【新高考复习】第六节 概率与统计的综合问题 教案

第六节概率与统计的综合问题题型一概率与频率分布直方图的交汇[典例](2021·西安一模)某超市每年10月份都销售某种桃子，在10月份的每天计划进货量都相同，进货成本为每千克16元，销售价为每千克24元；当天超出需求量的部分，以每千克10元全部卖出．根据往年销售经验，每天的需求量与当天最高气温(单位：℃)有一定关系：最高气温低于25℃，需求量为1000千克；最高气温位于[25,30)内，需求量为2000千克；最高气温不低于30℃，需求量为3000千克．为了制订2020年10月份的订购计划，超市工作人员统计了近三年10月份的气温数据，得到如图所示的频率分布直方图．以气温位于各区间的频率代替气温位于该区间的概率．(1)求2020年10月份桃子一天的需求量X的分布列；(2)设2020年10月份桃子一天的销售利润为Y元，当一天的进货量为多少千克时，E(Y)取到最大值？[解](1)由题意知X的可能取值为1000,2000,3000，P(X＝1000)＝(0.0089＋0.0311)×5＝0.2，P(X＝2000)＝0.0800×5＝0.4，P(X＝3000)＝(0.0467＋0.0333)×5＝0.4.所以X的分布列为X100020003000P0.20.40.4(2)设一天的进货量为n千克，则1000≤n≤3000.①当1000≤n2000时，若最高气温不低于25℃，则Y＝8n；若最高气温低于25℃，则Y＝1000×8－(n－1000)×6＝14000－6n.此时E(Y)＝0.8×8n＋0.2×(14000－6n)＝5.2n＋280013200.②当2000≤n≤3000时，若最高气温不低于30℃，则Y＝8n；若最高气温位于[25,30)内，则Y＝2000×8－(n－2000)×6＝28000－6n；若最高气温低于25℃，则Y＝1000×8－(n－1000)×6＝14000－6n.此时E(Y)＝0.4×8n＋0.4×(28000－6n)＋0.2×(14000－6n)＝14000－0.4n≤13200，当且仅当n＝2000时取等号．综上，当一天的进货量为2000千克时，E(Y)取到最大值．[方法技巧]高考常将求概率与等可能事件、互斥事件、相互独立事件、超几何分布、二项分布等交汇在一起进行考查，因此在解答此类题时，准确把题中所涉及的事件进行分解，明确所求问题所属的事件类型是关键．特别是要注意挖掘题目中的隐含条件．[针对训练]“不忘初心、牢记使命”主题教育活动正在全国开展，某区政府为统计全区党员干部一周参与主题教育活动的时间，从全区的党员干部中随机抽取n名，获得了他们一周参加主题教育活动时间(单位：时)的频率分布直方图，如图所示，已知参加主题教育活动的时间在(12,16]内的人数为92.(1)求n的值；(2)估计这些党员干部一周参与主题教育活动时间的平均值以及中位数(中位数的结果精确到0.01)；(3)用频率估计概率，如果计划对全区一周参与主题教育活动的时间在(16,24]内的党员干部给予奖励，且参与时间在(16,20]，(20,24]内的分别得二等奖和一等奖，从这些获奖人中随机抽取5人，求这5人中获得一等奖人数的分布列及期望．解：(1)由已知可得，a＝1÷4－(0.0250＋0.0475＋0.0500＋0.0125)＝0.1150，0．1150×4×n＝92，因而n＝920.1150×4＝200.(2)这些党员干部一周参加主题教育活动时间的平均值约为(6×0.0250＋10×0.0475＋14×0.1150＋18×0.0500＋22×0.0125)×4＝13.64.设中位数的估计值为x，则0.0500×4＋0.0125×4＋(16－x)×0.1150＝0.5，得x≈13.83.(3)由频率分布直方图知，这些获奖人中参与主题教育活动的时间在(16,20]的概率为0.05000.0500＋0.0125＝45，在(20,24]的概率为0.01250.0500＋0.0125＝15，设抽取的5人中获得一等奖的人数为ξ，则ξ的可能取值为0,1,2,3,4,5.P(ξ＝0)＝C05×150×455＝10243125，P(ξ＝1)＝C15×151×454＝256625，P(ξ＝2)＝C25×152×453＝128625，P(ξ＝3)＝C35×153×452＝32625，P(ξ＝4)＝C45×154×451＝4625，P(ξ＝5)＝C55×155×450＝13125，则ξ的分布列为ξ012345P1024312525662512862532625462513125法一：E(ξ)＝0×10243125＋1×256625＋2×128625＋3×32625＋4×4625＋5×13125＝1.法二：易知ξ服从二项分布，所以E(ξ)＝5×15＝1.题型二概率与统计、统计案例的交汇[典例](2021·上饶一模)某晚会上，演员身穿独特且轻薄的石墨烯发热服，在寒气逼人的零下20℃的现场表演了精彩的节目．石墨烯发热服的制作：从石墨中分离出石墨烯，制成石墨烯发热膜，再把石墨烯发热膜铺到衣服内．(1)从石墨分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶．现有A，B两种材料供选择，研究人员对附着在A材料上再结晶做了30次试验，成功28次；对附着在B材料上再结晶做了30次试验，成功20次．补充下面的2×2列联表，并判断是否有99.5%的把握认为试验是否成功与A材料和B材料的选择有关.A材料B材料总计成功不成功总计(2)研究人员得到石墨烯后，再制作石墨烯发热膜有四个环节，其中前三个环节每个环节生产合格的概率均为12，每个环节不合格需要修复的费用均为200元；第四个环节生产合格的概率为23，此环节不合格需要修复的费用为100元．问：一次生产出来的石墨烯发热膜成为合格品平均需要多少修复费用？附：K2＝nad－bc2a＋bc＋da＋cb＋d，其中n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.1000.0500.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.828[解](1)2×2列联表如下：A材料B材料总计成功282048不成功21012总计303060K2＝60×28×10－2×20248×12×30×30≈6.6677.879，所以没有99.5%的把握认为实验是否成功与A材料和B材料的选择有关．(2)设X为一次生产出石墨烯发热膜为合格品所需的修复费用，则X的可能取值为0,100,200,300,400,500,600,700，P(X＝0)＝123×23＝112，P(X＝100)＝123×13＝124，P(X＝200)＝C131－12×122×23＝14，P(X＝300)＝C131－12×122×13＝18，P(X＝400)＝C231－122×12×23＝14，P(X＝500)＝C231－122×12×13＝18，P(X＝600)＝1－123×23＝112，P(X＝700)＝1－123×13＝124，E(X)＝0×112＋100×124＋200×14＋300×18＋400×14＋500×18＋600×112＋700×124＝33313.故一次生产出来的石墨烯发热膜成为合格品平均需要33313元修复费用．[方法技巧](1)概率常与随机抽样、频率分布直方图、统计、独立性检验、离散型随机变量的分布列、数学期望等综合，注意频率分布直方图的纵轴不表示频率．(2)当题目中出现“在……条件(前提)下”等字眼时，所求概率一般为条件概率；若无上述字眼，但已发生的事件影响了所求事件的概率，也认为是条件概率．条件概率的公式需记牢，不要混淆事件A，B.也有不用条件概率的公式，根据实际意义求概率的，如“甲、乙比赛时，甲每局获胜的概率皆为23，且各局比赛胜负互不影响，比赛采用五局三胜制．已知第一局乙获胜，求甲获胜的概率．”易得甲获胜的概率P＝233＋23×C23232×13＝1627.[针对训练]某人经营淡水池塘养草鱼，根据过去40期的养殖档案，该池塘的养殖重量X(百斤)都在20百斤以上，其中不足40百斤的有8期，不低于40百斤且不超过60百斤的有24期，超过60百斤的有8期．根据统计，该池塘的草鱼重量的增加量y(百斤)与使用某种饵料的质量x(百斤)之间的关系如图所示．(1)根据数据可知y与x具有线性相关关系，请建立y关于x的回归方程y^＝b^x＋a^；如果此人设想使用某种饵料10百斤时，草鱼重量的增加量须多于5百斤，请根据回归方程计算，确定此方案是否可行？并说明理由．(2)养鱼的池塘对水质含氧量与新鲜度要求较高，某商家为该养殖户提供收费服务，即提供不超过3台增氧冲水机，每期养殖使用的冲水机运行台数与鱼塘的鱼重量X有如下关系：鱼的重量(单位：百斤)20X4040≤X≤60X60冲水机只需运行台数123若某台增氧冲水机运行，则商家每期可获利5千元；若某台冲水机未运行，则商家每期亏损2千元．视频率为概率，商家欲使每期冲水机总利润的均值达到最大，应提供几台增氧冲水机？附：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归方程y^＝b^x＋a^的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b^＝i＝1nxiyi－nxyi＝1nx2i－nx2＝i＝1nxi－xyi－yi＝1nxi－x2，a^＝y－b^x.解：(1)依题意，x＝5，y＝4，i＝15(xi－x)(yi－y)＝6，i＝15(xi－x)2＝26，∴b^＝i＝15xi－xyi－yi＝15xi－x2＝313，a^＝y－b^x＝4－313×5＝3713，∴y^＝313x＋3713.当x＝10时，y^＝67135，故此方案可行．(2)设盈利为Y，安装1台时，盈利Y＝5000.安装2台时，20X40，Y＝3000，P＝15；X≥40，Y＝10000，P＝45.∴E(Y)＝15×3000＋45×10000＝8600.安装3台时，20X40，Y＝1000，P＝15；40≤X≤60，Y＝8000，P＝35；X60，Y＝15000，P＝15.∴E(Y)＝1000×15＋8000×35＋15000×15＝8000.∵86008000，故应提供2台增氧冲水机．题型三概率与函数、数列、不等式的交汇[典例]为了引导居民合理用电，国家决定实行合理的阶梯电价，居民用电原则上以住宅为单位(一套住宅为一户).阶梯级别第一阶梯第二阶梯第三阶梯月用电范围/度(0,210](210,400](400，＋∞)某市随机抽取10户同一个月的用电情况，得到统计表如下：居民用电户编号12345678910用电量/度538690124132200215225300410(1)若规定第一阶梯的电价为每度0.5元，第二阶梯超出第一阶梯的部分每度0.6元，第三阶梯超出第二阶梯的部分每度0.8元，试计算A居民用电户用电410度时应交电费多少元？(2)现要在这10户家庭中任意抽取3户，求抽到用电量为第二阶梯的户数的分布列与数学期望；(3)以表中抽到的10户作为样本估计全市的居民用电，现从全市中抽取10户，若抽到k户的用电量为第一阶梯的可能性最大，求k的值．[解](1)210×0.5＋(400－210)×0.6＋(410－400)×0.8＝227(元)．(2)设抽到用电量为第二阶梯的户数为ξ.由题意知，用电量为第二阶梯的用户有3户，则ξ的所有可能取值为0,1,2,3，P(ξ＝0)＝C37C310＝724，P(ξ＝1)＝C27C13C310＝2140，P(ξ＝2)＝C17C23C310＝740，P(ξ＝3)＝C33C310＝1120.故ξ的分布列为ξ0123P72421407401120所以E(ξ)＝0×724＋1×2140＋2×740＋3×1120＝910.(3