搜索
第三节随机事件的概率、古典概型核心素养立意下的命题导向1.结合随机事件发生的不确定性和频率的稳定性实验，考查对概率意义及基本性质的理解，凸显数据分析的核心素养．2．结合概率的意义及事件的概念，考查事件的关系及运算，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养．3．理解古典概型及其概率计算公式，培养数学运算的核心素养．4．结合古典概型的概率公式及基本事件的概念，考查古典概型的概率计算公式，凸显数据分析、数学运算的核心素养．[理清主干知识]1．事件的分类必然事件在条件S下，一定会发生的事件叫相对于条件S的必然事件确定事件不可能事件在条件S下，一定不会发生的事件叫相对于条件S的不可能事件随机事件在条件S下，_____________________的事件叫做相对于条件S的随机事件可能发生也可能不发生2．频率与概率(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝__为事件A出现的频率．(2)对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的_________稳定在某个常数上，把这个____记作P(A)，称为事件A发生的概率，简称为A的概率．nAn频率fn(A)常数3．事件的关系与运算定义符号表示包含关系如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B____事件A(或称事件A包含于事件B)______(或A⊆B)相等关系若B⊇A且A⊇B_____并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的_______(或和事件)A∪B(或A＋B)包含B⊇AA＝B并事件定义符号表示交事件(积事件)若某事件发生当且仅当___________且__________，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)A∩B(或AB)互斥事件若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥A∩B＝∅对立事件若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件A∩B＝∅，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1事件A发生事件B发生4．概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：___________.(2)必然事件的概率为__.(3)不可能事件的概率为__.(4)概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝__________．(5)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件，P(A∪B)＝__，P(A)＝________．0≤P(A)≤1P(A)＋P(B)1－P(B)1015．基本事件的特点(1)任何两个基本事件都是_____的；(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成_________的和．6．古典概型(1)古典概型的特点①有限性：试验中所有可能出现的基本事件___________；②等可能性：每个基本事件出现的可能性____．(2)古典概型的概率公式P(A)＝________________________.互斥基本事件只有有限个相等A包含的基本事件的个数基本事件的总数[澄清盲点误点]一、关键点练明1．(互斥事件与对立事件的识别)一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是()A．至多有一次中靶B．两次都中靶C．只有一次中靶D．两次都不中靶解析：两次中“至少有一次中靶”即“一次中靶或两次中靶”，与该事件不能同时发生的是“两次都不中靶”．故选D.答案：D2．(互斥事件的概率)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为()A．0.3B．0.4C．0.6D．0.7解析：由题意可知不用现金支付的概率为1－0.45－0.15＝0.4.故选B.答案：B3．(古典概型的计算)掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于()A.118B．19C.16D．112解析：所有基本事件的个数为6×6＝36，点数之和为5的基本事件有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)共4个．故所求概率为P＝436＝19.故选B.答案：B二、易错点练清1．(混淆互斥事件与对立事件)袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则①恰有1个白球和全是白球；②至少有1个白球和全是黑球；③至少有1个白球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个黑球．在上述事件中，是互斥事件但不是对立事件的为()A．①B．②C．③D．④解析：由题意可知，事件③④均不是互斥事件；①②为互斥事件，但②又是对立事件，满足题意只有①，故选A.答案：A2．(基本事件的个数不清)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是()A.16B．14C.13D．12解析：法一：设两位男同学分别为A，B，两位女同学分别为a，b，则用“树形图”表示四位同学排成一列所有可能的结果如图所示．由图知，共有24种等可能的结果，其中两位女同学相邻的结果(画“√”的情况)共有12种，故所求概率为1224＝12.法二：两位男同学与两位女同学随机排成一列，因为男同学人数与女同学人数相等，所以两女同学相邻与不相邻的排法种数相同，所以两女同学相邻与不相邻的概率均为12.答案：D3．(混淆频率与概率)给出下列三个命题，其中正确命题有________个．①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是37；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．解析：①错，不一定是10件次品；②错，37是频率而非概率；③错，频率不等于概率，这是两个不同的概念．答案：0考点一随机事件的频率和概率[典例]某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．[解](1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25℃，由表格数据知，最高气温低于25℃的频率为2＋16＋3690＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25℃，则Y＝6×450－4×450＝900；若最高气温位于区间[20,25)，则Y＝6×300＋2×(450－300)－4×450＝300；若最高气温低于20℃，则Y＝6×200＋2×(450－200)－4×450＝－100.所以Y的所有可能值为900,300，－100，Y大于零当且仅当最高气温不低于20℃，由表格数据知，最高气温不低于20℃的频率为36＋25＋7＋490＝0.8，因此Y大于零的概率的估计值为0.8.[方法技巧]1．概率与频率的关系频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率作为随机事件概率的估计值．2．随机事件概率的求法利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．[针对训练]电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率．(2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率．(3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论)解：(1)由题意知，样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2000，获得好评的第四类电影的部数是200×0.25＝50.故所求概率为502000＝0.025.(2)由题意知，样本中获得好评的电影部数是140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1＝56＋10＋45＋50＋160＋51＝372.故所求概率估计为1－3722000＝0.814.(3)增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率．考点二互斥事件、对立事件的概率[典例]一盒中装有大小和质地均相同的12只小球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1球，求：(1)取出的小球是红球或黑球的概率；(2)取出的小球是红球或黑球或白球的概率．[解]记事件A＝{任取1球为红球}；B＝{任取1球为黑球}；C＝{任取1球为白球}；D＝{任取1球为绿球}，则P(A)＝512，P(B)＝412，P(C)＝212，P(D)＝112.(1)由于A，B互斥，故取出1球为红球或黑球的概率为P1＝P(A)＋P(B)＝512＋412＝34.(2)法一：由于A，B，C互斥，故取出1球为红球或黑球或白球的概率为P2＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝512＋412＋212＝1112.法二：任取一球，取出的小球是红球或黑球或是白球的对立事件是取出一个小球是绿球．故P2＝1－P(D)＝1－112＝1112.[方法技巧]复杂的互斥事件的概率的两种求法直接法第一步，根据题意将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的和；第二步，运用互斥事件的概率求和公式计算概率间接法第一步，求事件的对立事件的概率；第二步，运用公式P(A)＝1－P(A)求解．特别是含有“至多”“至少”的题目，用间接法就显得比较简便[针对训练]经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：排队人数012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求：(1)至多2人排队等候的概率；(2)至少3人排队等候的概率．解：记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F彼此互斥．(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A∪B∪C，所以P(G)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)法一：记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D∪E∪F，所以P(H)＝P(D∪E∪F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.法二：记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.考点三古典概型考法(一)简单的古典概型[例1](1)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是()A.112B．114C.115D．118(2)(2020·全国卷Ⅰ)设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为()A.15B．25C.12D．45[解析](1)不超过30的所有素数为2,3,5,7,11,13,