【新高考复习】课时跟踪检测（三十） 等差数列及其前n项和 作业

课时跟踪检测（三十）等差数列及其前n项和一、基础练——练手感熟练度1．已知数列{an}中a1＝1，an＋1＝an－1，则a4等于()A．2B．0C．－1D．－2解析：选D因为a1＝1，an＋1＝an－1，所以数列{an}为等差数列，公差d为－1，所以a4＝a1＋3d＝1－3＝－2，故选D.2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，a8＋a10＝28，则S9＝()A．36B．72C．144D．288解析：选B法一：∵a8＋a10＝2a1＋16d＝28，a1＝2，∴d＝32，∴S9＝9×2＋9×82×32＝72.法二：∵a8＋a10＝2a9＝28，∴a9＝14，∴S9＝9a1＋a92＝72.3．公差不为零的等差数列{an}中，a7＝2a5，则数列{an}中第________项的值与4a5的值相等．解析：设等差数列{an}的公差为d，因为a7＝2a5，所以a1＋6d＝2(a1＋4d)，则a1＝－2d，所以an＝a1＋(n－1)d＝(n－3)d，而4a5＝4(a1＋4d)＝4(－2d＋4d)＝8d＝a11，故数列{an}中第11项的值与4a5的值相等．答案：114．(2019·江苏高考)已知数列{an}(n∈N*)是等差数列，Sn是其前n项和．若a2a5＋a8＝0，S9＝27，则S8的值是________．解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.法一：由a2a5＋a8＝0，S9＝27，得a1＋da1＋4d＋a1＋7d＝0，9a1＋9×82d＝27，解得a1＝－5，d＝2，∴S8＝8a1＋8×72d＝8×(－5)＋28×2＝16.法二：∵S9＝27，∴S9＝9a1＋a92＝9a5＝27，∴a5＝3，又a2a5＋a8＝0，则3(3－3d)＋3＋3d＝0.解得d＝2，∴S8＝8a1＋a82＝4(a4＋a5)＝4×(1＋3)＝16.答案：165．若等差数列{an}的前17项和S17＝51，则a5－a7＋a9－a11＋a13＝________.解析：因为S17＝a1＋a172×17＝17a9＝51，所以a9＝3.根据等差数列的性质知a5＋a13＝a7＋a11，所以a5－a7＋a9－a11＋a13＝a9＝3.答案：36．设Sn为等差数列{an}的前n项和，满足S2＝S6，S55－S44＝2，则a1＝________，公差d＝________.解析：由{an}为等差数列，得数列Snn是首项为a1，公差为d2的等差数列，∵S55－S44＝2，∴d2＝2⇒d＝4，又S2＝S6⇒2a1＋4＝6a1＋6×52×4⇒a1＝－14.答案：－144二、综合练——练思维敏锐度1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m等于()A．3B．4C．5D．6解析：选C∵数列{an}为等差数列，且前n项和为Sn，∴数列Snn也为等差数列．∴Sm－1m－1＋Sm＋1m＋1＝2Smm，即－2m－1＋3m＋1＝0，解得m＝5，经检验为原方程的解，故选C.2．已知数列{an}满足a1＝15，且3an＋1＝3an－2.若ak·ak＋10，则正整数k＝()A．21B．22C．23D．24解析：选C由3an＋1＝3an－2⇒an＋1－an＝－23⇒{an}是等差数列，则an＝473－23n.∵ak·ak＋10，∴473－23k453－23k0，∴452k472，又∵k∈N*，∴k＝23.3．(2021·济南八校联考)设数列{an}是等差数列，且a2＝－6，a6＝6，Sn是数列{an}的前n项和，则()A．S4S3B．S4＝S3C．S4S1D．S4＝S1解析：选B设{an}的公差为d，由a2＝－6，a6＝6，得a1＋d＝－6，a1＋5d＝6，解得a1＝－9，d＝3.于是，S1＝－9，S3＝3×(－9)＋3×22×3＝－18，S4＝4×(－9)＋4×32×3＝－18，所以S4＝S3，S4S1，故选B.4．(多选)设{an}是无穷数列，An＝an＋an＋1(n＝1,2，…)，则下面给出的四个判断中，正确的有()A．若{an}是等差数列，则{An}是等差数列B．若{An}是等差数列，则{an}是等差数列C．若{an}是等比数列，则{An}是等比数列D．若{An}是等差数列，则{a2n}是等差数列解析：选AD若{an}是等差数列，设公差为d，则An＝an＋an＋1＝a1＋(n－1)d＋a1＋nd＝2a1＋2nd－d，则An－An－1＝(2a1＋2nd－d)－[2a1＋2(n－1)d－d]＝2d，所以{An}是等差数列，故A正确；若{An}是等差数列，设公差为d，An－An－1＝an＋an＋1－(an－1＋an)＝an＋1－an－1＝d，即数列{an}的偶数项成等差数列，奇数项成等差数列，故B不正确，D正确；若{an}是等比数列，设公比为q，当q≠－1时，则AnAn－1＝an＋an＋1an－1＋an＝an－1q＋anqan－1＋an＝q，当q＝－1时，则An＝an＋an＋1＝0，故{An}不是等比数列，故C不正确．故选A、D.5．在等差数列{an}中，若a9a8－1，且它的前n项和Sn有最小值，则当Sn0时，n的最小值为()A．14B．15C．16D．17解析：选C∵数列{an}是等差数列，它的前n项和Sn有最小值，∴公差d0，首项a10，{an}为递增数列．∵a9a8－1，∴a8·a90，a8＋a90，由等差数列的性质知，2a8＝a1＋a150，a8＋a9＝a1＋a160.∵Sn＝na1＋an2，∴当Sn0时，n的最小值为16.6．《九章算术》一书中衰分、均输、盈不足等卷中记载了一些有关数列的问题．齐去长安三千里，今有良马发长安至齐，驽马发齐至长安，同日相向而行．良马初日行一百五十五里，日增十二里；驽马初日行一百里，日减二里．问几日相遇()A．十日B．十一日C．十二日D．六十日解析：选A设良马每天行走的里数构成数列{an}，驽马每天行走的里数构成数列{bn}，则{an}，{bn}均为等差数列，公差分别为d1，d2.且a1＝155，d1＝12，b1＝100，d2＝－2，设n日相遇，则由题意知155n＋nn－12×12＋100n＋nn－12×(－2)＝3000，解得n＝10.7．已知{an}，{bn}均为等差数列，且a2＝4，a4＝6，b3＝3，b7＝9，由{an}，{bn}的公共项组成新数列{cn}，则c10＝()A．18B．24C．30D．36解析：选C因为数列{an}为等差数列，且a2＝4，a4＝6，所以其公差d1＝6－44－2＝1，通项公式为an＝n＋2.因为数列{bn}为等差数列，且b3＝3，b7＝9，所以其公差d2＝9－37－3＝32，通项公式为bn＝3n2－32.则a1＝b3＝3为数列{cn}的第一项，a4＝b5＝6为数列{cn}的第二项，a7＝b7＝9为数列{cn}的第三项，…，知{cn}为等差数列，{cn}的公差d＝3，且cn＝3＋(n－1)·3＝3n，则c10＝3×10＝30，故选C.8．已知数列{an}满足5an＋1＝25·5an，且a2＋a4＋a6＝9，则log13(a5＋a7＋a9)＝()A．－3B．3C．－13D.13解析：选A数列{an}满足5an＋1＝25·5an，∴an＋1＝an＋2，即an＋1－an＝2，∴数列{an}是等差数列，公差为2.∵a2＋a4＋a6＝9，∴3a4＝9，a4＝3.∴a1＋3×2＝3，解得a1＝－3.∴a5＋a7＋a9＝3a7＝3×(－3＋6×2)＝27，则log13(a5＋a7＋a9)＝log1333＝－3.故选A.9．(多选)(2021·青岛模拟)设d，Sn分别为等差数列{an}的公差与前n项和，若S10＝S20，则下列论断中正确的有()A．当n＝15时，Sn取最大值B．当n＝30时，Sn＝0C．当d0时，a10＋a220D．当d0时，|a10||a22|解析：选BC因为S10＝S20，所以10a1＋10×92d＝20a1＋20×192d，解得a1＝－292d.因为无法确定a1和d的正负性，所以无法确定Sn是否有最大值，故A错误．S30＝30a1＋30×292d＝30×－292d＋15×29d＝0，故B正确．a10＋a22＝2a16＝2(a1＋15d)＝2－292d＋15d＝d0，故C正确．a10＝a1＋9d＝－292d＋182d＝－112d，a22＝a1＋21d＝－292d＋422d＝132d，因为d0，所以|a10|＝－112d，|a22|＝－132d，|a10||a22|，故D错误．10．已知等差数列{an}的公差为－2，前n项和为Sn，a3，a4，a5为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120°，若Sn≤Sm对任意的n∈N*恒成立，则实数m＝()A．7B．6C．5D．4解析：选B∵等差数列{an}的公差为－2，a3，a4，a5为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120°，∴a23＝a24＋a25－2a4·a5cos120°，即(a4＋2)2＝a24＋(a4－2)2＋2a4(a4－2)×12，化为a24－5a4＝0，又a4≠0，解得a4＝5，∴a3＝7，a5＝3，a6＝1，a7＝－1.∵Sn≤Sm对任意的n∈N*恒成立，∴实数m＝6.故选B.11．等差数列{an}，{bn}满足：对任意n∈N*，都有anbn＝2n＋34n－9，则a7b3＋b9＋a5b4＋b8＝________.解析：由等差数列的性质可得b3＋b9＝b4＋b8＝2b6，a7＋a5＝2a6.∴a7b3＋b9＋a5b4＋b8＝a7＋a52b6＝2a62b6＝a6b6＝2×6＋34×6－9＝1.答案：112．已知数列{an}满足递推关系式an＋1＝2an＋2n－1(n∈N*)，且an＋λ2n为等差数列，则λ的值是________．解析：因为an＋λ2n为等差数列，an＋1＝2an＋2n－1，所以an＋1＋λ2n＋1－an＋λ2n＝2an＋2n－1＋λ2n＋1－an＋λ2n＝an2n＋12＋λ－12n＋1－λ2n－an2n＝12＋λ－12n＋1－λ2n是与n无关的常数，则λ－12n＋1－λ2n＝0，即λ－1－2λ2n＋1＝0，则λ－1－2λ＝0，解得λ＝－1.答案：－113．等差数列{an}中，Sn是它的前n项和，且S6S7，S6S8，给出下列结论：①数列{an}的公差d0；②S9S6；③S140；④S7一定是Sn中的最大值．其中正确的是________(填序号)．解析：∵S6S7，S6S8，∴S6S6＋a7，S6S6＋a7＋a8.∴a70，a7＋a80.∴a70，a80.①数列{an}的公差d0，正确；②由①得a7＋a8＋a90，∴S6＋a7＋a8＋a9S6，∴S9S6，正确；③S14＝14a1＋a142＝7(a7＋a8)0，正确；④显然正确．故正确的是①②③④.答案：①②③④14．已知数列{an}中，a1＝2，an＝2－1an－1(n≥2，n∈N*)，设bn＝1an－1(n∈N*)．求证：数列{bn}是等差数列．证明：∵an＝2－1an－1(n≥2)，∴an＋1＝2－1an.∴bn＋1－bn＝1an＋1－1－1an－1＝12－1an－1－1an－1＝an－1an－1＝1，∴{bn}是首项为b1＝12－1＝1，公差为1的等差数列．15．已知等差数列的前三项依次为a,4,3a，前n项和为Sn，且Sk＝110.(1)求a及k的值；(2)设数列{bn}的通项公式bn＝Snn，证明：数列{bn}是等差数列，并求其前n项和Tn.解：(1)设该等差数列为{an}，则a1＝a，a2＝4，a3＝3a，由已知有a＋3a＝8，得a1＝a＝2，公差d＝4－2＝2，所以Sk＝ka1＋kk－12·d＝2k＋kk－12×2＝k2＋k，由Sk＝110，得k2＋