【新高考复习】课时跟踪检测（二十六） 平面向量基本定理及坐标表示 作业

课时跟踪检测（二十六）平面向量基本定理及坐标表示一、基础练——练手感熟练度1．已知点M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若MN―→＝－3a，则点N的坐标为()A．(2,0)B．(－3,6)C．(6,2)D．(－2,0)解析：选A设N(x，y)，则(x－5，y＋6)＝(－3,6)，∴x＝2，y＝0.2．已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与AB―→同方向的单位向量是()A.35，－45B．45，－35C.－35，45D．－45，35解析：选AAB―→＝OB―→－OA―→＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)，∴与AB―→同方向的单位向量为AB―→|AB―→|＝35，－45.3．已知向量a＝(－1,2)，b＝(3，m)，m∈R，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：选A由题意得a＋b＝(2,2＋m)，由a∥(a＋b)，得－1×(2＋m)＝2×2，所以m＝－6，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的充要条件．4．(2021·福州模拟)已知向量a＝(1－sinθ，1)，b＝12，1＋sinθ，若a∥b，则锐角θ＝()A.π6B．π4C.π3D．5π12解析：选B因为a∥b，所以(1－sinθ)×(1＋sinθ)－1×12＝0，得sin2θ＝12，所以sinθ＝±22，故锐角θ＝π4.5．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，F是线段DC上的点．若DC＝3DF，设AC―→＝a，BD―→＝b，则AF―→＝()A.14a＋12bB．23a＋13bC.12a＋14bD．13a＋23b解析：选B如图所示，平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，F是线段DC上的点，且DC＝3DF，∴DF―→＝13DC―→＝13(OC―→－OD―→)＝16(AC―→－BD―→)，AD―→＝OD―→－OA―→＝12BD―→＋12AC―→.则AF―→＝AD―→＋DF―→＝12BD―→＋12AC―→＋16(AC―→－BD―→)＝13BD―→＋23AC―→＝23a＋13b.故选B.二、综合练——练思维敏锐度1．已知e1，e2是不共线向量，a＝me1＋2e2，b＝ne1－e2，且mn≠0，若a∥b，则mn＝()A．－12B．12C．－2D．2解析：选C因为a∥b，所以a＝λb，即me1＋2e2＝λ(ne1－e2)，则λn＝m，－λ＝2，得mn＝－2.2．已知向量OA―→＝(k,12)，OB―→＝(4,5)，OC―→＝(－k,10)，且A，B，C三点共线，则k的值是()A．－23B．43C.12D．13解析：选AAB―→＝OB―→－OA―→＝(4－k，－7)，AC―→＝OC―→－OA―→＝(－2k，－2)．∵A，B，C三点共线，∴AB―→，AC―→共线，∴－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－23.3.如图，已知AB―→＝a，AC―→＝b，BC―→＝4BD―→，CA―→＝3CE―→，则DE―→＝()A.34b－13aB.512a－34bC.34a－13bD.512b－34a解析：选DDE―→＝DC―→＋CE―→＝34BC―→＋13CA―→＝34(AC―→－AB―→)－13AC―→＝512AC―→－34AB―→＝512b－34a.故选D.4．已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，D是△ABC内一点，且∠DAB＝60°，设AD―→＝λAB―→＋μAC―→(λ，μ∈R)，则λμ＝()A.233B．33C．3D．23解析：选A如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则B(1,0)，C(0,2)，因为∠DAB＝60°，所以设D点的坐标为(m，3m)(m≠0)．AD―→＝(m，3m)＝λAB―→＋μAC―→＝λ(1,0)＋μ(0,2)＝(λ，2μ)，则λ＝m，且μ＝32m，所以λμ＝233.5．已知向量OA―→＝(3,1)，OB―→＝(－1,3)，OC―→＝mOA―→－nOB―→(m0，n0)，若m＋n＝1，则|OC―→|的最小值为()A.52B．102C.5D．10解析：选C设OC―→＝(x，y)．∵OA―→＝(3,1)，OB―→＝(－1,3)，OC―→＝mOA―→－nOB―→，∴x＝3m＋n，y＝m－3n，∴|OC―→|＝3m＋n2＋m－3n2＝10m2＋n2≥10×m＋n22＝10×12＝5，当且仅当m＝n时取等号，此时|OC―→|取得最小值5，故选C.6．在△OAB中，若点C满足AC―→＝2CB―→，OC―→＝λOA―→＋μOB―→，则1λ＋1μ＝()A.13B．23C.29D．92解析：选D在△OAB中，∵AC―→＝2CB―→，∴OC―→－OA―→＝2(OB―→－OC―→)，即3OC―→＝OA―→＋2OB―→，∴OC―→＝13OA―→＋23OB―→.又知OC―→＝λOA―→＋μOB―→，∴λ＝13，μ＝23，∴1λ＋1μ＝3＋32＝92.故选D.7.如图，在正方形ABCD中，M是BC的中点，若AC―→＝λAM―→＋μBD―→，则λ＋μ＝()A.43B．53C.158D．2解析：选B以点A为坐标原点，分别以AB―→，AD―→的方向为x，y轴的正方向，建立平面直角坐标系(图略)．设正方形的边长为2，则A(0,0)，C(2,2)，M(2,1)，B(2,0)，D(0,2)，所以AC―→＝(2,2)，AM―→＝(2,1)，BD―→＝(－2,2)，所以λAM―→＋μBD―→＝(2λ－2μ，λ＋2μ)，因为AC―→＝λAM―→＋μBD―→，所以2λ－2μ＝2，λ＋2μ＝2，解得λ＝43，μ＝13，所以λ＋μ＝53.故选B.8．在△ABC中，点D是AC上一点，且AC―→＝4AD―→，P为BD上一点，向量AP―→＝λAB―→＋μAC―→(λ0，μ0)，则4λ＋1μ的最小值为()A．16B．8C．4D．2解析：选A由AP―→＝λAB―→＋μAC―→及AC―→＝4AD―→得AP―→＝λAB―→＋4μAD―→，又知点P在BD上，∴λ＋4μ＝1.∴4λ＋1μ＝4λ＋1μ·(λ＋4μ)＝4＋4＋16μλ＋λμ＝8＋16μλ＋λμ，又知λ0，μ0，∴16μλ＋λμ≥216＝8，当且仅当16μλ＝λμ，即λ＝4μ时，等号成立，故4λ＋1μ的最小值为16，故选A.9.如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外的一点D，若OC―→＝mOA―→＋nOB―→，则m＋n的取值范围是()A．(0,1)B．(1，＋∞)C．(－∞，－1)D．(－1,0)解析：选D由题意得，OC―→＝kOD―→(k0)，又|k|＝|OC―→||OD―→|1，∴－1k0.又∵B，A，D三点共线，∴OD―→＝λOA―→＋(1－λ)OB―→，∴mOA―→＋nOB―→＝kλOA―→＋k(1－λ)OB―→，∴m＝kλ，n＝k(1－λ)，∴m＋n＝k，从而m＋n∈(－1,0)．10．已知向量a＝(1，x＋1)，b＝(x,2)，若满足a∥b，且方向相同，则x＝________.解析：∵a∥b，a＝(1，x＋1)，b＝(x,2)，∴x(x＋1)－2＝0，解得x＝1或x＝－2.当x＝1时，a＝(1,2)，b＝(1,2)满足题意；当x＝－2时，a＝(1，－1)，b＝(－2,2)，方向相反，不符合题意，舍去．∴x＝1.答案：111．如图，设Ox，Oy是平面内相交成45°角的两条数轴，e1，e2分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，若向量OP―→＝xe1＋ye2，则把有序数对(x，y)叫做向量OP―→在坐标系xOy中的坐标，在此坐标系下，假设OA―→＝(－2，22)，OB―→＝(2,0)，OC―→＝(5，－32)，则|OA―→|＝________，OA―→与BC―→________(填“平行”或“不平行”)．解析：由余弦定理可知|OA―→|＝4＋8－2×2×22×cos45°＝2，∵BC―→＝OC―→－OB―→＝(3，－32)＝－32OA―→，∴OA―→∥BC―→.答案：2平行12.如图，O点在△ABC的内部，E是BC边的中点，且有OA―→＋2OB―→＋3OC―→＝0，则△AEC的面积与△AOC的面积的比为________．解析：取AC的中点D，连接OE，OD.因为D，E分别是AC，BC边的中点，所以OA―→＋OC―→＝2OD―→，OB―→＋OC―→＝2OE―→，因为OA―→＋2OB―→＋3OC―→＝0，所以2OD―→＋4OE―→＝0，所以O，D，E三点共线，且|DE||OD|＝32.又因为△AEC与△AOC都以AC为底，所以△AEC的面积与△AOC的面积的比为3∶2.答案：3∶213.如图，在△ABC中，已知43BN―→－BA―→＝13BC―→，点P在线段BN上，若AP―→＝λAB―→＋316AC―→，则实数λ的值为________．解析：43BN―→－BA―→＝13BC―→可化为AN―→＝13NC―→，即AN―→＝14AC―→，因为AP―→＝λAB―→＋316AC―→，所以AP―→＝λAB―→＋34AN―→.由B，P，N三点共线可得λ＝14.答案：1414．如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上的点，∠CBA＝60°，∠ABD＝45°，CD―→＝xOA―→＋yBC―→，求x＋y的值．解：以O为原点，OB所在直线为x轴，过O点且垂直AB的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．不妨设圆O的半径为1，则A(－1,0)，B(1,0)，D(0,1)，C12，－32，所以CD―→＝－12，1＋32，BC―→＝－12，－32.又CD―→＝xOA―→＋yBC―→，所以－12，1＋32＝x(－1,0)＋y－12，－32.所以－12＝－x－12y，1＋32＝－32y，解得x＝3＋33，y＝－3＋233，所以x＋y＝3＋33－3＋233＝－33.15.如图，在同一个平面内，三个单位向量OA―→，OB―→，OC―→满足条件：OA―→与OC―→的夹角为α，且tanα＝7，OB―→与OC―→的夹角为45°.若OC―→＝mOA―→＋nOB―→(m，n∈R)，求m＋n的值．解：以O为原点，OA―→的方向为x轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，由tanα＝7知α为锐角，则sinα＝7210，cosα＝210，故cos(α＋45°)＝－35，sin(α＋45°)＝45.∴点B，C的坐标分别为－35，45，210，7210，∴OB―→＝－35，45，OC―→＝210，7210.又OC―→＝mOA―→＋nOB―→，∴210，7210＝m(1,0)＋n－35，45，∴m－35n＝210，45n＝7210，解得m＝528，n＝728.∴m＋n＝528＋728＝322.