第五节 三角恒等变换 课件

第五节三角恒等变换核心素养立意下的命题导向1.结合拆角、配角方法，将两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式等相结合，考查三角函数式的化简求值或求角问题，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．2．与三角函数的性质相结合考查三角恒等变换的应用，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．[理清主干知识]1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式C(α－β)cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβC(α＋β)cos(α＋β)＝____________________S(α－β)sin(α－β)＝_____________________S(α＋β)sin(α＋β)＝_____________________cosαcosβ－sinαsinβsinαcosβ－cosαsinβsinαcosβ＋cosαsinβT(α－β)tan(α－β)＝________________；变形：tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)T(α＋β)tan(α＋β)＝________________；变形：tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)tanα－tanβ1＋tanαtanβtanα＋tanβ1－tanαtanβ[提醒]在公式T(α±β)中α，β，α±β都不等于kπ＋π2(k∈Z)，即保证tanα，tanβ，tan(α±β)都有意义．2．二倍角公式S2αsin2α＝___________；变形：1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，1－sin2α＝(sinα－cosα)2C2αcos2α＝___________＝__________＝__________；变形：cos2α＝__________，sin2α＝__________T2αtan2α＝_________3．辅助角公式一般地，函数f(α)＝asinα＋bcosα(a，b为常数)可以化为f(α)＝a2＋b2sin(α＋φ)其中tanφ＝ba或f(α)＝a2＋b2cos(α－φ)其中tanφ＝ab2sinαcosαcos2α－sin2α2cos2α－11－2sin2α1＋cos2α21－cos2α22tanα1－tan2α[澄清盲点误点]一、关键点练明1．(正用二倍角公式)若sinα＝13，则cos2α＝()A.89B．79C．－79D．－89答案：B2．(正用两角差的正切公式)已知tanα＝2，则tanα－π4＝________.答案：133．(逆用两角差的正弦公式)化简cos18°cos42°－cos72°sin42°的值为________．答案：124．(辅助角公式)3cos15°－4sin215°cos15°＝________.解析：3cos15°－4sin215°cos15°＝3cos15°－2sin15°·2sin15°cos15°＝3cos15°－2sin15°·sin30°＝3cos15°－sin15°＝2cos(15°＋30°)＝2cos45°＝2.答案：2二、易错点练清1．(忽视角的范围)已知锐角α，β满足sinα＝1010，cosβ＝255，则α＋β＝()A.3π4B．π4C.π6D．3π4或π4解析：因为α，β为锐角，且sinα＝101012，cosβ＝25532，则cosα＝31010，且α∈0，π6，sinβ＝55且β∈0，π6，所以sin(α＋β)＝sinα·cosβ＋cosα·sinβ＝1010×255＋31010×55＝22.又α＋β∈0，π3，所以α＋β＝π4.答案：B2．(不会逆用公式致错)化简：cos40°cos25°·1－sin40°＝________.解析：原式＝cos40°cos25°·1－cos50°＝cos40°cos25°·2sin25°＝cos40°22sin50°＝2.答案：2考点一三角函数式的化简求值[典例]化简：2cos2α－12tanπ4－αsin2π4＋α＝________.[解析]法一：原式＝cos2α－sin2α2×1－tanα1＋tanαsinπ4cosα＋cosπ4sinα2＝cos2α－sin2α1＋tanα1－tanαcosα＋sinα2＝cos2α－sin2α1＋sinαcosα1－sinαcosαcosα＋sinα2＝1.法二：原式＝cos2α2tanπ4－αcos2π4－α＝cos2α2sinπ4－αcosπ4－α＝cos2αsinπ2－2α＝cos2αcos2α＝1.[答案]1[方法技巧]三角函数式的化简要遵循“三看”原则[提醒]化简三角函数式的常见方法有弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂与升幂等．[针对训练]已知α∈(0，π)，化简：1＋sinα＋cosα·cosα2－sinα22＋2cosα.解：原式＝2cos2α2＋2sinα2cosα2·cosα2－sinα24cos2α2.因为α∈(0，π)，所以cosα20，所以原式＝2cos2α2＋2sinα2cosα2·cosα2－sinα22cosα2＝cosα2＋sinα2·cosα2－sinα2＝cos2α2－sin2α2＝cosα.考点二三角函数的求值考法(一)给值(角)求值[例1](1)sin47°－sin17°cos30°cos17°＝()A．－32B．－12C.12D．32(2)若α，β均为锐角且cosα＝17，cos(α＋β)＝－1114，则sin32π＋2β＝()A．－12B．12C．－32D．32[解析](1)sin47°－sin17°cos30°cos17°＝sin17°＋30°－sin17°cos30°cos17°＝sin17°cos30°＋cos17°sin30°－sin17°cos30°cos17°＝sin30°＝12.(2)∵α，β均为锐角，∴0α＋βπ.∵cosα＝17，cos(α＋β)＝－1114，∴sinα＝437，sin(α＋β)＝5314.∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－1114×17＋5314×437＝12.∴sin32π＋2β＝－cos2β＝1－2cos2β＝12.故选B.[答案](1)C(2)B[方法技巧]给值求值问题的求解思路(1)化简所求式子．(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)．(3)将已知条件代入所求式子，化简求值．考法(二)给值求角[例2]已知A，B均为钝角，sin2A2＋cosA＋π3＝5－1510，且sinB＝1010，则A＋B＝()A.3π4B．5π4C.7π4D．7π6[解析]因为sin2A2＋cosA＋π3＝5－1510，所以1－cosA2＋12cosA－32sinA＝5－1510，即12－32sinA＝5－1510，解得sinA＝55.因为A为钝角，所以cosA＝－1－sin2A＝－1－552＝－255.由sinB＝1010，且B为钝角，可得cosB＝－1－sin2B＝－1－10102＝－31010.所以cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝－255×－31010－55×1010＝22.又A，B都为钝角，即A，B∈π2，π，所以A＋B∈(π，2π)，故A＋B＝7π4.故选C.[答案]C[方法技巧]给值求角问题的解题策略(1)讨论所求角的范围．(2)根据已知条件，选取合适的三角函数求值．①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是0，π2，选正、余弦函数皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦函数较好；若角的范围为－π2，π2，选正弦函数较好．(3)由角的范围，结合所求三角函数值写出要求的角．[针对训练]1．(2020·全国卷Ⅰ)已知α∈(0，π)，且3cos2α－8cosα＝5，则sinα＝()A.53B．23C.13D.59解析：∵3cos2α－8cosα＝5，∴3(2cos2α－1)－8cosα＝5，即3cos2α－4cosα－4＝0，解得cosα＝－23或cosα＝2(舍去)．∵α∈(0，π)，∴sinα＝1－cos2α＝53.故选A.答案：A2．(2020·全国卷Ⅲ)已知2tanθ－tanθ＋π4＝7，则tanθ＝()A．－2B．－1C．1D．2解析：由已知得2tanθ－tanθ＋11－tanθ＝7，解得tanθ＝2.答案：D3．已知锐角α，β满足sinα＝55，cosβ＝31010，则α＋β等于()A.3π4B．π4或3π4C.π4D．2kπ＋π4(k∈Z)解析：由sinα＝55，cosβ＝31010，且α，β为锐角，可知cosα＝255，sinβ＝1010，故cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝255×31010－55×1010＝22，又0α＋βπ，故α＋β＝π4.答案：C4.cos10°1＋3tan10°cos50°的值是________．解析：原式＝cos10°＋3sin10°cos50°＝2sin10°＋30°cos50°＝2sin40°sin40°＝2.答案：2考点三三角恒等变换的综合问题[典例](2021·郑州五校联考)已知函数f(x)＝23sinx＋π4cosx＋π4＋sin2x＋a的最大值为1.(1)求实数a的值；(2)若将f(x)的图象向左平移π6个单位，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间0，π2上的最大值和最小值．[解](1)f(x)＝23sinx＋π4cosx＋π4＋sin2x＋a＝3sin2x＋π2＋sin2x＋a＝3cos2x＋sin2x＋a＝2sin2x＋π3＋a，易知2＋a＝1，则a＝－1.(2)∵将f(x)的图象向左平移π6个单位，得到函数g(x)的图象，∴g(x)＝fx＋π6＝2sin2x＋π6＋π3－1＝2sin2x＋23π－1，∵x∈0，π2，∴2x＋23π∈23π，53π.∴当2x＋23π＝23π，即sin2x＋23π＝32时，g(x)取最大值3－1；当2x＋23π＝32π，即sin2x＋23π＝－1时，g(x)取最小值－3.[方法技巧]求函数周期、最值、单调区间的方法步骤(1)利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成y＝Asin(ωx＋φ)＋t或y＝Acos(ωx＋φ)＋t的形式；(2)利用公式T＝2πω(ω0)求周期；(3)根据自变量的范围确定ωx＋φ的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为求二次函数的最值；(4)根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y＝Asin(ωx＋φ)＋t或y＝Acos(ωx＋φ)＋t的单调区间．[针对训练]设函数f(x)＝cosπ2－xcosx－sin2(π－x)－12.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)若f(α)＝3210－1，且α∈π8，3π8，求fα－π8的值．解：(1)∵f(x)＝sinxcosx－sin2x－12＝12(sin2x＋cos2x)－1＝22sin2x＋π4－1，∴f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.由2kπ－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2(k∈Z)，得kπ－3π8≤x≤kπ＋π8(k∈Z)，∴f(x)的单调递增区间为kπ－3π8，kπ＋π8(k∈Z)