【新高考复习】课时跟踪检测（四十五） 双曲线 作业

课时跟踪检测（四十五）双曲线一、基础练——练手感熟练度1．双曲线x22－y2＝1的实轴长为()A．4B．2C．23D．22解析：选D由题知a2＝2，∴a＝2，故实轴长为2a＝22，故选D.2．双曲线x25－y210＝1的渐近线方程为()A．y＝±12xB．y＝±22xC．y＝±2xD．y＝±2x解析：选C双曲线x25－y210＝1的渐近线方程为x25－y210＝0，整理得y2＝2x2，解得y＝±2x，故选C.3．已知双曲线x24－y2b2＝1(b0)的渐近线方程为3x±y＝0，则b＝()A．23B．3C.32D．12解析：选A因为双曲线x24－y2b2＝1(b0)的渐近线方程为y＝±b2x，又渐近线方程为y＝±3x，所以b2＝3，b＝23，故选A.4．设双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的虚轴长为4，一条渐近线为y＝12x，则双曲线C的方程为()A.x216－y24＝1B．x24－y216＝1C.x264－y216＝1D．x2－y24＝1解析：选A因为双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的虚轴长为4，所以2b＝4，b＝2，因为双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一条渐近线为y＝12x，所以ba＝12⇒a＝2b＝4，所以双曲线M的方程为x216－y24＝1，故选A.5．若a＞1，则双曲线x2a2－y2＝1的离心率的取值范围是()A．(2，＋∞)B．(2，2)C．(1，2)D．(1,2)解析：选C由题意得双曲线的离心率e＝a2＋1a，即e2＝a2＋1a2＝1＋1a2.∵a＞1，∴0＜1a2＜1，∴1＜1＋1a2＜2，∴1＜e＜2.6．(2020·北京高考)已知双曲线C：x26－y23＝1，则C的右焦点的坐标为________；C的焦点到其渐近线的距离是________．解析：双曲线C：x26－y23＝1中，c2＝6＋3＝9，∴c＝3，则C的右焦点的坐标为(3,0)．C的渐近线方程为y＝±36x，即y＝±12x，即x±2y＝0，则C的焦点到其渐近线的距离d＝33＝3.答案：(3,0)3二、综合练——练思维敏锐度1．若实数k满足0＜k＜9，则曲线x225－y29－k＝1与曲线x225－k－y29＝1的()A．离心率相等B．虚半轴长相等C．实半轴长相等D．焦距相等解析：选D由0k9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x轴上，由25＋9－k＝25－k＋9，得两双曲线的焦距相等．2．设双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B,C两点．若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为()A．±12B．±22C．±1D．±2解析：选C由题设易知A1(－a,0)，A2(a,0)，Bc，b2a，Cc，－b2a.∵A1B⊥A2C，∴b2ac＋a·－b2ac－a＝－1，整理得a＝b.∵渐近线方程为y＝±bax，即y＝±x，∴渐近线的斜率为±1.3．已知双曲线x24－y22＝1的右焦点为F，P为双曲线左支上一点，点A(0，2)，则△APF周长的最小值为()A．4(1＋2)B．4＋2C．2(2＋6)D．6＋32解析：选A设双曲线的左焦点为F′，易得点F(6，0)，△APF的周长l＝|AF|＋|AP|＋|PF|＝|AF|＋2a＋|PF′|＋|AP|，要使△APF的周长最小，只需|AP|＋|PF′|最小，易知当A，P，F′三点共线时取到最小值，故l＝2|AF|＋2a＝4(1＋2)．故选A.4．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为5，从双曲线C的右焦点F引渐近线的垂线，垂足为A，若△AFO的面积为1，则双曲线C的方程为()A.x22－y28＝1B．x24－y2＝1C.x24－y216＝1D．x2－y24＝1解析：选D因为双曲线C的右焦点F到渐近线的距离|FA|＝b，|OA|＝a，所以ab＝2，又双曲线C的离心率为5，所以1＋b2a2＝5，即b2＝4a2，解得a2＝1，b2＝4，所以双曲线C的方程为x2－y24＝1，故选D.5．(2020·全国卷Ⅱ)设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于D，E两点．若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为()A．4B．8C．16D．32解析：选B由题意知双曲线的渐近线方程为y＝±bax.因为D，E分别为直线x＝a与双曲线C的两条渐近线的交点，所以不妨设D(a，b)，E(a，－b)，所以S△ODE＝12×a×|DE|＝12×a×2b＝ab＝8，所以c2＝a2＋b2≥2ab＝16，所以c≥4，所以2c≥8，所以C的焦距的最小值为8，故选B.6．已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1的一条渐近线l的倾斜角为π3，且C的一个焦点到l的距离为3，则双曲线C的方程为()A.x212－y24＝1B．x24－y212＝1C.x23－y2＝1D．x2－y23＝1解析：选D由x2a2－y2b2＝0可得y＝±bax，即渐近线的方程为y＝±bax，又一条渐近线l的倾斜角为π3，所以ba＝tanπ3＝3.因为双曲线C的一个焦点(c,0)到l的距离为3，所以|bc|a2＋b2＝b＝3，所以a＝1，所以双曲线的方程为x2－y23＝1.7．(2021·黄山一诊)双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一条渐近线与直线x＋2y＋1＝0垂直，F1，F2为C的焦点，A为双曲线上一点，若|F1A|＝2|F2A|，则cos∠AF2F1等于()A.32B．54C.55D．14解析：选C因为双曲线的一条渐近线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以b＝2a.又|F1A|＝2|F2A|，且|F1A|－|F2A|＝2a，所以|F2A|＝2a，|F1A|＝4a，而c2＝5a2，得2c＝25a，所以cos∠AF2F1＝|F1F2|2＋|F2A|2－|F1A|22|F1F2||F2A|＝20a2＋4a2－16a22×25a×2a＝55，故选C.8．(多选)设F1，F2是双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝6|OP|，则下列说法正确的是()A．|F2P|＝bB．双曲线的离心率为3C．双曲线的渐近线方程为y＝±3xD．点P在直线x＝33a上解析：选ABD由双曲线的性质可知，双曲线的一条渐近线方程为y＝bax，即bx－ay＝0，设焦点F1(－c,0)，F2(c,0)(a0，b0，c0)，因为过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，所以|F2P|＝|bc－a×0|a2＋b2＝bcc＝b，故A正确；因为|OP|＝|OF2|2－|PF2|2＝c2－b2＝a，所以|PF1|＝6|OP|＝6a，cos∠F1OP＝cos(180°－∠F2OP)＝－cos∠F2OP＝－|OP||OF2|＝－ac，在三角形OPF1中，根据余弦定理可知cos∠F1OP＝|OP|2＋|OF1|2－|F1P|22|OP|·|OF1|＝a2＋c2－6a22ac＝－ac，解得3a2＝c2，即离心率e＝3或e＝－3(舍去)，故B正确；因为e＝1＋b2a2＝3，解得ba＝2，所以渐近线的方程为y＝±2x，故C错误；因为点P在直线y＝2x上，可设P(x，2x)(x0)，由|OP|＝a可知，|OP|＝x2＋2x2＝3x＝a，解得x＝33a，故D正确．9．已知双曲线C：x212－y24＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为P，Q，若△POQ为直角三角形，则|PQ|＝()A．2B．4C．6D．8解析：选C对于双曲线C：x212－y24＝1，右焦点为F(4,0)，双曲线的两条渐近线方程为y＝±33x，由过点F的直线交两渐近线于P，Q，不妨设点P在第一象限，点Q在第四象限，∠OPQ＝90°，如图所示，则在Rt△POQ中，∠POQ＝60°.又∠POF＝30°，|OF|＝4，∴|OP|＝23，∴|PQ|＝3|OP|＝6.故选C.10．已知曲线x22＋y2k2－k＝1，当曲线表示焦点在y轴上的椭圆时k的取值范围是________；当曲线表示双曲线时k的取值范围是________．解析：当曲线表示焦点在y轴上的椭圆时，k2－k＞2，所以k＜－1或k＞2；当曲线表示双曲线时，k2－k＜0，所以0＜k＜1.答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)(0,1)11．若点P是以A(－3,0)，B(3,0)为焦点，实轴长为25的双曲线与圆x2＋y2＝9的一个交点，则|PA|＋|PB|＝________.解析：不妨设点P在双曲线的右支上，则|PA|＞|PB|.因为点P是双曲线与圆的交点，所以由双曲线的定义知，|PA|－|PB|＝25，①又|PA|2＋|PB|2＝36，②联立①②化简得2|PA|·|PB|＝16，所以(|PA|＋|PB|)2＝|PA|2＋|PB|2＋2|PA|·|PB|＝52，所以|PA|＋|PB|＝213.答案：21312．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线与抛物线y2＝4x的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若S△AOB＝23，则双曲线的离心率e＝________.解析：由题意，知抛物线的准线方程是x＝－1，双曲线的渐近线方程是y＝±bax.当x＝－1时，y＝±ba，即A－1，ba，B－1，－ba或A－1，－ba，B－1，ba.所以S△AOB＝12×2×ba×1＝23，即ba＝23，所以e＝1＋ba2＝13.答案：1313．已知双曲线C：x2－y28＝1，过左焦点F1的直线l与双曲线C的左支以及渐近线y＝22x交于A，B两点，若F1A―→＝AB―→，求直线l的斜率．解：由题意知，双曲线C的左焦点F1(－3，0)，故设直线l的方程为y＝k(x＋3)，与y＝22x联立，得B3k22－k，62k22－k，由F1A―→＝AB―→，得A为F1B的中点，由中点坐标公式得A3k－222－k，32k22－k.∵点A在双曲线上，∴3k－222－k2－32k22－k28＝1.即23k2－562k＋40＝0，解得k＝10223或k＝22(舍去)．14．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右焦点为F(c,0)．(1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为－3，求双曲线的离心率．解：(1)因为双曲线的渐近线方程为y＝±bax，所以a＝b，所以c2＝a2＋b2＝2a2＝4，所以a2＝b2＝2，所以双曲线的方程为x22－y22＝1.(2)设点A的坐标为(x0，y0)，所以直线AO的斜率满足y0x0·(－3)＝－1，所以x0＝3y0，①依题意，圆的方程为x2＋y2＝c2，将①代入圆的方程得3y20＋y20＝c2，即y0＝12c，所以x0＝32c，所以点A的坐标为32c，12c，代入双曲线方程得34c2a2－14c2b2＝1，即34b2c2－14a2c2＝a2b2，②又因为a2＋b2＝c2，所以将b2＝c2－a2代入②式，整理得34c4－2a2c2＋a4＝0，所以3ca4－8ca2＋4＝0，所以(3e2－2)(e2－2)＝0，因为e1，所以e＝2，所以双曲线的离心率为2.三、自选练——练高考区分度1．过双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右顶点A作斜率为－1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C.若AB―→＝12BC―→，则双曲线的离心率是()A.2B．3C.5D．10解析：选C直线l：y＝－x＋a与渐近线l1：bx－ay＝0交于Ba2a＋b，aba＋b，l与渐近线l2：bx＋ay＝0交于Ca2a－b，－aba－b，A(a,0)，所以AB―→＝－