第三节 第1课时 系统知识牢基础——圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系 课件

第三节圆的方程第1课时系统知识牢基础——圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系知识点一圆的方程1．圆的定义及方程定义平面内到_____的距离等于____的点的轨迹叫做圆圆心：_____标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)半径：r圆心：___________一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F0)半径：r＝_______________定点定长(a，b)－D2，－E2D2＋E2－4F22．点与圆的位置关系点M(x0，y0)，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.理论依据点到圆心的距离与半径的大小关系(x0－a)2＋(y0－b)2___r2⇔点在圆上(x0－a)2＋(y0－b)2___r2⇔点在圆外三种情况(x0－a)2＋(y0－b)2___r2⇔点在圆内＝[提醒]不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的结构都认为是圆，一定要先判断D2＋E2－4F的符号，只有大于0时才表示圆．3．谨记常用结论若x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则有：(1)当F＝0时，圆过原点．(2)当D＝0，E≠0时，圆心在y轴上；当D≠0，E＝0时，圆心在x轴上．(3)当D＝F＝0，E≠0时，圆与x轴相切于原点；E＝F＝0，D≠0时，圆与y轴相切于原点．(4)当D2＝E2＝4F时，圆与两坐标轴相切．[重温经典]1．(教材改编题)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是()A．(2,3)B．(－2,3)C．(－2，－3)D．(2，－3)答案：D2．(教材改编题)圆心坐标为(1,1)且过原点的圆的方程是()A．(x－1)2＋(y－1)2＝1B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D．(x－1)2＋(y－1)2＝2答案：D3．(易错题)方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圆，则m的取值范围是()A．(－∞，－2)∪(2，＋∞)B．(－∞，－22)∪(22，＋∞)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－∞，－23)∪(23，＋∞)答案：B4．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是()A．(－1,1)B．(0,1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．a＝±1答案：A5．(教材改编题)已知圆C经过A(5,2)，B(－1,4)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程为______________．解析：设圆C的方程为(x－a)2＋y2＝r2，由题意可得5－a2＋4＝r2，－1－a2＋16＝r2，解得a＝1，r2＝20，所以圆C的方程为(x－1)2＋y2＝20.答案：(x－1)2＋y2＝206．已知圆C经过点A(1,3)，B(4,2)，且与直线2x＋y－10＝0相切，则圆C的标准方程为________________．解析：由题意，设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，因为点B(4,2)在直线2x＋y－10＝0上，所以点B(4,2)是圆与直线2x＋y－10＝0的切点，连接圆心C和切点的直线与切线2x＋y－10＝0垂直，则kBC＝12，则BC的方程为y－2＝12(x－4)，整理得x－2y＝0，由线段AB的垂直平分线的方程为3x－y－5＝0，联立方程组3x－y－5＝0，x－2y＝0，解得x＝2，y＝1，即圆心坐标为C(2,1)，又由r＝BC＝4－22＋2－12＝5，所以圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.答案：(x－2)2＋(y－1)2＝5知识点二直线与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系(半径r，圆心到直线的距离为d)相离相切相交图形方程观点Δ__0Δ＝0Δ__0量化几何观点drD___rdr＝2．圆的切线(1)过圆上一点的圆的切线①过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是____________.②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是______________________________.(2)过圆外一点的圆的切线过圆外一点M(x0，y0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k，从而得切线方程；若求出的k值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x＝x0.x0x＋y0y＝r2(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2(3)切线长①从圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F0)外一点M(x0，y0)引圆的两条切线，切线长为x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F.②两切点弦长：利用等面积法，切线长a与半径r的积的2倍等于点M与圆心的距离d与两切点弦长b的积，即b＝2ard.[提醒]过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数．3．圆的弦长直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法：(1)几何法：因为半弦长L2、弦心距d、半径r构成直角三角形，所以由勾股定理得L＝2r2－d2.(2)代数法：若直线y＝kx＋b与圆有两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有：|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋1k2|y1－y2|.4．谨记常用结论过直线Ax＋By＋C＝0和圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F0)交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0.[重温经典]1．(教材改编题)直线l：x－y＋1＝0与圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的位置关系是()A．相离B．相切C．相交且过圆心D．相交但不过圆心解析：圆的方程化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心为(2,1)，半径为2，圆心到直线l的距离为|2－1＋1|2＝22，所以直线l与圆相交．又圆心不在直线l上，所以直线不过圆心．故选D.答案：D2．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是()A．[－3，－1]B．[－1,3]C．[－3,1]D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析：由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为2，∴|a－0＋1|12＋－12≤2，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.故选C.答案：C3．(教材改编题)圆C：x2＋y2－2x＝0被直线y＝3x截得的线段长为()A．2B.3C．1D.2解析：圆C：x2＋y2－2x＝0的圆心为(1,0)，半径为1，圆心到直线y＝3x的距离为d＝|3|3＋1＝32，弦长为2·1－322＝1，故选C.答案：C4．(易错题)圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，3)处的切线方程为()A．x＋3y－2＝0B．x＋3y－4＝0C．x－2y＋4＝0D．x－3y＋2＝0解析：圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，圆心坐标为(2,0)，半径为2，点P在圆上，由题可知切线的斜率存在，设切线方程为y－3＝k(x－1)，即kx－y－k＋3＝0，∴|2k－k＋3|k2＋1＝2，解得k＝33.∴切线方程为y－3＝33(x－1)，即x－3y＋2＝0.答案：D5．(教材改编题)设直线x－y＋a＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＋2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则a＝()A．－1或1B．1或5C．－1或3D．3或5解析：由题得圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝3，所以圆心为(－1,2)，半径为3.所以圆心到直线的距离为32－12＝|－1－2＋a|2，解得a＝1或5.故选B.答案：B6．已知直线l与圆x2＋y2－4y＝0相交于A，B两点，且线段AB的中点P坐标为(－1,1)，则直线l的方程为__________．解析：因为圆x2＋y2－4y＝0的圆心坐标为C(0,2)，又点P坐标为(－1,1)，所以直线CP的斜率为kCP＝2－10＋1＝1.又因为AB是圆的一条弦，P为AB的中点，所以AB⊥CP，故kAB＝－1，即直线l的斜率为－1，因此，直线l的方程为y－1＝－(x＋1)，即x＋y＝0.答案：x＋y＝0知识点三圆与圆的位置关系1．圆与圆的位置关系(两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|)相离外切相交内切内含图形量的关系___________________________________________________d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|d＜|r1－r2|[提醒]涉及两圆相切时，没特别说明，务必要分内切和外切两种情况进行讨论．2．谨记常用结论圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交时：(1)将两圆方程直接作差，得到两圆公共弦所在直线方程；(2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦；(3)x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0表示过两圆交点的圆系方程(不包括C2)．[重温经典]1．(教材改编题)圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是()A．相离B．相交C．外切D．内切解析：圆O1的圆心坐标为(1,0)，半径长r1＝1，圆O2的圆心坐标为(0,2)，半径长r2＝2，故两圆的圆心距d＝5，而r2－r1＝1，r1＋r2＝3，则有r2－r1dr1＋r2，故两圆相交．答案：B2．圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9与圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4外切，则m的值为()A．2B．－5C．2或－5D．不确定解析：由题意得C1(m，－2)，r1＝3，C2(－1，m)，r2＝2，则两圆心之间的距离为|C1C2|＝m＋12＋－2－m2＝2＋3＝5，解得m＝2或－5.故选C.答案：C3．圆x2＋y2＝8与圆x2＋y2＋4x－16＝0的公共弦长为()A．8B．4C．2D．1解析：两圆方程作差得x＝2，当x＝2时，由x2＋y2＝8得y2＝8－4＝4，即y＝±2，即两圆的交点坐标为A(2,2)，B(2，－2)，则|AB|＝2－(－2)＝4，故选B.答案：B4．圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋4＝0的公切线有()A．1条B．2条C．3条D．4条解析：圆C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4，∴圆心C1(－1，－1)，半径r1＝2；圆C2：(x－2)2＋(y－1)2＝1，∴圆心C2(2,1)，半径r2＝1.∴两圆心的距离d＝－1－22＋－1－12＝13，r1＋r2＝3，∴dr1＋r2，∴两圆外离，∴两圆有4条公切线．答案：D5．(教材改编题)若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a0)的公共弦的长为23，则a＝________.解析：两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为(x2＋y2＋2ay－6)－(x2＋y2)＝0－4⇒y＝1a，又a0，结合图形，利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形，可知1a＝22－32＝1⇒a＝1.答案：16．(易错题)若圆x2＋y2＝1与圆(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，则常数a＝________.解析：两圆的圆心距d＝－42＋a2，由两圆相切，得－42＋a2＝5＋1或－42＋a2＝5－1，解得a＝±25或a＝0.答案：±25或0谢谢观看