向为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系(图略)，则A(0,0)，B(2,0)，C(0,2)，D43，0，则CD―→＝43，－2，CA―→＝(0，－2)，CB―→＝(2，－2)，则CD―→·CA―→＝43，－2·(0，－2)＝43×0＋(－2)×(－2)＝4.由CD―→＝xCA―→＋yCB―→＝x(0，－2)＋y(2，－2)＝(2y，－2x－2y)＝43，－2，得2y＝43，－2x－2y＝－2，解得x＝13，y＝23，则xy＝29.答案：4298．已知平面向量a，b满足|b|＝1，且a与b－a的夹角为120°，则|a|的取值范围为________．解析：在△ABC中，设AB―→＝a，AC―→＝b，则b－a＝AC―→－AB―→＝BC―→，∵a与b－a的夹角为120°，∴∠B＝60°，由正弦定理得1sin60°＝|a|sinC，∴|a|＝sinCsin60°＝233sinC.∵0°C120°，∴sinC∈(0,1]，∴|a|∈0，233.答案：0，2339．(2020·天津高考)如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且AD―→＝λBC―→，AD―→·AB―→＝－32，则实数λ的值为________，若M，N是线段BC上的动点，且|MN―→|＝1，则DM―→·DN―→的最小值为________．解析：依题意得AD∥BC，∠BAD＝120°，由AD―→·AB―→＝|AD|――→·|AB|――→·cos∠BAD＝－32|AD|――→＝－32，得|AD|――→＝1，因此λ＝|AD|――→|BC|――→＝16.取MN的中点E，连接DE，则DM―→＋DN―→＝2DE―→，DM―→·DN―→＝14[(DM―→＋DN―→)2－(DM―→－DN―→)2]＝DE―→2－14NM―→2＝DE―→2－14.注意到线段MN在线段BC上运动时，DE的最小值等于点D到直线BC的距离，即AB·sin∠B＝332，因此DE―→2－14的最小值为3322－14＝132，即DM―→·DN―→的最小值为132.答案：1613210.伴随着国内经济的持续增长，人民的生活水平也相应有所提升，其中旅游业带来的消费是居民消费领域增长最快的，因此挖掘特色景区，营造文化氛围尤为重要．某景区的部分道路如图所示，AB＝30m，BC＝402m，CD＝50m，∠ABC＝∠BCD＝45°，要建设一条从点A到点D的空中长廊，则AD＝_______m.解析：由题可知∠ABC＝∠BCD＝45°，所以AB∥CD，由AD―→＝AB―→＋BC―→＋CD―→可得，|AD―→|2＝|AB―→|2＋|BC―→|2＋|CD―→|2＋2AB―→·BC―→＋2AB―→·CD―→＋2BC―→·CD―→，又AB―→·BC―→＝|AB―→||BC―→|cos135°＝－1200，AB―→·CD―→＝|AB―→||CD―→|cos0°＝1500，BC―→·CD―→＝|BC―→||CD―→|cos135°＝－2000，所以|AD―→|2＝900＋3200＋2500－2400＋3000－4000＝3200，则|AD―→|＝402m.答案：40211．在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝22，－22，n＝(sinx，cosx)，x∈0，π2.(1)若m⊥n，求tanx的值；(2)若m与n的夹角为π3，求x的值．解：(1)因为m＝22，－22，n＝(sinx，cosx)，m⊥n，所以m·n＝0，即22sinx－22cosx＝0，所以sinx＝cosx，所以tanx＝1.(2)由已知得|m|＝|n|＝1，所以m·n＝|m|·|n|cosπ3＝12，即22sinx－22cosx＝12，所以sinx－π4＝12.因为0xπ2，所以－π4x－π4π4，所以x－π4＝π6，即x＝5π12.12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cosB＝513.(1)若sinA＝45，求cosC；(2)若b＝4，求AB―→·BC―→的最小值．解：(1)在△ABC中，由cosB＝513得，sinB＝1213，∵sinB＝1213sinA，∴BA，故A为锐角，∴cosA＝35，∴cosC＝－cos(A＋B)＝－cosAcosB＋sinAsinB＝3365.(2)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB得，16＝a2＋c2－1013ac≥2ac－1013ac＝1613ac，当且仅当a＝c时等号成立，∴ac≤13，∴AB―→·BC―→＝accos(π－B)＝－accosB＝－513ac≥－5.故AB―→·BC―→的最小值为－5.二、自选练——练高考区分度1.△ABC中，|AC|＝2，|AB|＝2，∠BAC＝120°，AE―→＝λAB―→，AF―→＝μAC―→，M为线段EF的中点，若|AM―→|＝1，则λ＋μ的最大值为()A.73B．273C．2D．213解析：选CAM―→＝12(AE―→＋AF―→)＝λ2AB―→＋μ2AC―→，∴|AM―→|2＝λ2AB―→＋μ2AC―→2＝λ2＋μ2＋λμ2×4cos120°＝λ2＋μ2－λμ＝1，∴1＝λ2＋μ2－λμ＝(λ＋μ)2－3λμ≥(λ＋μ)2－34(λ＋μ)2＝14(λ＋μ)2，∴λ＋μ≤2，当且仅当λ＝μ＝1时等号成立．故选C.2．(2021·河北部分重点中学联考)已知向量a，b，c满足：a＝(4,0)，b＝(4,4)，(a－c)·(b－c)＝0，则b·c的最大值是()A．24B．24－82C．24＋82D．82解析：选C设OA―→＝a＝(4,0)，OB―→＝b＝(4,4)，OC―→＝c＝(x，y)，则a－c＝(4－x，－y)，b－c＝(4－x,4－y)，又知(a－c)·(b－c)＝0，∴(4－x)2－y(4－y)＝0，即(x－4)2＋(y－2)2＝4，∴点C的轨迹方程为(x－4)2＋(y－2)2＝4.而b·c＝4x＋4y，令z＝4x＋4y，由平面几何知识可得当直线4x＋4y－z＝0与圆(x－4)2＋(y－2)2＝4相切时，z取得最大值或最小值，即zmax＝24＋82，故选C.3．已知平面向量PA―→，PB―→满足|PA―→|＝|PB―→|＝1，PA―→·PB―→＝－12.若|BC―→|＝1，则|AC―→|的最大值为()A.2－1B．3－1C.2＋1D．3＋1解析：选D因为|PA―→|＝|PB―→|＝1，PA―→·PB―→＝－12，所以cos∠APB＝－12，即∠APB＝2π3，由余弦定理可得AB＝1＋1＋1＝3.如图，建立平面直角坐标系，则A－32，0，B32，0，由题设点C(x，y)在以B32，0为圆心，半径为1的圆上运动，结合图形可知，点C(x，y)运动到点D时，有|AC|max＝|AD|＝|AB|＋1＝3＋1.故选D.4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(2a－c)BA―→·BC―→＝cCB―→·CA―→.(1)求角B的大小；(2)若|BA―→－BC―→|＝6，求△ABC面积的最大值．解：(1)由题意得(2a－c)cosB＝bcosC.根据正弦定理得(2sinA－sinC)cosB＝sinBcosC，所以2sinAcosB＝sin(C＋B)，即2sinAcosB＝sinA，因为A∈(0，π)，所以sinA0，所以cosB＝22，又B∈(0，π)，所以B＝π4.(2)因为|BA―→－BC―→|＝6，所以|CA―→|＝6，即b＝6，根据余弦定理及基本不等式得6＝a2＋c2－2ac≥2ac－2ac＝(2－2)ac(当且仅当a＝c时取等号)，即ac≤3(2＋2)．故△ABC的面积S＝12acsinB≤32＋12，因此△ABC的面积的最大值为32＋32.