搜索
课时跟踪检测（五十五）随机事件的概率、古典概型一、基础练——练手感熟练度1．在下列六个事件中，随机事件的个数为()①如果a，b都是实数，那么a＋b＝b＋a；②从分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的10张号签中任取一张，得到4号签；③没有水分，种子发芽；④某电话总机在60秒内接到至少10次呼叫；⑤在标准大气压下，水的温度达到50℃时沸腾；⑥同性电荷，相互排斥．A．2B．3C．4D．5解析：选A①⑥是必然事件；③⑤是不可能事件；②④是随机事件．故选A.2．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160cm的概率为0.3，该同学的身高在[160,175](单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的身高超过175cm的概率为()A．0.2B．0.3C．0.7D．0.8解析：选A由题意得，身高超过175cm的概率为P＝1－0.3－0.5＝0.2，故选A.3．某单位安排甲去参加周一至周五的公益活动，需要从周一至周五选择三天参加活动，那么甲连续三天参加活动的概率为()A.310B．320C.25D．12解析：选A由题意，某单位安排甲去参加周一至周五的公益活动，需要从周一至周五选择三天参加活动，共有10种不同的安排方式，其中甲连续三天参加活动的有：(周一、二、三)，(周二、三、四)，(周三、四、五)，共有3种不同的方式，所以甲连续三天参加活动的概率为P＝310，故选A.4．(多选)从1～20这20个整数中随机选择一个数，设事件A表示选到的数能被2整除，事件B表示选到的数能被3整除，则对下列事件概率描述正确的是()A．P(A)＝12B．P(A∩B)＝320C．P(A∪B)＝920D．P(A∩B)＝720解析：选ABD依题意得样本空间的样本点，总数为20，事件A的样本点包括2,4,6,8,10,12,14,16,18,20，共10个，所以P(A)＝1020＝12，故A正确；事件A∩B表示的是这个数既能被2整除也能被3整除，其样本点包括6,12,18，共3个，所以P(A∩B)＝320，故B正确；事件A∪B表示的是这个数能被2整除或能被3整除，其样本点包括2,3,4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20，共13个，所以P(A∪B)＝1320，故C错误；事件A∩B表示的是这个数既不能被2整除也不能被3整除，其样本点包括1,5,7,11,13,17,19，共7个，故P(A∩B)＝720，故D正确，故选A、B、D.5．公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的值的范围是3.1415926π3.1415927.为纪念祖冲之在圆周率上的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就．某小学教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们从小数点后的7位数字1,4,1,5,9,2,6中随机选取2位数字，整数部分3不变，那么得到的数大于3.14的概率为()A.2831B．1921C.2231D．1721解析：选A选择数字的总的方法有5×6＋1＝31(种)，其中得到的数不大于3.14的数为3.11,3.12,3.14，所以得到的数大于3.14的概率为P＝1－331＝2831.故选A.二、综合练——练思维敏锐度1．(2020·新高考全国卷Ⅰ)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是()A．62%B．56%C．46%D．42%解析：选C设事件A为喜欢足球，事件B为喜欢游泳，则由题意可知P(A∪B)＝96%，P(A)＝60%，P(B)＝82%.由P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)，可得P(A∩B)＝46%，所以既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是46%.2．(2019·全国卷Ⅰ)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是()A.516B．1132C.2132D．1116解析：选A在所有重卦中随机取一重卦，其基本事件总数n＝26＝64，恰有3个阳爻的基本事件数为C36C33＝20，所以在所有重卦中随机取一重卦，该重卦恰有3个阳爻的概率P＝2064＝516.3．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，都是白子的概率为1235.则从中任意取出2粒恰好是同一颜色的概率为()A.17B．1235C.1735D．1解析：选C设“从中取出2粒都是黑子”为事件A，“从中取出2粒都是白子”为事件B，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C，则C＝A∪B，且事件A与B互斥．所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝17＋1235＝1735，即任意取出2粒恰好是同一颜色的概率为1735.4．有3个不相识的人某天各自乘同一列火车外出，假设火车有10节车厢，那么至少有2人在同一节车厢的概率为()A.29200B．725C.29144D．718解析：选B因为“3人分别在3节车厢”的概率为P＝A31010×10×10＝1825，从而由对立事件的概率可得所求概率为P＝1－1825＝725，故选B.5．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为()A.15B．25C.35D．45解析：选C从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有C25＝10种情况，满足两点间的距离不小于正方形边长的有C24＝6种，故所求概率P＝610＝35.6.如图，《宋人扑枣图轴》是作于宋朝的中国古画，现收藏于中国台北故宫博物院．该作品简介：院角的枣树结实累累，小孩群来攀扯，枝丫不停晃动，粒粒枣子摇落满地，有的牵起衣角，有的捧着盘子拾取，又玩又吃，一片兴高采烈之情跃然于绢素之上．甲、乙、丙、丁四人想根据该图编排一个舞蹈，舞蹈中他们要模仿该图中小孩扑枣的爬、扶、捡、顶四个动作，四人每人模仿一个动作．若他们采用抽签的方式来决定谁模仿哪个动作，则甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”的概率是()A.34B．712C.12D．512解析：选B依题意，基本事件的总数为A44＝24，设事件A表示甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”，①若甲模仿“扶”，则A包含1×A33＝6个基本事件；②若甲模仿“捡”或“顶”，则A包含2×2×A22＝8个基本事件，综上可知A包含6＋8＝14个基本事件，所以P(A)＝1424＝712，故选B.7．著名的“3N＋1猜想”是指对于每一个正整数n，若n是偶数，则让它变成n2；若n是奇数，则让它变成3n＋1.如此循环，最终都会变成1.若数字5,6,7,8,9按照以上猜想进行变换，则变换次数为奇数的概率为()A.15B．25C.35D．45解析：选C依题意知，5→16→8→4→2→1，共进行5次变换；6→3→10→5→…，共进行8次变换；7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→…，共进行16次变换；由以上可知，8变换共需要3次；9→28→14→7→…，共进行19次变换．故变换次数为奇数的概率为35.8．(多选)已知m∈{1,2,3,4}，n∈{2,3,6,8}，设向量p＝(m，n)，且a＝(3,6)，b＝(2，－1)，则下列结论正确的是()A．满足|p|＝13的概率为116B．满足p与a共线的概率为316C．满足p⊥b的概率与p与a共线的概率相同D．满足p·(a＋b)＝50的概率为116解析：选BC依题意，向量p＝(m，n)的所有基本事件如表所示：p＝(m，n)23681(1,2)(1,3)(1,6)(1,8)2(2,2)(2,3)(2,6)(2,8)3(3,2)(3,3)(3,6)(3,8)4(4,2)(4,3)(4,6)(4,8)共16个．对于A，由|p|＝13，得m2＋n2＝13，满足事件的基本事件只有(2,3)，(3,2)，则其概率为P＝216＝18，故A错误；对于B，由p与a共线，得6m－3n＝0，即2m＝n，满足事件的基本事件有(1,2)，(3,6)，(4,8)，则其概率为316，故B正确；对于C，由p⊥b，得2m－n＝0，所以其概率为316，故C正确；对于D，由p·(a＋b)＝50，得5(m＋n)＝50，即m＋n＝10，满足事件的基本事件有(2,8)，(4,6)，其概率为P＝216＝18，故D错误，故选B、C.9．从1,2,3,4中选取两个不同数字组成一个两位数，则这个两位数能被3整除的概率为________．解析：从1,2,3,4中选取两个不同的数字组成的所有两位数为：12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，共计12个基本事件，其中能被3整除的有：12,21,24,42，共有4个基本事件，所以这个两位数能被3整除的概率为P＝412＝13.答案：1310．(2021·南宁一模)用0与1两个数字随机填入如图所示的5个格子里，每个格子填一个数字，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总是1的个数不少于0的个数，则这样填法的概率为______．解析：5个格子用0与1两个数字随机填入共有25＝32种不同方法，从左到右数，不管数到哪个格子，总是1的个数不少于0的个数包含的基本事件有：①全是1，有1种方法；②第一个格子是1，另外4个格子有一个0，有4种方法；③第一个格子是1，另外4个格子有2个0，有5种方法，所以共有1＋4＋5＝10种基本方法，那么概率P＝1032＝516.答案：51611．某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.商品顾客人数甲乙丙丁100√×√√217×√×√200√√√×300√×√×85√×××98×√××(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？解：(1)从统计表可以看出，在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001000＝0.2.(2)从统计表可以看出，在这1000位顾客中有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100＋2001000＝0.3.(3)与(1)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001000＝0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100＋200＋3001000＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001000＝0.1.所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．12．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工．根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为：[40,50)，[50,60)，…，[80,90)，[90,100]．(1)求频率分布直方图中a的值；(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；(3)从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40,50)的概率．解：(1)因为(0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，所以a＝0.006.(2)由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022＋0.018)×10＝0.4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.(3)受访职工中评分在[50,60)的有：50×0.006×10＝3(人)，记为A1，A2，A3；受访职工中评分在[40,50)的有：50×0.004×10＝2(人)，记为B1，B2.从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，分别是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，