【新高考复习】第五节 双曲线 教案

第五节双曲线核心素养立意下的命题导向1.结合双曲线的定义，求轨迹方程及焦点三角形，凸显数学运算、直观想象的核心素养．2．结合双曲线几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)，考查求相关量的计算，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．[理清主干知识]1．双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a0，c0.(1)当2a|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；(3)当2a|F1F2|时，P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)图形性质范围x≤－a或x≥a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±baxy＝±abx离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)实虚轴线段A1A2是双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2是双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a是双曲线的实半轴长，b是双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)3．常用结论(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.(3)等轴双曲线①定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．②性质：a＝b；e＝2；渐近线互相垂直；等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项．(4)共轭双曲线①定义：如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线．②性质：它们有共同的渐近线；它们的四个焦点共圆；它们的离心率的倒数的平方和等于1.[澄清盲点误点]一、关键点练明1．(双曲线的定义)设F1，F2分别是双曲线x2－y29＝1的左、右焦点．若点P在双曲线上，且|PF1|＝5，则|PF2|＝()A．5B．3C．7D．3或7解析：选D∵||PF1|－|PF2||＝2，∴|PF2|＝7或3.2．(双曲线的实轴)双曲线2x2－y2＝8的实轴长是()A．2B．22C．4D．42解析：选C双曲线2x2－y2＝8的标准方程为x24－y28＝1，故实轴长为4.3．(双曲线的渐近线)若双曲线C：x2m－y2＝1(m0)的一条渐近线方程为3x＋2y＝0，则实数m＝()A.49B．94C.23D．32答案：A4．(双曲线的标准方程)以椭圆x24＋y23＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为__________．解析：设所求的双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，由椭圆x24＋y23＝1，得焦点为(±1,0)，顶点为(±2,0)．所以双曲线的顶点为(±1,0)，焦点为(±2,0)．所以a＝1，c＝2，所以b2＝c2－a2＝3，所以双曲线标准方程为x2－y23＝1.答案：x2－y23＝15．(双曲线的离心率)若双曲线x2a2－y24＝1(a＞0)的离心率为52，则a＝________.解析：设焦距为2c，则ca＝52，即c2＝54a2.由c2＝a2＋4得54a2＝a2＋4，所以a2＝16，所以a＝4.答案：4二、易错点练清1．(忽视双曲线定义的条件)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)的距离之差等于6的点的轨迹是________________．解析：由|PF1|－|PF2|＝6|F1F2|＝8，得a＝3，又c＝4，则b2＝c2－a2＝7，所以所求点的轨迹是双曲线y29－x27＝1的下支．答案：双曲线y29－x27＝1的下支2．(忽视双曲线上的点到原点的最小距离)已知双曲线x2－y216＝1上一点P到它的一个焦点的距离等于4，那么点P到另一个焦点的距离等于________．解析：设双曲线的焦点为F1，F2，|PF1|＝4，则||PF1|－|PF2||＝2，故|PF2|＝6或2，又双曲线上的点到它的焦点的距离的最小值为c－a＝17－12，故|PF2|＝6.答案：63．(忽视焦点的位置)以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为π3，则双曲线的离心率为________．解析：若双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1，则渐近线的方程为y＝±bax，由题意可得ba＝tanπ3＝3，b＝3a，可得c＝2a，则e＝ca＝2；若双曲线的焦点在y轴上，设双曲线的方程为y2a2－x2b2＝1，则渐近线的方程为y＝±abx，由题意可得ab＝tanπ3＝3，a＝3b，可得c＝233a，则e＝233.综上可得e＝2或e＝233.答案：2或233考点一双曲线的定义及其应用考法(一)利用定义求轨迹方程[例1]已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________________．[解析]如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B，根据两圆外切的充要条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|.因为|MA|＝|MB|，所以|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝3－1＝26.这表明动点M到两定点C2，C1的距离的差是常数2且小于|C1C2|.根据双曲线的定义知，动点M的轨迹为双曲线的左支(点M到C2的距离大，到C1的距离小)，且a＝1，c＝3，则b2＝8，设点M的坐标为(x，y)，则其轨迹方程为x2－y28＝1(x≤－1)．[答案]x2－y28＝1(x≤－1)考法(二)求解“焦点三角形”问题[例2]已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝()A．2B．4C．6D．8[解析]由双曲线的方程得a＝1，c＝2，由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2.在△PF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos60°，即(22)2＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|＝22＋|PF1|·|PF2|，解得|PF1|·|PF2|＝4.[答案]B考法(三)利用定义求最值[例3]已知F是双曲线x24－y212＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的一动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．[解析]因为F是双曲线x24－y212＝1的左焦点，所以F(－4,0)，设其右焦点为H(4,0)，则由双曲线的定义可得|PF|＋|PA|＝2a＋|PH|＋|PA|≥2a＋|AH|＝4＋4－12＋0－42＝4＋5＝9.[答案]9[方法技巧]双曲线定义的应用(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立|PF1|与|PF2|的关系．[提醒]在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．[针对训练]1．已知点O(0,0)，A(－2,0)，B(2,0)．设点P满足|PA|－|PB|＝2，且P为函数y＝34－x2图象上的点，则|OP|＝()A.222B．4105C.7D．10解析：选D由|PA|－|PB|＝2|AB|＝4，知点P的轨迹是双曲线的右支，点P的轨迹方程为x2－y23＝1(x≥1)，又y＝34－x2，所以x2＝134，y2＝274，所以|OP|＝x2＋y2＝134＋274＝10，故选D.2．(2020·全国卷Ⅰ)设F1，F2是双曲线C：x2－y23＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为()A.72B．3C.52D．2解析：选B法一：设F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，则由题意可知F1(－2,0)，F2(2,0)．又|OP|＝2，所以|OP|＝|OF1|＝|OF2|，所以△PF1F2是直角三角形，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝16.不妨令点P在双曲线C的右支上，则有|PF1|－|PF2|＝2，两边平方，得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝4，所以|PF1|·|PF2|＝6，则S△PF1F2＝12|PF1|·|PF2|＝12×6＝3，故选B.法二：设F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，则由题意可知F1(－2,0)，F2(2,0)．又|OP|＝2，所以|OP|＝|OF1|＝|OF2|，所以△PF1F2是直角三角形，所以S△PF1F2＝b2tanθ2＝3tan45°＝3(其中θ＝∠F1PF2)，故选B.考点二双曲线的标准方程[典例](1)经过点M(23，25)且与双曲线x23－y22＝1有相同渐近线的双曲线方程是()A.x218－y212＝1B.x212－y218＝1C.y218－x212＝1D．y212－x218＝1(2)已知曲线C的方程为x2k2－2－y26－k＝1(k∈R)，则下列结论正确的是()A．当k＝8时，曲线C为椭圆，其焦距为4＋15B．当k＝2时，曲线C为双曲线，其离心率为3C．存在实数k，使得曲线C为焦点在y轴上的双曲线D．当k＝3时，曲线C为双曲线，其渐近线与圆(x－4)2＋y2＝9相切[解析](1)设所求双曲线的方程为x23－y22＝λ，将点M(23，25)代入得2323－2522＝λ，解得λ＝－6，所以双曲线方程为y212－x218＝1，故选D.(2)对于A，当k＝8时，曲线C的方程为x262＋y22＝1，轨迹为椭圆，焦距2c＝262－2＝415，A错误；对于B，当k＝2时，曲线C的方程为x22－y24＝1，轨迹为双曲线，则a＝2，c＝6，∴离心率e＝ca＝3，B正确；对于C，若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则6－k＜0，k2－2＜0，解集为空集，∴不存在实数k，使得曲线C为焦点在y轴上的双曲线，C错误；对于D，当k＝3时，曲线C的方程为x27－y23＝1，其渐近线方程为y＝±217x，则圆(x－4)2＋y2＝9的圆心到渐近线的距离d＝|±421|21＋49＝4310＝2305≠3，∴双曲线的渐近线与圆(x－4)2＋y2＝9不相切，D错误．故选B.[答案](1)D(2)B[方法技巧]待定系数法求双曲线方程的5种类型类型一与双曲线x2a2－y2b2＝1有公共渐近线的双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)类型二若已知双曲线的一条渐近线方程为y＝bax或y＝－bax，则可设双曲线方程为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)类型三与双曲线x2a2－y2b2＝1共焦点的双曲线方程可设为x2a2－k－y2b2＋k＝1(－b2＜k＜a2)类型四过两个已知点的双曲线的标准方程可设为x2m－y2n＝1(mn＞0)或者x2m＋y2n＝1(mn＜0)类型五与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)有共同焦点的双曲线方程可设为x2a2－λ－y2λ－b2＝1(b2＜λ＜a2)[针对训练]1．双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左焦点为(－3,0)，且C的离心率为32，则C的方程为()A.y24－x25＝1B．y25－x24＝1C.x24－y25＝1D．x25－y24＝1解析：选C由题意，可得c＝3，又由e＝ca＝32，∴a＝2，又b2＝32－22＝5，故C的方程为x24－y25＝1，故选C.2．(2020·天津高考)设双曲线C的方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，过抛物线y2＝4x的焦点和点(