【新高考复习】第四节 复数 教案

第四节复数核心素养立意下的命题导向1.通过方程的解，认识复数．2．结合复数的代数表示及其几何意义，考查复数的实部、虚部，共轭复数，复数的模等概念的认识，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．3．结合复数的运算法则，考查复数的加、减、乘、除运算，凸显数学运算的核心素养．[理清主干知识]1．复数的定义及分类(1)复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b.(2)复数的分类：复数z＝a＋bia，b∈R实数b＝0，虚数b≠0纯虚数a＝0，非纯虚数a≠0.2．复数的有关概念复数相等a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)共轭复数a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)复数的模向量OZ―→的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝a2＋b2(r≥0，a，b∈R)3.复数的几何意义复平面的概念建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面实轴、虚轴在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数复数的几何表示复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)平面向量OZ―→4.复数的运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则：(1)z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；(2)z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；(3)z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；(4)z1z2＝a＋bic＋di＝a＋bic－dic＋dic－di＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(c＋di≠0)．5．复数运算的几个重要结论(1)|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)．(2)z·z＝|z|2＝|z|2.(3)若z为虚数，则|z|2≠z2.(4)(1±i)2＝±2i.(5)1＋i1－i＝i；1－i1＋i＝－i.(6)i4n＝1；i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i.[澄清盲点误点]一、关键点练明1．(复数的概念)复数z＝i5＋i的虚部为()A.526B．526iC．－526D．－526i解析：选Az＝i5＋i＝i5－i5＋i5－i＝1＋5i26＝126＋526i.故选A.2．(复数的模)复数z＝(1＋i)2，则|z|＝()A．0B．1C．2D．3解析：选C由题得z＝2i，所以|z|＝2.故选C.3．(复数的几何意义)复数z＝52－i在复平面上的对应点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选Az＝52－i＝5()2＋i()2－i()2＋i＝2＋i，在复平面上的对应点为()2，1，位于第一象限．故选A.4．(复数的运算)若复数z满足z·i＝1＋i(i是虚数单位)，则z的共轭复数是________．解析：由z·i＝1＋i，得z＝1＋ii＝1＋i－i－i2＝1－i，∴z－＝1＋i.答案：1＋i二、易错点练清1．(概念理解错误)i为虚数单位，复数4＋3i3－4i的虚部是()A．－1B．1C．iD．－i解析：选B由题意得，4＋3i3－4i＝4＋3i3＋4i3－4i3＋4i＝25i25＝i，所以复数的虚部是1.故选B.2．(混淆绝对值与复数模的含义)若z＝3＋4i，则|z|＝()A.5B．5C．7D．25解析：选B因为z＝3＋4i，所以|z|＝32＋42＝25＝5.考点一复数的概念1．(2020·浙江高考)已知a∈R，若a－1＋(a－2)i(i为虚数单位)是实数，则a＝()A．1B．－1C．2D．－2解析：选C因为a－1＋(a－2)i是实数，所以a－2＝0，所以a＝2，故选C.2．(2020·全国卷Ⅰ)若z＝1＋2i＋i3，则|z|＝()A．0B．1C.2D．2解析：选C因为z＝1＋2i＋i3＝1＋2i－i＝1＋i，所以|z|＝12＋12＝2，故选C.3．(多选)已知i为虚数，且复数z满足z(1＋2i)＝1＋i3，则下列关于复数z的命题中正确的为()A．复数z的虚部为－35B．|z|＝255C．复数z对应的点在第三象限D．z1＋2i解析：选ACz＝1－i1＋2i＝1－i1－2i5＝－1－3i5，则复数z的虚部为－35，故A正确；|z|＝－152＋－352＝105，故B错误；复数z对应的点为－15，－35，为第三象限内的点，故C正确；虚数不能比较大小，故D错误．故选A、C.4．(多选)(2021年1月新高考八省联考卷)设z1，z2，z3为复数，z1≠0.下列命题中正确的是()A．若|z2|＝|z3|，则z2＝±z3B．若z1z2＝z1z3，则z2＝z3C．若z2＝z3，则|z1z2|＝|z1z3|D．若z1z2＝|z1|2，则z1＝z2解析：选BC由复数的形式知选项A显然不正确；当z1z2＝z1z3时，有z1z2－z1z3＝z1(z2－z3)＝0，又z1≠0，所以有z2＝z3，故选项B正确；当z2＝z3时，则z2＝z3，|z1z2|2－|z1z3|2＝(z1z2)(z1z2)－(z1z3)(z1z3)＝z1z2z1z2－z1z3z1z3＝0，故选项C正确；当z1z2＝|z1|2时，则z1z2＝|z1|2＝z1z1⇒z1z2－z1z1＝z1(z2－z1)＝0，又z1≠0，所以z1＝z2，故选项D不正确．5．已知复数z＝a2－i＋2－i5的实部与虚部的和为2，则实数a的值为________．解析：易知z＝a2－i＋2－i5＝a2＋i5＋2－i5＝2a＋25＋a－1i5，由题意得2a＋25＋a－15＝2，解得a＝3.答案：3[方法技巧]解决复数概念问题的方法及注意事项(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b.(2)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数．复数z1＝a＋bi与z2＝c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(3)复数是实数的条件：①z＝a＋bi∈R⇔b＝0(a，b∈R)；②z∈R⇔z＝z；③z∈R⇔z2≥0.(4)复数是纯虚数的条件：①z＝a＋bi是纯虚数⇔a＝0且b≠0(a，b∈R);②z是纯虚数⇔z＋z＝0(z≠0)；③z是纯虚数⇔z20.考点二复数代数形式的运算[典题例析](1)(2020·新高考全国卷Ⅱ)(1＋2i)(2＋i)＝()A．－5iB．5iC．－5D．5(2)(2020·全国卷Ⅰ)若z＝1＋i，则|z2－2z|＝()A．0B．1C.2D．2(3)(2020·新高考全国卷Ⅰ)2－i1＋2i＝()A．1B．－1C．iD．－i[解析](1)(1＋2i)(2＋i)＝2＋4i＋i－2＝5i，故选B.(2)法一：∵z＝1＋i，∴|z2－2z|＝|(1＋i)2－2(1＋i)|＝|2i－2－2i|＝2.故选D.法二：∵z＝1＋i，∴|z2－2z|＝|z||z－2|＝2×|－1＋i|＝2×2＝2.故选D.(3)2－i1＋2i＝2－i1－2i1＋2i1－2i＝－5i5＝－i.[答案](1)B(2)D(3)D[方法技巧]复数代数形式运算问题的解题策略复数的加减法在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项，运用法则(实部与实部相加减，虚部与虚部相加减)计算即可复数的乘法复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可复数的除法除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式[针对训练]1．复数11＋2i＋i2的共轭复数的虚部为()A.110B．－110C.310D．－310解析：选B∵11＋2i＋i2＝1－2i1＋2i1－2i＋i2＝1－2i5＋i2＝15－25i＋i2＝15＋110i，∴复数11＋2i＋i2的共轭复数为15－110i，虚部为－110.故选B.2．计算：(1)1＋2i2＋31－i2＋i＝________；(2)1－i1＋i2＋1＋i1－i2＝________.解析：(1)1＋2i2＋31－i2＋i＝－3＋4i＋3－3i2＋i＝i2＋i＝i2－i5＝15＋25i.(2)1－i1＋i2＋1＋i1－i2＝1－i2i－1＋i2i＝－2i2i＝－1.答案：(1)15＋25i(2)－1考点三复数的几何意义[典例](1)(2020·北京高考)在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,2)，则i·z＝()A．1＋2iB．－2＋iC．1－2iD．－2－i(2)在复平面内，复数m＋im－i(i为虚数单位)对应的点位于第一象限，则实数m的取值范围是()A．(－∞，－1)B．(－∞，0)C．(0，＋∞)D．(1，＋∞)[解析](1)由题意知，z＝1＋2i，所以i·z＝i·(1＋2i)＝－2＋i，故选B.(2)m＋im－i＝m＋i2m－im＋i＝m2－1m2＋1＋2mm2＋1i.∵该复数对应的点位于第一象限，∴m2－1m2＋10，2mm2＋10，∴m2－10，2m0，解得m1，∴实数m的取值范围是(1，＋∞)，故选D.[答案](1)B(2)D[方法技巧]复数几何意义问题的解题策略(1)复数z、复平面上的点Z及向量OZ―→相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔OZ―→.(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．[针对训练]1．复数z＝1－i3＋i在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选D∵z＝1－i3＋i＝1－i3－i3＋i3－i＝2－4i10＝15－2i5，∴在复平面内对应的点为15，－25，位于第四象限，故选D.2．设复数z满足条件|z|＝1，那么|z＋22＋i|的最大值是()A．3B．23C．1＋22D．4解析：选D|z|＝1表示单位圆上的点，那么|z＋22＋i|表示在单位圆上的点到(－22，－1)的距离，求最大值转化为点(－22，－1)到原点的距离加上圆的半径．因为点(－22，－1)到原点的距离为3，所以最大值为4.3．设复数z满足|z－i|＝|z＋i|(i为虚数单位)，且z在复平面内对应的点为Z(x，y)，则下列结论一定正确的是()A．x＝1B．y＝1C．x＝0D．y＝0解析：选D∵满足|z－i|＝|z＋i|的点为复平面内到点(0，－1)和(0,1)的距离相等的点的集合，∴Z(x，y)的轨迹为x轴，其方程为y＝0.故选D.[课时跟踪检测]1．已知i为虚数单位，z＝41－i，则复数z的虚部为()A．－2iB．2iC．2D．－2解析：选Cz＝41－i＝41＋i1－i1＋i＝41＋i2＝2＋2i，虚部即为i的系数，为2，故选C.2．设复数z＝1－i1＋i，f(x)＝x2020＋x2019＋…＋x＋1，则f(z)＝()A．iB．－iC．1D．－1解析：选C∵z＝1－i1＋i＝1－i21＋i1－i＝－2i2＝－i，∴f(z)＝f(－i)＝(－i)2020＋(－i)2019＋…＋(－i)＋1.∵(－i)＋(－i)2＋(－i)3＋(－i)4＝－i－1＋i＋1＝0，∴f(z)＝505×0＋1＝1.故选C.3．若z＝()m2＋m－6＋(m－2)i为纯虚数，则实数m的值为()A．－2B．2C．－3D．3解析：选C因为z＝()m2＋m－6＋(m－2)i为纯虚数，所以m－2m＋3＝0，m－2≠0，解得m＝－3，故选C.4．复数z＝2i41＋i在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选D由题得复数z＝21＋i＝21－i1＋i1－i＝21