【新高考复习】课时跟踪检测（四十三） 与圆有关的综合问题 作业

课时跟踪检测（四十三）与圆有关的综合问题一、综合练——练思维敏锐度1．直线y＝kx＋3与圆(x－3)2＋(y－2)2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥23，则k的取值范围是()A.－∞，－34B.－34，0C.－33，33D.－23，0解析：选B圆心(3,2)到直线y＝kx＋3的距离d＝|3k－2＋3|k2＋1＝|3k＋1|k2＋1，由|MN|≥23，得23≤24－d2，所以d2≤1，即8k2＋6k≤0⇒－34≤k≤0，故选B.2．已知圆C：x2＋y2－8y＋14＝0，直线l：mx－y－3m＋1＝0与x轴、y轴分别交于A，B两点．设圆C上任意一点P到直线l的距离为d，当d取最大值时，△PAB的面积为()A．32B．8C．6D．42解析：选B直线l：mx－y－3m＋1＝0过定点M(3,1)．圆C：x2＋y2－8y＋14＝0的圆心为C(0,4)，半径r＝2.当MC⊥l时，圆心C到直线l的距离最大，此时圆心C到直线l的距离为|MC|＝32，则点P到直线l的最大距离d＝32＋r＝42.又|MC|＝|－4－3m＋1|1＋m2＝32，所以m＝1，直线l的方程为x－y－2＝0，所以|AB|＝22.从而△PAB的面积S＝12×22×42＝8.3．在平面直角坐标系内，过点P(0,3)的直线与圆心为C的圆x2＋y2－2x－3＝0相交于A，B两点，则△ABC面积的最大值是()A．2B．4C.3D．23解析：选A过点P(0,3)的直线与圆心为C的圆x2＋y2－2x－3＝0相交于A，B两点，①当直线的斜率不存在时，直线的方程为x＝0，在y轴上所截得的线段长为d＝2×22－12＝23，所以S△ABC＝12×23×1＝3.②当直线的斜率存在时．设圆心到直线的距离为d，则所截得的弦长l＝24－d2.所以S△ABC＝12×24－d2×d＝4－d2×d2≤4－d2＋d22＝2，当且仅当d＝2时成立．所以△ABC面积的最大值为2.4．(多选)如图，已知A(2,0)，B(1,1)，C(－1,1)，D(－2,0)，CD是以OD为直径的圆上的一段圆弧，CB是以BC为直径的圆上的一段圆弧，BA是以OA为直径的圆上的一段圆弧，三段弧构成曲线W，则下述正确的是()A．曲线W与x轴围成区域的面积等于2πB．曲线W上有5个整点(横、纵坐标均为整数的点)C.CB所在圆的方程为x2＋(y－1)2＝1D.CB与BA的公切线方程为x＋y＝2＋1解析：选BCD如图所示，连接BC，过点C作CK⊥x轴于K，过点B作BL⊥x轴于L.则曲线W和x轴围成区域的面积S＝π＋2，故A错误；曲线W上有A，B，C，D，M这5个整点，故B正确；CB所在圆的圆心为(0,1)，半径为1，故CB所在圆的方程为x2＋(y－1)2＝1，故C正确；设CB与BA的公切线方程为y＝kx＋b，由图可知k0，b0，则|k＋b|1＋k2＝1，|1－b|1＋k2＝1，解得k＝－1，b＝2＋1，即x＋y＝2＋1，故D正确．故选B、C、D.5．在平面直角坐标系xOy中，圆C经过点(0,1)，(0,3)，且与x轴的正半轴相切，若圆C上存在点M，使得直线OM与直线y＝kx(k0)关于y轴对称，则k的最小值为()A.233B.3C．23D．43解析：选D由圆C经过点(0,1)，(0,3)可知，圆心的纵坐标为1＋32＝2，又圆C与x轴的正半轴相切，所以圆的半径为2，则圆心的横坐标为22－3－122＝3，即圆心为点(3，2)，由此可得圆C的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝4.由直线OM与直线y＝kx(k0)关于y轴对称知直线OM的方程为y＝－kx(k0)，由y＝－kx，x－32＋y－22＝4，消去y得(1＋k2)x2＋(4k－23)x＋3＝0，则Δ＝(4k－23)2－4(1＋k2)×3≥0，即4k2－163k≥0，解得k≥43.故k的最小值为43.6．(多选)古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy中，A(－2,0)，B(4,0)，点P满足PAPB＝12，设点P所构成的曲线为C，下列结论正确的是()A．C的方程为(x＋4)2＋y2＝16B．在C上存在点D，使得D到点(1,1)的距离为3C．在C上存在点M，使得|MO|＝2|MA|D．在C上存在点N，使得|NO|2＋|NA|2＝4解析：选ABD设点P(x，y)，A(－2,0)，B(4,0)，由PAPB＝12，得x＋22＋y2x－42＋y2＝12，化简得x2＋y2＋8x＝0，即(x＋4)2＋y2＝16，故A选项正确；曲线C的方程表示圆心为(－4,0)，半径为4的圆，圆心与点(1,1)的距离为－4－12＋1＝26，则点(1,1)与圆上的点的距离的最小值为26－4，最大值为26＋4，而3∈[26－4，26＋4]，故B选项正确；对于C选项，设M(x0，y0)，由|MO|＝2|MA|，得x20＋y20＝2x0＋22＋y20，又(x0＋4)2＋y20＝16，联立方程消去y0得x0＝2，再代入(x0＋4)2＋y20＝16得y0无解，故C选项错误；对于D选项，设N(x0，y0)，由|NO|2＋|NA|2＝4，得x20＋y20＋(x0＋2)2＋y20＝4，又(x0＋4)2＋y20＝16，联立方程消去y0得x0＝0，再代入(x0＋4)2＋y20＝16得y0＝0，故D选项正确．7．已知实数x，y满足(x－2)2＋(y－1)2＝1，则z＝y＋1x的最大值与最小值分别为______和______．解析：由题意，得y＋1x表示过点A(0，－1)和圆(x－2)2＋(y－1)2＝1上的动点(x，y)的直线的斜率，当且仅当直线与圆相切时，直线的斜率分别取得最大值和最小值．设切线方程为y＝kx－1，即kx－y－1＝0，则|2k－2|k2＋1＝1，解得k＝4±73，所以zmax＝4＋73，zmin＝4－73.答案：4＋734－738．已知点P是直线l：kx＋y＋4＝0(k0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，切点分别为A，B.若四边形PACB的最小面积为2，则k＝________.解析：由x2＋y2－2y＝0，即x2＋(y－1)2＝1，可知圆C的圆心为C(0,1)，半径为1.根据条件PA，PB是圆C的两条切线，如图所示．则△PAC，△PBC为两个全等的直角三角形．所以四边形PACB的面积S＝2S△PAC＝|AC|·|PA|＝|PA|＝|PC|2－1，显然当|PC|最小时，四边形PACB的面积最小．由四边形PACB的最小面积为2，得|PC|2－1＝2，即|PC|的最小值为5.又P是直线l：kx＋y＋4＝0(k0)上一动点，所以|PC|的最小值为点C到直线l的距离d＝|5|1＋k2＝5(k0)，解得k＝2.答案：29．已知点P(2,2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．(1)求M的轨迹方程；(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．解：(1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0,4)，半径为4.设M(x，y)，则CM―→＝(x，y－4)，MP―→＝(2－x,2－y)．由题设知CM―→·MP―→＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝2.所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，2为半径的圆．由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM.因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－13，故l的方程为y＝－13x＋83.又|OM|＝|OP|＝22，O到l的距离为4105，故|PM|＝4105，所以△POM的面积为S△POM＝12×4105×4105＝165.10．已知圆C：x2＋(y－a)2＝4，点A(1,0)．(1)当过点A的圆C的切线存在时，求实数a的取值范围；(2)设AM，AN为圆C的两条切线，M，N为切点，当|MN|＝455时，求MN所在直线的方程．解：(1)∵过点A的切线存在，即点A在圆外或圆上，∴1＋a2≥4，∴a≥3或a≤－3.故实数a的取值范围为(－∞，－3]∪[3，＋∞)．(2)设MN与AC交于点D，O为坐标原点．∵|MN|＝455，∴|DM|＝255.又|MC|＝2，∴|CD|＝4－2025＝45，∴cos∠MCA＝452＝25，|AC|＝|MC|cos∠MCA＝225＝5，∴|OC|＝2，|AM|＝1，∴MN是以点A为圆心，1为半径的圆A与圆C的公共弦，圆A的方程为(x－1)2＋y2＝1，圆C的方程为x2＋(y－2)2＝4或x2＋(y＋2)2＝4，∴MN所在直线的方程为(x－1)2＋y2－1－x2－(y－2)2＋4＝0，即x－2y＝0或(x－1)2＋y2－1－x2－(y＋2)2＋4＝0，即x＋2y＝0，因此MN所在直线的方程为x－2y＝0或x＋2y＝0.二、自选练——练高考区分度1．若圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上至少有三个不同点到直线l：ax＋by＝0的距离为22，则直线l的斜率的取值范围是()A．[2－3，1]B．[2－3，2＋3]C.33，3D．[0，＋∞)解析：选B圆x2＋y2－4x－4y－10＝0可化为(x－2)2＋(y－2)2＝18，则圆心为(2,2)，半径为32.由圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上至少有三个不同点到直线l：ax＋by＝0的距离为22可得，圆心到直线l：ax＋by＝0的距离d≤32－22＝2.即|2a＋2b|a2＋b2≤2，则a2＋b2＋4ab≤0.若a＝0，则d＝2，不符合题意；故a≠0，则上式可化为1＋ba2＋4·ba≤0，由于直线l的斜率k＝－ab，所以上式可化为1＋k2－4k≤0，则k∈[2－3，2＋3]，故选B.2．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他对圆锥曲线有深刻系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A，B的距离之比为λ(λ＞0，λ≠1)，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．下面我们来研究与此相关的一个问题，已知圆O：x2＋y2＝1上的动点M和定点A－12，0，B(1,1)，则2|MA|＋|MB|的最小值为()A.6B．7C.10D．11解析：选C①当点M在x轴上时，点M的坐标为(－1,0)或(1,0)．若点M的坐标为(－1,0)，则2|MA|＋|MB|＝2×12＋1＋12＋12＝1＋5；若点M的坐标为(1,0)，则2|MA|＋|MB|＝2×32＋1－12＋12＝4.②当点M不在x轴上时，取点K(－2,0)，连接OM，MK，因为|OM|＝1，|OA|＝12，|OK|＝2，所以|OM||OA|＝|OK||OM|＝2.因为∠MOK＝∠AOM，所以△MOK∽△AOM，则|MK||MA|＝|OM||OA|＝2，所以|MK|＝2|MA|，则2|MA|＋|MB|＝|MB|＋|MK|.易知|MB|＋|MK|≥|BK|，可知|MB|＋|MK|的最小值为|BK|.因为B(1,1)，K(－2,0)，所以(2|MA|＋|MB|)min＝|BK|＝－2－12＋0－12＝10.综上，易知2|MA|＋|MB|的最小值为10.故选C.3．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，以O为圆心的圆与直线x－3y－4＝0相切．(1)求圆O的方程；(2)若直线l：y＝kx＋3与圆O交于A，B两点，在圆O上是否存在一点Q，使得OQ―→＝OA―→＋OB―→？若存在，求出此时直线l的斜率；若不存在，请说明理由．解：(1)设圆O的半径为r，因为直线x－3y－4＝0与圆O相切，所以r＝|0－3×0－4|1＋3＝2，所以圆O的方程为x2＋y2＝4.(2)假设存在点Q，使得OQ