【新高考复习】第四节 椭圆 教案

第四节椭圆核心素养立意下的命题导向1.结合椭圆的定义，考查应用能力，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．2．结合椭圆的定义、简单的几何性质、几何图形，会求椭圆方程及解与几何性质有关的问题，凸显数学运算、直观想象的核心素养．[理清主干知识]1．椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a0，c0，且a，c为常数．(1)若ac，则集合P为椭圆．(2)若a＝c，则集合P为线段．(3)若ac，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)图形性质范围－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：(0,0)顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)离心率e＝ca，且e∈(0,1)a，b，c的关系c2＝a2－b23．常用结论(1)过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦，长为2b2a，过焦点最长弦为长轴．(2)过原点最长弦为长轴长2a，最短弦为短轴长2b.(3)与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)有共同焦点的椭圆方程为x2a2＋λ＋y2b2＋λ＝1(λ＞－b2)．(4)焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形．若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)中：①当r1＝r2，即点P为短轴端点时，θ最大；②S＝12|PF1||PF2|sinθ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc；③△PF1F2的周长为2(a＋c)．[澄清盲点误点]一、关键点练明1．(椭圆的定义)设P是椭圆x24＋y29＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则||PF1＋||PF2＝()A．4B．8C．6D．18解析：选C由定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝6.2．(椭圆的离心率)椭圆x29＋y24＝1的离心率是()A.133B．53C.23D．59解析：选B∵椭圆方程为x29＋y24＝1，∴a＝3，c＝a2－b2＝9－4＝5.∴e＝ca＝53.故选B.3．(椭圆的方程)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于13，则椭圆C的方程是()A.x24＋y23＝1B．x24＋y23＝1C.x24＋y22＝1D．x29＋y28＝1解析：选D依题意，设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，所以c＝1，ca＝13，c2＝a2－b2，解得a2＝9，b2＝8.故椭圆C的方程为x29＋y28＝1.4．(求参数)椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m＝________.解析：椭圆x2＋my2＝1可化为x2＋y21m＝1，因为其焦点在y轴上，所以a2＝1m，b2＝1，依题意知1m＝2，解得m＝14.答案：14二、易错点练清1．(忽视椭圆定义中2a|F1F2|)到两定点F1(－2,0)和F2(2，0)的距离之和为4的点的轨迹是()A．椭圆B．线段C．圆D．以上都不对答案：B2．(忽视对焦点位置的讨论)若椭圆的方程为x210－a＋y2a－2＝1，且此椭圆的焦距为4，则实数a＝________.解析：①当焦点在x轴上时，10－a－(a－2)＝22，解得a＝4；②当焦点在y轴上时，a－2－(10－a)＝22，解得a＝8.答案：4或83．(忽视椭圆上点的坐标满足的条件)已知点P是椭圆x25＋y24＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为______________．解析：设P(x，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，所以c＝1，则F1(－1,0)，F2(1,0)．由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y＝±1，把y＝±1代入x25＋y24＝1，得x＝±152，又x0，所以x＝152，所以P点坐标为152，1或152，－1.答案：152，1或152，－1考点一椭圆定义的应用考法(一)利用定义求轨迹方程[例1](2021·济南调研)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A.x264－y248＝1B.y264＋x248＝1C.x248－y264＝1D．x264＋y248＝1[解析]设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16＞8＝|C1C2|，所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝16,2c＝8，故所求的轨迹方程为x264＋y248＝1.[答案]D考法(二)求解“焦点三角形”问题[例2]椭圆C：x2a2＋y2＝1(a1)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上异于端点的任意一点，PF1，PF2的中点分别为M，N，O为坐标原点，四边形OMPN的周长为23，则△PF1F2的周长是()A．2(2＋3)B．4＋23C.2＋3D．2＋23[解析]如图，由于O，M，N分别为F1F2，PF1，PF2的中点，所以OM∥PF2，ON∥PF1，且|OM|＝12|PF2|，|ON|＝12|PF1|，所以四边形OMPN为平行四边形，所以▱OMPN的周长为2(|OM|＋|ON|)＝|PF1|＋|PF2|＝2a＝23，所以a＝3，又知a2＝b2＋c2，b2＝1，所以c2＝a2－1＝2，所以|F1F2|＝2c＝22，所以△PF1F2的周长为2a＋2c＝23＋22＝2(2＋3)，故选A.[答案]A考法(三)利用定义求最值[例3]设点P是椭圆C：x28＋y24＝1上的动点，F为椭圆C的右焦点，定点A(2,1)，则|PA|＋|PF|的取值范围是______________．[解析]如图所示，设F′是椭圆的左焦点，连接AF′，PF′，则F′(－2,0)，∴|AF′|＝42＋12＝17.∵|PF|＋|PF′|＝2a＝42，∴|PA|＋|PF|＝|PA|＋2a－|PF′|≤2a＋|AF′|＝42＋17，|PA|＋|PF|＝|PA|＋2a－|PF′|＝2a－(|PF′|－|PA|)≥2a－|AF′|＝42－17.∴|PA|＋|PF|的取值范围是[42－17，42＋17]．[答案][42－17，42＋17][方法技巧]椭圆定义应用的类型及方法求方程通过对题设条件分析、转化后，能够明确动点满足椭圆的定义，便可直接求解其轨迹方程焦点三角形问题利用定义求焦点三角形的周长和面积．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义、正弦定理或余弦定理，其中|PF1|＋|PF2|＝2a两边平方是常用技巧求最值抓住|PF1|与|PF2|之和为定值，可联系到利用基本不等式求|PF1|·|PF2|的最值；利用定义|PF1|＋|PF2|＝2a转化或变形，借助三角形性质求最值[针对训练]1．(多选)(2021·日照模拟)已知P是椭圆x29＋y24＝1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且cos∠F1PF2＝13，则()A．△PF1F2的周长为12B．S△PF1F2＝22C．点P到x轴的距离为2105D．PF1―→·PF2―→＝2解析：选BCD由椭圆方程知a＝3，b＝2，所以c＝5，所以|PF1|＋|PF2|＝6，于是△PF1F2的周长为2a＋2c＝6＋25，故A选项错误；在△PF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|－2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2，所以20＝36－2|PF1|·|PF2|－23|PF1||PF2|，解得|PF1||PF2|＝6，故S△PF1F2＝12|PF1||PF2|sin∠F1PF2＝12×6×223＝22，故B选项正确；设点P到x轴的距离为d，则S△PF1F2＝12|F1F2|·d＝12×25d＝22，解得d＝2105，故C选项正确；PF1―→·PF2―→＝|PF1―→|·|PF2―→|cos∠F1PF2＝6×13＝2，故D选项正确．2．(2021·惠州调研)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的短轴长为2，上顶点为A，左顶点为B，左、右焦点分别是F1，F2，且△F1AB的面积为2－32，点P为椭圆上的任意一点，则1|PF1|＋1|PF2|的取值范围是________．解析：由已知得2b＝2，故b＝1，∴a2－c2＝b2＝1.①∵△F1AB的面积为2－32，∴12(a－c)b＝2－32，∴a－c＝2－3.②由①②联立解得，a＝2，c＝3.由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，∴1|PF1|＋1|PF2|＝|PF1|＋|PF2||PF1||PF2|＝4|PF1|4－|PF1|＝4－|PF1|2＋4|PF1|，又2－3≤|PF1|≤2＋3，∴1≤－|PF1|2＋4|PF1|≤4，∴1≤1|PF1|＋1|PF2|≤4，即1|PF1|＋1|PF2|的取值范围是[1,4]．答案：[1,4]考点二椭圆的标准方程[例1]过点(3，－5)，且与椭圆y225＋x29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为()A.x220＋y24＝1B．x225＋y24＝1C.y220＋x24＝1D．x24＋y225＝1[解析]法一：定义法椭圆y225＋x29＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c＝4.由椭圆的定义知，2a＝3－02＋－5＋42＋3－02＋－5－42，解得a＝25.由c2＝a2－b2，可得b2＝4.所以所求椭圆的标准方程为y220＋x24＝1.故选C.法二：待定系数法设所求椭圆方程为y225＋k＋x29＋k＝1(k－9)，将点(3，－5)的坐标代入，可得－5225＋k＋329＋k＝1，解得k＝－5，所以所求椭圆的标准方程为y220＋x24＝1.故选C.[答案]C[例2]如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－5,0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝6，则椭圆C的标准方程为()A.x236＋y216＝1B.x240＋y215＝1C.x249＋y224＝1D．x245＋y220＝1[解析]由题意可得c＝5，设右焦点为F′，连接PF′(图略)，由|OP|＝|OF|＝|OF′|知，∠PFF′＝∠FPO，∠OF′P＝∠OPF′，∴∠PFF′＋∠OF′P＝∠FPO＋∠OPF′，∴∠FPO＋∠OPF′＝90°，即PF⊥PF′.在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|＝|FF′|2－|PF|2＝102－62＝8，由椭圆的定义，得|PF|＋|PF′|＝2a＝6＋8＝14，从而a＝7，a2＝49，于是b2＝a2－c2＝49－25＝24，∴椭圆C的方程为x249＋y224＝1，故选C.[答案]C[方法技巧]求椭圆标准方程的2种常用方法定义法根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程待定系数法若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)[针对训练]1．若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为()A.x25＋y2＝1B.x24＋y2＝1C.x25＋y2＝1或x24＋y25＝1D．以上答案都不正确解析：选C直线与坐标轴的交点为(0,1)，(－2,0)，由题意知当焦点在x轴上时，c＝2，b＝1，所以a2＝5，所求椭圆的标准方程为x25＋y2＝1；当焦点在y轴上时，b＝2，c＝1，所以a2＝5，所求椭圆的标准方程为y25＋x24＝1.2．一个椭圆