【新高考复习】第二节 二项式定理 教案

第二节二项式定理核心素养立意下的命题导向1.结合二项式定理的推导，考查对二项式定理及通项公式的理解，凸显逻辑推理的核心素养．2．结合求二项展开式中的特定项及二项式系数性质的研究，考查二项式定理的应用，凸显数学运算的核心素养．[理清主干知识]1．二项式定理(1)定理：(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbn(n∈N*)．(2)通项：第k＋1项为Tk＋1＝Cknan－kbk.(3)二项式系数：二项展开式中各项的二项式系数为：Ckn(k＝0,1,2，…，n)．2．二项式系数的性质[澄清盲点误点]一、关键点练明1．(特定项的系数)1x－x10的展开式中x2的系数等于()A．45B．20C．－30D．－90解析：选A∵展开式的通项为Tr＋1＝(－1)rCr10x2rx－(10－r)＝(－1)rCr10x+3102r-，令－10＋32r＝2，得r＝8，∴展开式中x2的系数为(－1)8C810＝45.2．(二项展开式中常数项)二项式3x＋12x8的展开式的常数项是________．解析：该二项展开式的通项为Tr＋1＝Cr8x83r-12xr＝12rCr8x843r-.令8－4r3＝0，解得r＝2，所以所求常数项为C28×122＝7.答案：73．(二项式系数的性质)在二项式x－1xn的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数是______．解析：第5项的二项式系数是C4n，因为二项式x－1xn的展开式中只有第5项的二项式系数最大，所以n＝8，所以x－1x8的展开式中含x2项的系数是C38x5－1x3＝－56.答案：－564．(二项式系数和)若x3＋1xn的展开式的所有二项式系数的和为128，则n＝________.解析：由题意，可知2n＝128，解得n＝7.答案：7二、易错点练清1．(混淆项的系数和与二项式系数)在二项式x2－2xn的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为________．解析：由题意得2n＝32，所以n＝5.令x＝1，得各项系数的和为(1－2)5＝－1.答案：－12．(错用二项展开式的通项公式)x＋1x(1＋2x)5的展开式中，x3的系数为________．解析：x＋1x(1＋2x)5＝x(1＋2x)5＋1x(1＋2x)5，∵x(1＋2x)5的展开式中含x3的项为xC25(2x)2＝40x3，1x(1＋2x)5的展开式中含x3的项为1xC45(2x)4＝80x3，∴x3的系数为40＋80＝120.答案：1203．(易混淆二项式最大的项和二项式系数最大的项)(2x－1)6的展开式中，二项式系数最大的项的系数是________．(用数字作答)解析：(2x－1)6的展开式中，二项式系数最大的项是第四项，系数是C3623(－1)3＝－160.答案：－160考点一二项展开式中特定项及系数问题考法(一)形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量[例1](1)(2020·北京高考)在(x－2)5的展开式中，x2的系数为()A．－5B．5C．－10D．10(2)若二项式x6－1xxn的展开式中含有常数项，则n的值可以是()A．8B．9C．10D．11[解析](1)由二项式定理得(x－2)5的展开式的通项Tr＋1＝Cr5(x)5－r(－2)r＝Cr5(－2)rx52r-，令5－r2＝2，得r＝1，所以T2＝C15(－2)x2＝－10x2，所以x2的系数为－10，故选C.(2)二项式x6－1xxn的通项公式为Tr＋1＝Crn(x6)n－r·(－1)r·(x32)r＝Crn·(－1)r·x3452nr（）-，由题意可知含有常数项，所以只需4n－5r＝0，对照选项当n＝10时，r＝8，故选C.[答案](1)C(2)C[方法技巧]求形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤考法(二)形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)展开式中与特定项相关的量[例2](2020·全国卷Ⅰ)x＋y2x(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为()A．5B．10C．15D．20[解析]因为(x＋y)5的通项公式为Cr5x5－ryr(r＝0,1,2,3,4,5)，所以r＝1时，y2xC15x4y＝5x3y3；r＝3时，xC35x2y3＝10x3y3，所以x3y3的系数为5＋10＝15.[答案]C[方法技巧]求形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题的思路(1)若n，m中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展开分别求解．(2)观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2.(3)分别得到(a＋b)n，(c＋d)m的通项公式，综合考虑．考法(三)形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量[例3](2021·三明质检)在(2x2＋x－1)5的展开式中，x3的系数为________．[解析](2x2＋x－1)5＝[2x2＋(x－1)]5，故Tr＋1＝Cr5(2x2)5－r(x－1)r，因为要求x3的系数，所以r＝4或5，当r＝4时，x3的系数为C45·2·C34·(－1)3＝－40，当r＝5时，x3的系数为C55·C25·(－1)2＝10，所以x3的系数为－40＋10＝－30.[答案]－30[方法技巧]求形如(a＋b＋c)n展开式中特定项的步骤[针对训练]1．(1－2x)3(2＋x)4展开式中x2的系数为()A．0B．24C．192D．408解析：选B由于(1－2x)3的通项公式为Tr＋1＝Cr3(－2x)r，(2＋x)4的通项公式为Tk＋1＝Ck424－kxk.若(1－2x)3中提供常数项1，(2＋x)4的展开式中提供二次项，此时r＝0，k＝2，则系数为C03C2422＝24；若(1－2x)3中提供一次项，(2＋x)4的展开式中提供一次项，此时r＝1，k＝1，则系数为－2C13C1423＝－192；若(1－2x)3中提供二次项，(2＋x)4的展开式中提供常数项，此时r＝2，k＝0,则系数为4C23C0424＝192，故展开式中x2的系数为24－192＋192＝24.故选B.2．(多选)(2021·邯郸备考)已知3x2＋1x4的展开式中各项系数之和为A，第二项的二项式系数为B，则()A．A＝256B．A＋B＝260C．展开式中存在常数项D．展开式中含x2项的系数为54解析：选ABD令x＝1，得3x2＋1x4的展开式中各项系数之和为44＝256，所以A＝256，选项A正确；3x2＋1x4的展开式中第二项的二项式系数为C14＝4，所以B＝4，A＋B＝260，选项B正确；3x2＋1x4的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr4(3x2)4－r1xr＝34－rCr4x8－3r，令8－3r＝0，则r＝83，所以展开式中不存在常数项，选项C错误；令8－3r＝2，则r＝2，所以展开式中含x2项的系数为34－2C24＝54，选项D正确．3.x＋ax4的展开式中x2项的系数为8，则a＝________.解析：x＋ax4的展开式中第r＋1项为Tr＋1＝Cr4x4－raxr＝Cr4arx4－2r，故当r＝1时，T2＝C14ax2，因为x2项的系数为8，所以C14a＝8，解得a＝2.答案：24．(2020·全国卷Ⅲ)x2＋2x6的展开式中常数项是________(用数字作答)．解析：x2＋2x6的展开式的通项Tr＋1＝Cr6(x2)6－r·2xr＝Cr62rx12－3r，令12－3r＝0，解得r＝4，所以常数项是C4624＝240.答案：240考点二二项式系数的性质及各项系数和[典例]二项式(2x－3y)9的展开式中，求：(1)二项式系数之和；(2)各项系数之和；(3)所有奇数项系数之和；(4)各项系数绝对值之和．[解]设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9.(1)二项式系数之和为C09＋C19＋C29＋…＋C99＝29.(2)各项系数之和为a0＋a1＋a2＋…＋a9，令x＝1，y＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1.(3)由(2)知a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1，①令x＝1，y＝－1，得a0－a1＋a2－…－a9＝59，②①＋②得a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝59－12，此即为所有奇数项系数之和．(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a0－a1＋a2－…－a9，令x＝1，y＝－1，得|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a0－a1＋a2－…－a9＝59，此即为各项系数绝对值之和．[方法技巧]1．赋值法的应用(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x＝1即可．(2)形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．2．二项展开式各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)的展开式中：(1)各项系数之和为f(1)．(2)奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝f1＋f－12.(3)偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝f1－f－12.[提醒]注意区分二项式系数与二项展开式的各项系数．[针对训练]1．(多选)若(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则下列结论中正确的是()A．a0＝1B．a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝2C．a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝35D．a0－|a1|＋a2－|a3|＋a4－|a5|＝－1解析：选ACD因为(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，令x＝0，则a0＝15＝1，故A正确；令x＝1，得－1＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－1－a0＝－2，故B错误；令x＝－1，得35＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5，故C正确；因为二项式(1－2x)5的展开式的第r＋1项为Tr＋1＝Cr5(－2)rxr，所以当r为奇数时，Cr5(－2)r为负数，即ai0(其中i为奇数)，所以a0－|a1|＋a2－|a3|＋a4－|a5|＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－1，故D正确．2．在二项式x＋3xn的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A＋B＝72，则展开式中常数项的值为________．解析：令x＝1，得各项系数的和为4n，而各项的二项式系数的和等于2n，根据已知，得方程4n＋2n＝72，解得n＝3.所以二项展开式的通项Tr＋1＝Cr3(x)3－r3xr＝3rCr3x2r33-2，显然当r＝1时，Tr＋1是常数项，值为3C13＝9.答案：9一、创新思维角度——融会贯通学妙法巧用二项式系数的性质解题题型(一)对称性问题[例1]已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则这两项的二项式系数为________．[解析]根据题设，第4项与第8项的二项式系数相等，则C3n＝C7n.由组合数的性质得n＝10，则展开式中第4项与第8项的系数为C310＝C710＝120.[答案]120[名师微点]利用二项展开式的特点与组合数的性质可得二项式系数的对称性，但要注意到二项式系数、项的系数是两个不同的概念，二项式系数与二项展开式中某一项的系数也不一定相同，因此二项展开式的字母系数不一定具有这一性质．题型(二)增减性与最大值问题[例2]若(1＋x)n(n∈N*)的二项展开式中，只有x5的系数最大，则n＝________.[解析]根据题意，二项展开式中只有x5的系数最大，而x5是展开式的