【新高考复习】第二节 平面向量基本定理及坐标表示 教案

第二节平面向量基本定理及坐标表示核心素养立意下的命题导向1.与向量线性运算相结合，考查平面向量基本定理及其应用，凸显数学建模的核心素养．2．与向量的坐标表示相结合，考查向量的线性运算，凸显数学抽象的核心素养．3．与向量的坐标表示相结合，考查向量共线，凸显数学运算的核心素养．[理清主干知识]1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝x21＋y21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB―→＝(x2－x1，y2－y1)，|AB―→|＝x2－x12＋y2－y12.3．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.[澄清盲点误点]一、关键点练明1．(基底的判断)下列各组向量中，可以作为基底的是()A．e1＝(0,0)，e2＝(1，－2)B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)D．e1＝(2，－3)，e2＝12，－34答案：B2．(数乘运算)已知向量a＝(－1,3)，b＝(2,1)，则3a－2b＝()A．(－7,7)B．(－3，－2)C．(6,2)D．(4，－3)答案：A3．(向量共线的应用)已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝________.答案：－6二、易错点练清1.(混淆基底的选择)如图，在正方形ABCD中，E为DC的中点，若AE―→＝λAB―→＋μAC―→，则λ＋μ的值为()A.12B．－12C．1D．－1解析：选A因为E为DC的中点，所以AC―→＝AB―→＋AD―→＝12AB―→＋12AB―→＋AD―→＝12AB―→＋DE―→＋AD―→＝12AB―→＋AE―→，即AE―→＝－12AB―→＋AC―→，所以λ＝－12，μ＝1，所以λ＋μ＝12.2．(混淆单位向量的方向)已知A(－5,8)，B(7,3)，则与向量AB―→反向的单位向量为________．解析：由已知得AB―→＝(12，－5)，所以|AB―→|＝13，因此与AB―→反向的单位向量为－113AB―→＝－1213，513.答案：－1213，5133．(忽视基向量不共线)给出下列三个向量：a＝(－2,3)，b＝1，－32，c＝(－1,1)，在这三个向量中任意取两个作为一组，能构成基底的组数为________．解析：易知a∥b，a与c不共线，b与c不共线，所以能构成基底的组数为2.答案：2考点一平面向量基本定理及其应用[典例](1)(2021·青岛模拟)如图，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，BC―→＝3EC―→，F为AE的中点，则BF―→＝()A.23AB―→－13AD―→B．13AB―→－23AD―→C．－23AB―→＋13AD―→D．－13AB―→＋23AD―→(2)如图，在△ABC中，点D是边BC上任意一点，M是线段AD的中点，若存在实数λ和μ，使得BM―→＝λAB―→＋μAC―→，则λ＋μ＝()A.12B．－12C．2D．－2[解析](1)如图，取AB的中点G，连接DG，CG，易知四边形DCBG为平行四边形，所以BC―→＝GD―→＝AD―→－AG―→＝AD―→－12AB―→，所以AE―→＝AB―→＋BE―→＝AB―→＋23BC―→＝AB―→＋23AD―→－12AB―→＝23AB―→＋23AD―→，于是BF―→＝AF―→－AB―→＝12AE―→－AB―→＝1223AB―→＋23AD―→－AB―→＝－23AB―→＋13AD―→，故选C.(2)法一：直接法因为点D在边BC上，所以存在t∈R，使得BD―→＝tBC―→＝t(AC―→－AB―→)(0≤t≤1)．因为M是线段AD的中点，所以BM―→＝12(BA―→＋BD―→)＝12(－AB―→＋tAC―→－tAB―→)＝－12(t＋1)AB―→＋12tAC―→.又BM―→＝λAB―→＋μAC―→，所以λ＝－12(t＋1)，μ＝12t，所以λ＋μ＝－12.故选B.法二：特殊点法由题意知，D为边BC上任意一点，不妨令点D与点B重合，则点M就是线段AB的中点．显然此时BM―→＝12BA―→＝－12AB―→＋0AC―→.又BM―→＝λAB―→＋μAC―→，且AB―→与AC―→不共线，所以λ＝－12，μ＝0，故λ＋μ＝－12.故选B.[答案](1)C(2)B[方法技巧]平面向量基本定理的实质及解题思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．[针对训练]1．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点．若AB―→＝λAM―→＋μAN―→，则λ＋μ等于()A.15B．25C.35D．45解析：选D因为AB―→＝AN―→＋NB―→＝AN―→＋CN―→＝AN―→＋(CA―→＋AN―→)＝2AN―→＋CM―→＋MA―→＝2AN―→－14AB―→－AM―→，所以AB―→＝85AN―→－45AM―→，所以λ＝－45，μ＝85，所以λ＋μ＝45.2．在△ABC中，点P是AB上一点，且CP―→＝23CA―→＋13CB―→，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又CM―→＝tCP―→，则t的值为________．解析：∵CP―→＝23CA―→＋13CB―→，∴3CP―→＝2CA―→＋CB―→，即2CP―→－2CA―→＝CB―→－CP―→，∴2AP―→＝PB―→，即P为AB的一个三等分点，如图所示．∵A，M，Q三点共线，∴CM―→＝xCQ―→＋(1－x)CA―→＝x2CB―→＋(x－1)AC―→，而CB―→＝AB―→－AC―→，∴CM―→＝x2AB―→＋x2－1AC―→.又CP―→＝CA―→－PA―→＝－AC―→＋13AB―→，由已知CM―→＝tCP―→，可得x2AB―→＋x2－1AC―→＝t－AC―→＋13AB―→，又AB―→，AC―→不共线，∴x2＝t3，x2－1＝－t，解得t＝34.答案：34考点二平面向量的坐标运算[典例](1)(2021·福州模拟)已知在平行四边形ABCD中，AD―→＝(3,7)，AB―→＝(－2,3)，对角线AC与BD交于点O，则CO―→的坐标为()A.－12，5B．12，5C.－12，－5D．12，－5(2)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则λμ＝()A．1B．2C．3D．4[解析](1)因为在平行四边形ABCD中，AD―→＝(3,7)，AB―→＝(－2,3)，对角线AC与BD交于点O，所以CO―→＝－AO―→＝－12(AD―→＋AB―→)＝－12，－5.故选C.(2)以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A(1，－1)，B(6,2)，C(5，－1)，∴a＝AO―→＝(－1,1)，b＝OB―→＝(6,2)，c＝BC―→＝(－1，－3)．∵c＝λa＋μb，∴(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，则－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，解得λ＝－2，μ＝－12，∴λμ＝－2－12＝4.[答案](1)C(2)D[方法技巧]平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解．[针对训练]1．(多选)已知点A(4,6)，B－3，32，与向量AB―→平行的向量的坐标可以是()A.143，3B．7，92C.－143，－3D．(7,9)解析：选ABC由点A(4,6)，B－3，32，则AB―→＝－7，－92，－7×3－－92×143＝0，所以A选项正确；－7×92－－92×7＝0，所以B选项正确；－7×(－3)－－92×－143＝0，所以C选项正确；－7×9－－92×7≠0，所以D选项不正确．2．如图所示的平面直角坐标系中，网格中小正方形的边长为1，若向量a，b，c满足c＝xa＋yb，且(ka－b)·c＝0，则x＋yk＝________.解析：结合图形得a＝(1,2)，b＝(3,1)，c＝(4,4)，由c＝xa＋yb得x＋3y＝4，2x＋y＝4，解得x＝85，y＝45，所以x＋y＝125.由(ka－b)·c＝0得ka·c－b·c＝0，即12k－16＝0，所以k＝43，所以x＋yk＝95.答案：95考点三平面向量共线的坐标表示[典例](1)已知O为坐标原点，点A(4,0)，B(4,4)，C(2，6)，则AC与OB的交点P的坐标为________．(2)已知向量a＝(2,1)，b＝(x，－1)，且a－b与b共线，则x的值为________．[解析](1)法一：由O，P，B三点共线，可设OP―→＝λOB―→＝(4λ，4λ)，则AP―→＝OP―→－OA―→＝(4λ－4,4λ)．又AC―→＝OC―→－OA―→＝(－2,6)，由AP―→与AC―→共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以OP―→＝34OB―→＝(3,3)，所以点P的坐标为(3,3)．法二：设点P(x，y)，则OP―→＝(x，y)，因为OB―→＝(4,4)，且OP―→与OB―→共线，所以x4＝y4，即x＝y.又AP―→＝(x－4，y)，AC―→＝(－2,6)，且AP―→与AC―→共线，所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，所以点P的坐标为(3,3)．(2)∵向量a＝(2,1)，b＝(x，－1)，∴a－b＝(2－x,2)．又∵a－b与b共线，∴2x＝－2＋x，解得x＝－2.[答案](1)(3,3)(2)－2[方法技巧](1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；②若a∥b(b≠0)，则a＝λb.(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解．[针对训练]1．设向量OA―→＝(1，－2)，OB―→＝(2m，－1)，OC―→＝(－2n，0)，m，n∈R，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则m＋n的最大值为()A．－3B．－2C．2D．3解析：选A由题意易知，AB―→∥AC―→，其中AB―→＝OB―→－OA―→＝(2m－1,1)，AC―→＝OC―→－OA―→＝(－2n－1,2)，所以(2m－1)×2＝1×(－2n－1)，解得2m＋1＋2n＝1.又2m＋1＋2n≥22m＋n＋1，当且仅当2m＋1＝2n，即m＋1＝n时取等号，所以2m＋n＋1≤2－2，即m＋n≤－3.2．(2021·济宁模拟)平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．(1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；(2)若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝5，求d的坐标．解：(1)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，由题意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，解得k＝－1613.(2)设d＝(x，y)，则d－c＝(x－4，y－1)，又a＋b＝(2,4)，|d－c|＝5，