【新高考复习】第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 教案

第八章解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程核心素养立意下的命题导向1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素，凸显直观想象的核心素养．2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式，凸显数学运算的核心素养．3．掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系，凸显数学抽象的核心素养．[理清主干知识]1．直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角直线的斜率定义当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°当直线l的倾斜角α≠π2时，其倾斜角α的正切值tanα叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即k＝tan_α；经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为kP1P2＝y2－y1x2－x1区别直线l垂直于x轴时，直线l的倾斜角是90°；倾斜角的取值范围为[0，π)直线l垂直于x轴时，直线l的斜率不存在；斜率k的取值范围为R联系(1)当直线不垂直于x轴时，直线的斜率和直线的倾斜角为一一对应关系；(2)当直线l的倾斜角α∈0，π2时，α越大，直线l的斜率越大；当α∈π2，π时，α越大，直线l的斜率越大2．直线方程的五种形式形式几何条件方程适用范围点斜式过一点(x0，y0)，斜率ky－y0＝k(x－x0)与x轴不垂直的直线斜截式纵截距b，斜率ky＝kx＋b与x轴不垂直的直线两点式过两点(x1，y1)，(x2，y2)y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1与x轴、y轴均不垂直的直线截距式横截距a，纵截距bxa＋yb＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0平面直角坐标系内所有直线[澄清盲点误点]一、关键点练明1．(求倾斜角)直线3x－y＋a＝0的倾斜角为()A.π6B.π3C.5π6D.2π3答案：B2．(点斜式方程)经过点P0(2，－3)，倾斜角为45°的直线方程为()A．x＋y＋1＝0B．x＋y－1＝0C．x－y＋5＝0D．x－y－5＝0解析：选D由点斜式得直线方程为y－(－3)＝tan45°(x－2)＝x－2，即x－y－5＝0.3．(斜截式方程)倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是()A．x－y＋1＝0B．x－y－1＝0C．x＋y－1＝0D．x＋y＋1＝0答案：D4．(直线的斜率)过点M(－1，m)，N(m＋1,4)的直线的斜率等于1，则m的值为________．答案：1二、易错点练清1．(忽视倾斜角的范围)直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是()A.0，π4B.3π4，πC.0，π4∪π2，πD.π4，π2∪3π4，π解析：选B由直线方程可得该直线的斜率为－1a2＋1，又－1≤－1a2＋10，所以倾斜角的取值范围是3π4，π.2．(忽视斜率公式中x1≠x2)已知经过两点A(m2＋2，m2－3)，B(3－m－m2，2m)的直线l的倾斜角为135°，则m的值为________．答案：433．(忽视截距为0的情况)过点M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为________________．解析：①若直线过原点，则k＝－43，所以y＝－43x，即4x＋3y＝0.②若直线不过原点．设xa＋ya＝1，即x＋y＝a.则a＝3＋(－4)＝－1，所以直线的方程为x＋y＋1＝0.答案：4x＋3y＝0或x＋y＋1＝0考点一直线的倾斜角与斜率[典例](1)直线2xcosα－y－3＝0α∈π6，π3的倾斜角的取值范围是()A.π6，π3B.π4，π3C.π4，π2D.π4，2π3(2)(2021年1月新高考八省联考卷)若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为________，________.[解析](1)直线2xcosα－y－3＝0的斜率k＝2cosα，因为α∈π6，π3，所以12≤cosα≤32，因此k＝2·cosα∈[1，3]．设直线的倾斜角为θ，则有tanθ∈[1，3]．又θ∈[0，π)，所以θ∈π4，π3，即倾斜角的取值范围是π4，π3.(2)设一条边所在直线的倾斜角为α，由tanα＋π4＝2，解得tanα＝13，所以正方形两条邻边所在直线的斜率分别为13，－3.[答案](1)B(2)13－3[方法技巧]1．求倾斜角的取值范围的一般步骤(1)求出斜率k＝tanα的取值范围．(2)利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围．求倾斜角时要注意斜率是否存在．2．斜率取值范围的2种求法数形结合法作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定函数图象法根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可[针对训练]1．(2021·湖南八校联考)“a－1”是“直线ax＋y－1＝0的倾斜角大于π4”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A设直线ax＋y－1＝0的倾斜角为θ，则tanθ＝－a，∵直线ax＋y－1＝0的倾斜角大于π4.∴－a1或－a0，解得a－1或a0.∴a－1是直线ax＋y－1＝0的倾斜角大于π4的充分不必要条件．2．(多选)如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，倾斜角分别为α1，α2，α3，则下列选项正确的是()A．k1k3k2B．k3k2k1C．α1α3α2D．α3α2α1解析：选AD如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，倾斜角分别为α1，α2，α3，则k2k30，k10，故π2α2α30，且α1为钝角，故选A、D.考点二求直线的方程[典例]求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P(4,1)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍；(3)经过点B(3,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．[解](1)设直线l在x轴，y轴上的截距均为a，若a＝0，即l过点(0,0)和(4,1)，所以l的方程为y＝14x，即x－4y＝0.若a≠0，设l的方程为xa＋ya＝1，因为l过点(4,1)，所以4a＋1a＝1，所以a＝5，所以l的方程为x＋y－5＝0.综上可知，所求直线的方程为x－4y＝0或x＋y－5＝0.(2)由已知设直线y＝3x的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α.因为tanα＝3，所以tan2α＝2tanα1－tan2α＝－34.又直线经过点A(－1，－3)，因此所求直线方程为y＋3＝－34(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.(3)由题意可知，所求直线的斜率为±1.又过点(3,4)，由点斜式得y－4＝±(x－3)．故所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y－7＝0.[方法技巧]求解直线方程的2种方法直接法根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程待定系数法①设所求直线方程的某种形式；②由条件建立所求参数的方程(组)；③解这个方程(组)求出参数；④把参数的值代入所设直线方程[针对训练]1．一条直线经过点A(－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求此直线的方程．解：设所求直线的方程为xa＋yb＝1.∵A(－2,2)在直线上，∴－2a＋2b＝1.①又∵直线与坐标轴围成的三角形面积为1，∴12|a|·|b|＝1.②由①②可得(1)a－b＝1，ab＝2或(2)a－b＝－1，ab＝－2.由(1)解得a＝2，b＝1或a＝－1，b＝－2.方程组(2)无解．故所求的直线方程为x2＋y1＝1或x－1＋y－2＝1，即x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0为所求直线的方程．2．已知△ABC的三个顶点分别为A(－3,0)，B(2,1)，C(－2,3)，求：(1)BC边所在直线的方程；(2)BC边上中线AD所在直线的方程；(3)BC边的垂直平分线DE的方程．解：(1)因为直线BC经过B(2,1)和C(－2,3)两点，由两点式得BC的方程为y－13－1＝x－2－2－2，即x＋2y－4＝0.(2)设BC边的中点D的坐标为(x，y)，则x＝2－22＝0，y＝1＋32＝2.BC边的中线AD过A(－3,0)，D(0,2)两点，由截距式得AD所在直线方程为x－3＋y2＝1，即2x－3y＋6＝0.(3)由(1)知直线BC的斜率k1＝－12，则直线BC的垂直平分线DE的斜率k2＝2.由(2)知点D的坐标为(0,2)．可求出直线的点斜式方程为y－2＝2(x－0)，即2x－y＋2＝0.考点三直线方程的综合应用[典例]直线l过点P(1,4)，分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于A，B两点，O为坐标原点，当|OA|＋|OB|最小时，求l的方程．[解]法一：依题意，l的斜率存在，且斜率为负，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y－4＝k(x－1)(k0)．令y＝0，可得A1－4k，0；令x＝0，可得B(0,4－k)．|OA|＋|OB|＝1－4k＋(4－k)＝5－k＋4k＝5＋－k＋4－k≥5＋4＝9.当且仅当－k＝4－k且k0，即k＝－2时，|OA|＋|OB|取最小值．此时l的方程为2x＋y－6＝0.法二：设直线l与x轴、y轴的交点坐标分别为A(a,0)，B(0，b)(a0，b0)，则直线l的方程为xa＋yb＝1.∵直线l过点P(1,4)，∴1a＋4b＝1，∴|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)1a＋4b＝5＋ba＋4ab≥5＋2ba·4ab＝9，当且仅当ba＝4ab，即a＝3，b＝6时“＝”成立．|OA|＋|OB|取最小值，此时l的方程为x3＋y6＝1，即2x＋y－6＝0.[方法技巧]与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．(2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程．(3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．[针对训练]已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．(1)证明：直线l过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．解：(1)证明：直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝0，令x＋2＝0，1－y＝0，解得x＝－2，y＝1.∴无论k取何值，直线总经过定点(－2,1)．(2)由方程知，当k≠0时直线在x轴上的截距为－1＋2kk，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有－1＋2kk≤－2，1＋2k≥1，解得k＞0；当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k的取值范围是[0，＋∞)．(3)由题意可知k≠0，再由l的方程，得A－1＋2kk，0，B(0,1＋2k)．依题意得－1＋2kk＜0，1＋2k＞0，解得k＞0.∵S＝12·|OA|·|OB|＝12·1＋2kk·|1＋2k|＝12·1＋2k2k＝124k＋1k＋4≥12×(2×2＋4)＝4，“＝”成立的条件是k＞0且4k＝1k，即k＝12，∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.创新思维角度——融会贯通学妙法妙用直线的斜率解题应用(一)比较大小[例1]已知函数f(x)＝log2(x＋1)，且abc0，则faa，fbb，fcc的大小关系为________________．[解析]作出函数f(x)＝log2(x＋1)的大致图象，如图所示，可知当x0时，曲线上各点与原点连线的斜率随x的增大而减小，因