【新高考复习】课时跟踪检测（四十二） 圆的方程、直线与圆的位置关系 作业

课时跟踪检测（四十二）圆的方程、直线与圆的位置关系一、综合练——练思维敏锐度1．(2021·江苏部分学校调研)圆(x－2)2＋y2＝4关于直线y＝33x对称的圆的方程是()A．(x－3)2＋(y－1)2＝4B．(x－2)2＋(y－2)2＝4C．x2＋(y－2)2＝4D．(x－1)2＋(y－3)2＝4解析：选D设圆(x－2)2＋y2＝4的圆心(2,0)关于直线y＝33x对称的点的坐标为(a，b)，则有ba－2·33＝－1，b2＝33·a＋22，解得a＝1，b＝3，从而所求圆的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝4.故选D.2．过点(2,1)的直线中被圆(x－1)2＋(y＋2)2＝5截得的弦长最大的直线方程是()A．3x－y－5＝0B．3x＋y－7＝0C．x＋3y－5＝0D．x－3y＋5＝0解析：选A∵过点(2,1)的直线中被圆(x－1)2＋(y＋2)2＝5截得的弦长最大的直线方程经过圆心，∴其直线方程为过点(2,1)和圆心(1，－2)的直线，∴其方程为：y＋2x－1＝1＋22－1，整理，得3x－y－5＝0.故选A.3．过点(－4,0)作直线l与圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A，B两点，若|AB|＝8，则直线l的方程为()A．5x＋12y＋20＝0B．5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0C．5x－12y＋20＝0D．5x－12y＋20＝0或x＋4＝0解析：选B圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝25，由|AB|＝8知，圆心(－1,2)到直线l的距离d＝3.当直线l的斜率不存在，即直线l的方程为x＝－4时，符合题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋4)，即kx－y＋4k＝0.则有|3k－2|k2＋1＝3，∴k＝－512.此时直线l的方程为5x＋12y＋20＝0.4．已知直线y＝ax与圆C：x2＋y2－6y＋6＝0相交于A，B两点，C为圆心．若△ABC为等边三角形，则a的值为()A．1B．±1C.3D．±3解析：选D根据题意，圆C：x2＋y2－6y＋6＝0即x2＋(y－3)2＝3，其圆心为(0,3)，半径r＝3，直线y＝ax与圆C：x2＋y2－6y＋6＝0相交于A，B两点，若△ABC为等边三角形，则圆心C到直线y＝ax的距离d＝32，则有|3|1＋a2＝32，解得a＝±3.5．已知圆(x－2)2＋y2＝1上的点到直线y＝3x＋b的最短距离为3，则b的值为()A．－2或2B．2或43＋2C．－2或43＋2D．－43－2或2解析：选D由圆(x－2)2＋y2＝1，可得圆心坐标为(2,0)，半径r＝1，设圆心(2,0)到直线y＝3x＋b的距离为d，则d＝||23＋b3＋1，因为圆(x－2)2＋y2＝1上的点到直线y＝3x＋b的最短距离为3，所以d－r＝3，即||23＋b3＋1－1＝3，解得b＝2或b＝－43－2，故选D.6．(多选)若直线l：y＝kx＋1与圆C：(x＋2)2＋(y－1)2＝2相切，则直线l与圆D：(x－2)2＋y2＝3的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．不确定解析：选AC由题意知C(－2,1)，圆C的半径为2，则|－2k－1＋1|k2＋1＝2，解得k＝±1，则直线l的方程为y＝±x＋1.D(2,0)，圆D的半径为r＝3，k＝1时，D到直线l的距离为|2＋1|2＝3223，相离；k＝－1时，D到直线l的距离为|－2＋1|2＝223，相交，故选A、C.7．已知直线l：x－3y－a＝0与圆C：(x－3)2＋(y＋3)2＝4交于点M，N，点P在圆C上，且∠MPN＝π3，则实数a的值等于()A．2或10B．4或8C．6±22D．6±23解析：选B由∠MPN＝π3可得∠MCN＝2∠MPN＝2π3.在△MCN中，CM＝CN＝2，∠CMN＝∠CNM＝π6，可得点C()3，－3到直线MN，即直线l：x－3y－a＝0的距离为2sinπ6＝1.所以||3－3×()－3－a1＋3＝1，解得a＝4或8.故选B.8．已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________.解析：由题意得，圆心C(0，m)到直线2x－y＋3＝0的距离d＝|－m＋3|5＝r，又r＝|AC|＝4＋m＋12，所以|－m＋3|5＝4＋m＋12，解得m＝－2，所以r＝5.答案：－259．已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：x－y＋6＝0，在直线l上任取一点P向圆C作切线，切点为A，B，连接AB，则直线AB一定过定点________．解析：设点P(x0，y0)，则x0－y0＋6＝0.以CP为直径的圆的方程为x(x－x0)＋y(y－y0)＝0，又圆C：x2＋y2＝4，作差可得直线AB的方程为xx0＋yy0＝4，将y0＝x0＋6，代入可得(x＋y)x0＋6y－4＝0，满足x＋y＝0，6y－4＝0⇒x＝－23，y＝23，故直线AB过定点－23，23.答案：－23，2310．已知圆C：x2＋y2－2x－4y＋1＝0上存在两点关于直线l：x＋my＋1＝0对称，经过点M(m，m)作圆C的切线，切点为P，则|MP|＝________.解析：圆C：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的圆心为C(1,2)，半径为2.因为圆上存在两点关于直线l：x＋my＋1＝0对称，所以直线l：x＋my＋1＝0过点(1,2)，所以1＋2m＋1＝0，解得m＝－1，所以|MC|2＝13，|MP|＝13－4＝3.答案：311．已知圆C经过点(0,1)且圆心为C(1,2)．(1)写出圆C的标准方程；(2)过点P(2，－1)作圆C的切线，求该切线的方程及切线长．解：(1)由题意知，圆C的半径r＝1－02＋2－12＝2，所以圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝2.(2)由题意知切线斜率存在，故设过点P(2，－1)的切线方程为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0，则|－k－3|1＋k2＝2，所以k2－6k－7＝0，解得k＝7或k＝－1，故所求切线的方程为7x－y－15＝0或x＋y－1＝0.由圆的性质易得所求切线长为PC2－r2＝2－12＋－1－22－2＝22.12．已知抛物线C：y2＝2x，过点(2,0)的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．(1)证明：坐标原点O在圆M上；(2)设圆M过点P(4，－2)，求直线l与圆M的方程．解：(1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：x＝my＋2.由x＝my＋2，y2＝2x可得y2－2my－4＝0，则y1y2＝－4.又x1＝y212，x2＝y222，故x1x2＝y1y224＝4.因此OA的斜率与OB的斜率之积为y1x1·y2x2＝－44＝－1，所以OA⊥OB.故坐标原点O在圆M上．(2)由(1)可得y1＋y2＝2m，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋4＝2m2＋4.故圆心M的坐标为(m2＋2，m)，圆M的半径r＝m2＋22＋m2.由于圆M过点P(4，－2)，因此AP―→·BP―→＝0，故(x1－4)(x2－4)＋(y1＋2)(y2＋2)＝0，即x1x2－4(x1＋x2)＋y1y2＋2(y1＋y2)＋20＝0.由(1)知y1y2＝－4，x1x2＝4.所以2m2－m－1＝0，解得m＝1或m＝－12.当m＝1时，直线l的方程为x－y－2＝0，圆心M的坐标为(3,1)，圆M的半径为10，圆M的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝10.当m＝－12时，直线l的方程为2x＋y－4＝0，圆心M的坐标为94，－12，圆M的半径为854，圆M的方程为x－942＋y＋122＝8516.二、自选练——练高考区分度1．(多选)已知圆O：x2＋y2＝4和圆M：x2＋y2＋4x－2y＋4＝0相交于A，B两点，下列说法正确的为()A．两圆有两条公切线B．直线AB的方程为y＝2x＋2C．线段AB的长为65D．圆O上点E，圆M上点F，则|EF|的最大值为5＋3解析：选AD对于A，因为两圆相交，所以两圆有两条公切线，故A正确；对于B，因为圆O：x2＋y2＝4，圆M：x2＋y2＋4x－2y＋4＝0，两圆作差得4x－2y＋4＝－4，即y＝2x＋4，所以直线AB的方程为y＝2x＋4，故B错误；对于C，圆O：x2＋y2＝4的圆心为(0,0)，半径为2，则圆心到直线AB的距离d＝44＋1＝455，所以|AB|＝222－4552＝455，故C错误；对于D，圆M：x2＋y2＋4x－2y＋4＝0的圆心M(－2,1)，半径为1，所以|EF|max＝|OM|＋2＋1＝5＋3，故D正确．2．设过点P()－2，0的直线l与圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的两个交点为A，B，若8PA―→＝5AB―→，则||AB＝()A.855B.463C.665D.453解析：选A由题意，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为x＝my－2，由x2＋y2－4x－2y＋1＝0，x＝my－2，得()m2＋1y2－()8m＋2y＋13＝0，则y1＋y2＝8m＋2m2＋1，y1y2＝13m2＋1，又8PA―→＝5AB―→，所以8(x1＋2，y1)＝5(x2－x1，y2－y1)，故8y1＝5(y2－y1)，即y2＝135y1，代入y1y2＝13m2＋1得：y21＝5m2＋1，故y22＝16925×5m2＋1，又(y1＋y2)2＝8m＋2m2＋12，即y21＋y22＋2y1y2＝19425×5m2＋1＋26m2＋1＝8m＋2m2＋12，整理得：m2－40m＋76＝0，解得m＝2或m＝38，又|AB|＝1＋m2y1＋y22－4y1y2＝23m2＋8m－12m2＋1，当m＝2时，|AB|＝855；当m＝38时，|AB|＝855.综上|AB|＝855.故选A.3.如图，已知圆C与y轴相切于点T(0，2)，与x轴的正半轴交于两点M，N(点M在点N的左侧)，且|MN|＝3.(1)求圆C的方程；(2)过点M任作一直线与圆O：x2＋y2＝4相交于A，B两点，连接AN，BN，求证：kAN＋kBN为定值．解：(1)因为圆C与y轴相切于点T(0,2)，可设圆心的坐标为(m,2)(m0)，则圆C的半径为m，又|MN|＝3，所以m2＝4＋322＝254，解得m＝52，所以圆C的方程为x－522＋(y－2)2＝254.(2)证明：由(1)知M(1,0)，N(4,0)，当直线AB的斜率为0时，易知kAN＝kBN＝0，即kAN＋kBN＝0.当直线AB的斜率不为0时，设直线AB：x＝1＋ty，将x＝1＋ty代入x2＋y2－4＝0，并整理得(t2＋1)y2＋2ty－3＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1＋y2＝－2tt2＋1，y1y2＝－3t2＋1，则kAN＋kBN＝y1x1－4＋y2x2－4＝y1ty1－3＋y2ty2－3＝2ty1y2－3y1＋y2ty1－3ty2－3＝－6tt2＋1＋6tt2＋1ty1－3ty2－3＝0.综上可知，kAN＋kBN为定值．