【新高考复习】第二节 等差数列及其前n项和 教案

第二节等差数列及其前n项和核心素养立意下的命题导向1.理解等差数列的概念，凸显数学抽象的核心素养．2．与一次函数相对比，掌握等差数列的通项公式及应用，凸显数学运算的核心素养．3．与二次函数相结合，掌握等差数列的前n项和公式及应用，凸显数学运算的核心素养．4．与具体的问题情境相结合，考查等差数列的概念，凸显数学建模的核心素养．[理清主干知识]1．等差数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．(2)若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A＝a＋b2.2．等差数列的通项公式与前n项和公式(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．(2)前n项和公式：Sn＝na1＋nn－1d2＝na1＋an2＝d2n2＋a1－d2n.3．等差数列的性质(1)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.(2)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．(3)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(m∈N*)也是等差数列，公差为m2d.(5)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Snn也为等差数列．4．等差数列的相关结论(1)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p.(2)在等差数列{an}中，a10，d0，则Sn存在最大值；若a10，d0，则Sn存在最小值．(3)等差数列{an}的单调性：当d0时，{an}是递增数列；当d0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列．(4)数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，A≠0)．[澄清盲点误点]一、关键点练明1．(求数列的项)在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝()A．－1B．0C．1D．6解析：选B∵{an}为等差数列，∴2a4＝a2＋a6，∴a6＝2a4－a2＝2×2－4＝0.2．(求公差)已知等差数列{an}中，a2＝1，前5项和S5＝－15，则数列{an}的公差为()A．－3B．－52C．－2D．－4解析：选D设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，因为a2＝1，S5＝－15，所以a1＋d＝1，5a1＋5×42d＝－15，解得d＝－4.3．(求项数)已知等差数列{an}的公差d≠0，且a3＋a9＝a10－a8，若an＝0，则n＝________.解析：因为a3＋a9＝a10－a8，所以a1＋2d＋a1＋8d＝a1＋9d－(a1＋7d)，解得a1＝－4d，所以an＝－4d＋(n－1)d＝(n－5)d，令(n－5)d＝0(d≠0)，可解得n＝5.答案：54．(等差数列的性质)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________.解析：由等差数列的性质，得a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，∴a5＝90，∴a2＋a8＝2a5＝180.答案：180二、易错点练清1．(忽视数列中项为0的情况)已知等差数列{an}中，|a3|＝|a9|，公差d0，则使数列{an}的前n项和Sn取最大值的正整数n的值是________．解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由|a3|＝|a9|，得|a1＋2d|＝|a1＋8d|，解得a1＝－5d或d＝0(舍去)，则a1＋5d＝a6＝0，a50，故使前n项和Sn取最大值的正整数n是5或6.答案：5或62．(忽视相邻项的符号)首项为28的等差数列{an}，从第8项开始为负数，则公差d的取值范围是________．解析：由题意知数列{an}满足a80，a7≥0即28＋7d0，28＋6d≥0，解得－143≤d－4.答案：－143，－43．(忽视项的符号)已知等差数列{an}的通项公式为an＝11－n，则|a1|＋|a2|＋…＋|a20|＝________.解析：设Sn是数列{an}的前n项和，|a1|＋|a2|＋…＋|a20|＝(a1＋a2＋…＋a11)－(a12＋a13＋…＋a20)＝S11－(S20－S11)＝2S11－S20，而S11＝11×10＋02＝55，S20＝10×20＋20×20－12×(－1)＝10，∴|a1|＋|a2|＋…＋|a20|＝100.答案：100考点一等差数列的基本运算[典题例析](1)设等差数列{an}的前n项和为Sn，S11＝22，a4＝－12，若am＝30，则m＝()A．9B．10C．11D．15(2)(多选)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若S3＝0，a4＝8，则()A．Sn＝2n2－6nB．Sn＝n2－3nC．an＝4n－8D．an＝2n(3)(2020·全国卷Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1＝－2，a2＋a6＝2，则S10＝________.[解析](1)设等差数列{an}的公差为d，依题意得S11＝11a1＋11×11－12d＝22，a4＝a1＋3d＝－12，解得a1＝－33，d＝7，∴am＝a1＋(m－1)d＝7m－40＝30，∴m＝10.(2)设等差数列{an}的公差为d，则S3＝3a1＋3d＝0，a4＝a1＋3d＝8，解得a1＝－4，d＝4，∴an＝a1＋(n－1)d＝－4＋4(n－1)＝4n－8，Sn＝na1＋nn－1d2＝－4n＋2n(n－1)＝2n2－6n.(3)法一：设等差数列{an}的公差为d，则由a2＋a6＝2，得a1＋d＋a1＋5d＝2，即－4＋6d＝2，解得d＝1，所以S10＝10×(－2)＋10×92×1＝25.法二：设等差数列{an}的公差为d，因为a2＋a6＝2a4＝2，所以a4＝1，所以d＝a4－a14－1＝1－－23＝1，所以S10＝10×(－2)＋10×92×1＝25.[答案](1)B(2)AC(3)25[方法技巧]解决等差数列基本量计算问题的思路(1)在等差数列{an}中，a1与d是最基本的两个量，一般可设出a1和d，利用等差数列的通项公式和前n项和公式列方程(组)求解即可．(2)与等差数列有关的基本运算问题，主要围绕着通项公式an＝a1＋(n－1)d和前n项和公式Sn＝na1＋an2＝na1＋nn－12d，在两个公式中共涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，已知其中三个量，选用恰当的公式，利用方程(组)可求出剩余的两个量．[针对训练]1．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”(“钱”是古代一种质量单位)，在这个问题中，甲得()A.53钱B.32钱C.43钱D.54钱解析：选C甲、乙、丙、丁、戊五人所得钱数依次设为等差数列中的项a1，a2，a3，a4，a5，设公差为d，由题意知a1＋a2＝a3＋a4＋a5＝52，即2a1＋d＝52，3a1＋9d＝52，解得a1＝43，d＝－16，则甲得43钱，故选C.2．(2021·新高考全国卷Ⅰ)将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．解析：法一：观察归纳法数列{2n－1}的各项为1,3,5,7,9,11,13，…；数列{3n－2}的各项为1,4,7,10，13，….观察归纳可知，两个数列的公共项为1,7,13，…，是首项为1，公差为6的等差数列，则an＝1＋6(n－1)＝6n－5.故前n项和Sn＝na1＋an2＝n1＋6n－52＝3n2－2n.法二：设bn＝2n－1，cn＝3n－2，bn＝cm，则2n－1＝3m－2，得n＝3m－12＝3m－3＋22＝3m－12＋1，于是m－1＝2k，k∈N，所以m＝2k＋1，k∈N，则ak＝3(2k＋1)－2＝6k＋1，k∈N，得an＝6n－5，n∈N*.故Sn＝n1＋6n－52＝3n2－2n.答案：3n2－2n考点二等差数列的判定与证明[典例]已知数列{an}满足a1＝1，且nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n.(1)求a2，a3；(2)证明：数列ann是等差数列，并求{an}的通项公式．[解](1)由已知，得a2－2a1＝4，则a2＝2a1＋4，又a1＝1，所以a2＝6.由2a3－3a2＝12，得2a3＝12＋3a2，所以a3＝15.(2)证明：由已知nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n，得nan＋1－n＋1annn＋1＝2，即an＋1n＋1－ann＝2，所以数列ann是首项a11＝1，公差d＝2的等差数列．则ann＝1＋2(n－1)＝2n－1，所以an＝2n2－n.[方法技巧]等差数列的判定与证明方法方法解读适合题型定义法an－an－1(n≥2，n∈N*)为同一常数⇔{an}是等差数列解答题中证明问题等差中项法2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立⇔{an}是等差数列通项公式法an＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列选择、填空题中的判定问题前n项和公式法验证Sn＝An2＋Bn(A，B是常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列[提醒]用定义证明等差数列时，容易漏掉对起始项的检验，从而产生错解．比如，对于满足an－an－1＝1(n≥3)的数列{an}而言并不能判定其为等差数列，因为不能确定起始项a2－a1是否等于1.[针对训练]已知数列{an}满足(an＋1－1)(an－1)＝3(an－an＋1)，a1＝2，令bn＝1an－1.(1)证明：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．解：(1)证明：∵1an＋1－1－1an－1＝an－an＋1an＋1－1an－1＝13，∴bn＋1－bn＝13，∴{bn}是等差数列．(2)由(1)及b1＝1a1－1＝12－1＝1，知bn＝13n＋23，∴an－1＝3n＋2，∴an＝n＋5n＋2.考点三等差数列的性质及应用[典例](1)在等差数列{an}中，若a5＋a6＝4，则log2(2a1·2a2·…·2a10)＝()A．10B．20C．40D．2＋log25(2)在等差数列{an}中，Sn为其前n项的和，已知3a8＝5a13，且a10，若Sn取得最大值，则n的值为()A．20B．21C．22D．23[解析](1)由等差数列的性质知a1＋a10＝a2＋a9＝a3＋a8＝a4＋a7＝a5＋a6＝4，则2a1·2a2·…·2a10＝2a1＋a2＋…＋a10＝25(a5＋a6)＝25×4，所以log2(2a1·2a2·…·2a10)＝log225×4＝20.(2)设等差数列{an}的公差为d，由3a8＝5a13可得3(a1＋7d)＝5(a1＋12d)，即a1＝－392d，∵a10，∴d0，数列{an}为递减数列，∴a20＝a1＋19d＝－12d0，a21＝a1＋20d＝12d0，∴当n＝20时，Sn取得最大值．[答案](1)B(2)A[方法技巧]利用等差数列的性质求解问题的注意点(1)如果{an}为等差数列，m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．因此，若出现am－n，am，am＋n等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与am(或其他项)有关的条件；若求am项，可由am＝12(am－n＋am＋n)转化为求am－n，am＋n或am＋n＋am－n的