【新高考复习】课时跟踪检测（三十二） 数列求和 作业

课时跟踪检测（三十二）数列求和一、综合练——练思维敏锐度1．已知数列{an}满足：an＋1＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，a1＝1，a2＝2，Sn为数列{an}的前n项和，则S2021＝()A．3B．2C．1D．0解析：选C∵an＋1＝an－an－1，a1＝1，a2＝2，∴a3＝1，a4＝－1，a5＝－2，a6＝－1，a7＝1，a8＝2，…，故数列{an}是周期为6的周期数列，且每连续6项的和为0，故S2021＝336×0＋a2017＋a2018＋…＋a2021＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1＋2＋1＋(－1)＋(－2)＝1.故选C.2．在数列{an}中，若an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则数列{an}的前12项和等于()A．76B．78C．80D．82解析：选B由已知an＋1＋(－1)nan＝2n－1，得an＋2＋(－1)n＋1an＋1＝2n＋1，得an＋2＋an＝(－1)n(2n－1)＋(2n＋1)，取n＝1,5,9及n＝2,6,10，结果分别相加可得S12＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a11＋a12＝78.故选B.3．若数列{an}的通项公式是an＝1n＋n＋1，前n项和为9，则n等于()A．9B．99C．10D．100解析：选B因为an＝1n＋n＋1＝n＋1－n，所以Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n＋1－n)＝n＋1－1，令n＋1－1＝9，得n＝99.4．已知数列{an}满足log2an＝n＋log23，则a2＋a4＋a6＋…＋a20的值为()A．3×(211－4)B．3×(212－4)C.411－45D．411－4解析：选D∵log2an＝log22n＋log23＝log2(2n·3)，∴an＝3·2n，a2n＝3·22n＝3·4n，∴a2＋a4＋a6＋…＋a20＝3×(4＋42＋43＋…＋410)＝3×41－4101－4＝411－4.故选D.5．设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1Sn＋1＝Sn，则S10＝()A.110B．－110C．10D．－10解析：选B由an＋1Sn＋1＝Sn，得an＋1＝SnSn＋1.又an＋1＝Sn＋1－Sn，所以Sn＋1－Sn＝Sn＋1Sn，即1Sn＋1－1Sn＝－1，所以数列1Sn是以1S1＝1a1＝－1为首项，－1为公差的等差数列，所以1Sn＝－1＋(n－1)·(－1)＝－n，所以1S10＝－10，所以S10＝－110，故选B.6．已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝n＋1ann＋2an，则k＝1nkak＝________.解析：an＋1＝n＋1ann＋2an可化为nan＋1＋2an＋1an＝(n＋1)an.等号两边同时除以an＋1an，得n＋1an＋1－nan＝2，所以数列nan是首项为1a1＝12，公差为2的等差数列，所以k＝1nkak＝1a1＋2a2＋…＋nan＝12n＋nn－12×2＝n2－12n.答案：n2－12n7．在数列{an}中，a1＝－2，a2＝3，a3＝4，an＋3＋(－1)nan＋1＝2(n∈N*)．记Sn是数列{an}的前n项和，则S20的值为________．解析：由题意知，当n为奇数时，an＋3－an＋1＝2，又a2＝3，所以数列{an}中的偶数项是以3为首项，2为公差的等差数列，所以a2＋a4＋a6＋…＋a20＝10×3＋10×92×2＝120.当n为偶数时，an＋3＋an＋1＝2，又a3＋a1＝2，所以数列{an}中的相邻的两个奇数项之和均等于2，所以a1＋a3＋a5＋…＋a17＋a19＝(a1＋a3)＋(a5＋a7)＋…＋(a17＋a19)＝2×5＝10，所以S20＝120＋10＝130.答案：1308．(2021·青岛模拟)已知数列{an}的通项公式为an＝1nn＋2，n为奇数，n－7，n为偶数，则数列{an}前15项和S15的值为________．解析：数列{an}的通项公式为an＝1nn＋2，n为奇数，n－7，n为偶数，由1nn＋2＝121n－1n＋2，得S15＝12（1－13＋13－15＋15－17＋…＋115－117）＋(2＋4＋6＋…＋14)－7×7＝12×1617＋12×7×16－49＝12717.答案：127179．有一正项等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，满足a2a4＝64，S3＝14.设bn＝log2an(n∈N*)．(1)求a1，a2的值，并求出数列{an}的通项公式；(2)判断数列{bn}是否为等差数列，并说明理由；(3)记cn＝1bnbn＋1，求数列{cn}的前n项和Tn.解：(1)由a2a4＝64，得a23＝64.又∵an0，∴a3＝8.∵S3＝a1＋a2＋a3，∴a1＋a2＋8＝14，∴a1＋a1q＝6，即a1(1＋q)＝6，∴8q2(1＋q)＝6，即3q2－4q－4＝0，解得q＝2或q＝－23(舍去)．∴a1＝2，a2＝4，an＝2×2n－1＝2n(n∈N*)．(2)数列{bn}为等差数列．理由如下：由(1)知an＝2n，∴bn＝log2an＝log22n＝n，∴bn＋1＝n＋1，∴bn＋1－bn＝1.又b1＝1，∴{bn}是以1为首项，1为公差的等差数列．(3)由(2)可知，bn＝n，∴cn＝1bnbn＋1＝1nn＋1＝1n－1n＋1，∴Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n－1n＋1＝1－1n＋1＝nn＋1.10．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝5，nSn＋1－(n＋1)Sn＝n2＋n.(1)求证：数列Snn为等差数列；(2)令bn＝2nan，求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1)证明：由nSn＋1－(n＋1)Sn＝n2＋n得Sn＋1n＋1－Snn＝1，又S11＝5，所以数列Snn是首项为5，公差为1的等差数列．(2)由(1)可知Snn＝5＋(n－1)＝n＋4，所以Sn＝n2＋4n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋4n－(n－1)2－4(n－1)＝2n＋3.又a1＝5也符合上式，所以an＝2n＋3(n∈N*)，所以bn＝(2n＋3)2n，所以Tn＝5×2＋7×22＋9×23＋…＋(2n＋3)2n，①2Tn＝5×22＋7×23＋9×24＋…＋(2n＋1)2n＋(2n＋3)·2n＋1，②所以②－①得Tn＝(2n＋3)2n＋1－10－(23＋24＋…＋2n＋1)＝(2n＋3)2n＋1－10－231－2n－11－2＝(2n＋3)2n＋1－10－(2n＋2－8)＝(2n＋1)2n＋1－2.二、自选练——练高考区分度1．在公差不为零的等差数列{an}中，已知a1＝1，且a2，a5，a14成等比数列，{an}的前n项和为Sn，bn＝(－1)nSn，则an＝________，数列{bn}的前n项和Tn＝________.解析：设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，则由a2，a5，a14成等比数列得a25＝a2·a14，即(1＋4d)2＝(1＋d)(1＋13d)，解得d＝2，则an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，Sn＝na1＋nn－12d＝n2.当n为偶数时，Tn＝－S1＋S2－S3＋S4－…－Sn－1＋Sn＝－12＋22－32＋42－…－(n－1)2＋n2＝3＋7＋…＋(2n－1)＝nn＋12；当n为大于1的奇数时，Tn＝－S1＋S2－S3＋S4－…＋Sn－1－Sn＝－12＋22－32＋42－…－(n－2)2＋(n－1)2－n2＝3＋7＋…＋(2n－3)－n2＝－nn＋12，当n＝1时，也符合上式．综上所述，Tn＝(－1)nnn＋12.答案：2n－1(－1)nnn＋122．(2021·肥城教学研究中心高三模拟)请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答．①a1，14，a2成等差数列；②a1，a2＋1，a3成等比数列；③S3＝34.已知Sn为数列{an}的前n项和，3Sn＝an＋2a1(n∈N*)，a1≠0，且________．(1)求数列{an}的通项公式．(2)记bn＝ann为偶数，log3ann为奇数，求数列{bn}的前2n＋1项和T2n＋1.解：(1)由已知3Sn＝an＋2a1，n≥2时，3Sn－1＝an－1＋2a1.两式相减得到3an＝an－an－1，即anan－1＝－12.因为a1≠0，所以数列{an}是公比为－12的等比数列，从而an＝a1－12n－1.若选①，由a1，14，a2成等差数列可得a1＋a2＝2×14，即a1－12a1＝12，解得a1＝1，所以an＝－12n－1.若选②，由a1，a2＋1，a3成等比数列可得a1a3＝(a2＋1)2，即a1×14a1＝1－12a12，解得a1＝1，所以an＝－12n－1.若选③，由S3＝34可得a1＋a2＋a3＝34，即a1－12a1＋14a1＝34，解得a1＝1，所以an＝－12n－1.(2)当n为奇数时，bn＝log3－12n－1＝log312n－1＝－(n－1)log32.记前2n＋1项和T2n＋1中奇数项和为T奇，则T奇＝b1＋b3＋b5＋…＋b2n＋1＝－(0＋2＋4＋…＋2n)log32＝－n(n＋1)log32.当n为偶数时，bn＝－12n－1＝－12n－1，记前2n＋1项和T2n＋1中偶数项和为T偶，则T偶＝b2＋b4＋b6＋…＋b2n＝－121＋123＋125＋…＋122n－1＝－121－14n1－14＝－231－14n.故T2n＋1＝－n(n＋1)log32－231－14n.