【新高考复习】课时跟踪检测（二十四） 解三角形及应用举例 作业

课时跟踪检测（二十四）解三角形及应用举例一、综合练——练思维敏锐度1．若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bsin2A＝asinB，且c＝2b，则ab等于()A.32B．43C.2D．3解析：选D由bsin2A＝asinB及正弦定理得2sinBsinA·cosA＝sinAsinB，解得cosA＝12.又c＝2b，所以由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋4b2－4b2×12＝3b2，得ab＝3.故选D.2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝3b，A－B＝π2，则角C＝()A.π12B．π6C.π4D．π3解析：选B因为在△ABC中，A－B＝π2，所以A＝B＋π2，所以sinA＝sinB＋π2＝cosB，因为a＝3b，所以由正弦定理得sinA＝3sinB，所以cosB＝3sinB，所以tanB＝33，因为B∈(0，π)，所以B＝π6，所以C＝π－π6＋π2－π6＝π6.故选B.3．在△ABC中，如果cos(2B＋C)＋cosC0，那么△ABC的形状为()A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰三角形解析：选A∵cos(2B＋C)＋cosC＝cos(2B＋π－A－B)＋cos(π－A－B)＝cos[π－(A－B)]＋cos[π－(A＋B)]＝－cos(A－B)－cos(A＋B)＝－cosAcosB－sinAsinB－cosAcosB＋sinAsinB＝－2cosAcosB0，∴cosAcosB0，又∵A，B∈(0，π)，∴A，B中有一个锐角，一个钝角．故选A.4．已知a，b，c分别为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，若sinA＝223，sinBsinC，a＝3，S△ABC＝22，则b的值为()A．2或3B．2C．3D．6解析：选C因为△ABC为锐角三角形，所以cosA＝1－sin2A＝13，由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝b2＋c2－92bc＝13，①因为S△ABC＝12bcsinA＝12bc×223＝22，所以bc＝6，②将②代入①得b2＋c2－912＝13，则b2＋c2＝13，③由sinBsinC可得bc，联立②③可得b＝3，c＝2.故选C.5．在△ABC中，cosB＝14，b＝2，sinC＝2sinA，则△ABC的面积等于()A.14B．12C.32D．154解析：选D在△ABC中，cosB＝14，b＝2，sinC＝2sinA，由正弦定理得c＝2a；由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cosB＝a2＋4a2－2a·2a·14＝4a2＝4，解得a＝1，可得c＝2，所以△ABC的面积为S＝12acsinB＝12×1×2×1－142＝154.故选D.6.(2021·重庆调研)《易经》包含着很多哲理，在信息学、天文学中有广泛的应用，《易经》的博大精深对今天的几何学和其他学科仍有深刻的影响．如图就是《易经》中记载的几何图形——八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，图中八块面积相等的曲边梯形代表八卦田．已知正八边形的边长为8m，代表阴阳太极图的圆的半径为2m，则每块八卦田的面积约为()A．42m2B．37m2C．32m2D．84m2解析：选B由图，正八边形分割成8个等腰三角形，顶角为360°8＝45°，设三角形的腰为a，由正弦定理可得asin135°2＝8sin45°，解得a＝82sin135°2，所以三角形的面积S＝1282sin135°22sin45°＝322·1－cos135°2＝16(2＋1)，所以每块八卦田的面积约为：16(2＋1)－18×π×22≈37m2.7.已知在△ABC中，D是AC边上的点，且AB＝AD，BD＝62AD，BC＝2AD，则sinC的值为()A.158B．154C.18D．14解析：选A设AB＝AD＝2a，则BD＝6a，则BC＝4a，所以cos∠ADB＝BD2＋AD2－AB22BD×AD＝6a22×2a×6a＝64，所以cos∠BDC＝BD2＋CD2－BC22BD×CD＝－64，整理得CD2＋3aCD－10a2＝0，解得CD＝2a或者CD＝－5a(舍去)．故cosC＝16a2＋4a2－6a22×4a×2a＝1416＝78，而C∈0，π2，故sinC＝158.故选A.8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sinC＋2sinCcosB＝sinA，C∈0，π2，a＝6，cosB＝13，则b＝________.解析：由正弦定理及题意可得c＋2c×13＝a，即a＝53c，又a＝6，所以c＝365，由余弦定理得b2＝6＋5425－125＝14425，所以b＝125.答案：1259．(2021·恩施质检)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cosB＝13，b＝4，S△ABC＝42，则△ABC的周长为________．解析：由cosB＝13，得sinB＝223，由三角形面积公式可得12acsinB＝12ac·223＝42，则ac＝12①，由b2＝a2＋c2－2accosB，可得16＝a2＋c2－2×12×13，则a2＋c2＝24②，联立①②可得a＝c＝23，所以△ABC的周长为43＋4.答案：43＋410．(2019·浙江高考)在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上．若∠BDC＝45°，则BD＝________，cos∠ABD＝________.解析：如图，易知sinC＝45，sinA＝35，cosA＝45.在△BDC中，由正弦定理可得BDsinC＝BCsin∠BDC，∴BD＝BC·sinCsin∠BDC＝3×4522＝1225.∴cos∠ABD＝cos(45°－A)＝cos45°cosA＋sin45°sinA＝22×45＋22×35＝7210.答案：1225721011．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sinAcosA＝sinB＋sinCcosB＋cosC.(1)若△ABC还同时满足下列四个条件中的三个：①a＝7，②b＝10，③c＝8，④△ABC的面积S＝103，请指出这三个条件，并说明理由；(2)若a＝3，求△ABC周长l的取值范围．解：∵sinAcosA＝sinB＋sinCcosB＋cosC，∴sinAcosB＋sinAcosC＝sinBcosA＋sinCcosA，即sinAcosB－sinBcosA＝sinCcosA－cosCsinA，∴sin(A－B)＝sin(C－A)，∵A，B，C∈(0，π)，∴A－B＝C－A，即2A＝B＋C，∴A＝π3.(1)△ABC还同时满足①③④.理由如下：若△ABC同时满足条件①②，则由正弦定理得sinB＝bsinAa＝5371，这不可能．∴△ABC不能同时满足条件①②，∴△ABC同时满足③④，∴△ABC的面积S＝12bcsinA＝12b×8×32＝103，解得b＝5，与②矛盾．∴△ABC还同时满足条件①③④.(2)在△ABC中，由正弦定理得bsinB＝csinC＝asinA＝23，∵C＝2π3－B，∴b＝23sinB，c＝23sin2π3－B，∴l＝a＋b＋c＝23sinB＋sin2π3－B＋3＝632sinB＋12cosB＋3＝6sinB＋π6＋3.∵B∈0，2π3，∴B＋π6∈π6，5π6，∴sinB＋π6∈12，1，∴△ABC周长l的取值范围为(6,9]．12．(2021·济宁模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足3sinA＋cosA＝0.有三个条件：①a＝1；②b＝3；③S△ABC＝34.其中三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并解答下面两个问题：(1)求c；(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．解：(1)因为3sinA＋cosA＝0，所以3tanA＋1＝0，得tanA＝－33，因为0＜A＜π，所以A＝5π6，A为钝角，与a＝1＜b＝3矛盾，故①②中仅有一个正确，③正确．显然S△ABC＝12bcsinA＝34，得bc＝3.当①③正确时，由a2＝b2＋c2－2bccosA，得b2＋c2＝－2(无解)；当②③正确时，由于bc＝3，b＝3，得c＝1.(2)如图，因为A＝5π6，∠CAD＝π2，则∠BAD＝π3，则S△ABDS△ACD＝12AB·AD·sin∠BAD12AC·AD·sin∠CAD＝12，所以S△ABD＝13S△ABC＝13×34＝312.二、自选练——练高考区分度1．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(a－b)(sinA＋sinB)＝(c－b)sinC．若a＝3，则b2＋c2的取值范围是()A．(3,6]B．(3,5)C．(5,6]D．[5,6]解析：选C由正弦定理可得，(a－b)·(a＋b)＝(c－b)·c，即b2＋c2－a2＝bc，cosA＝b2＋c2－a22bc＝12，又A∈0，π2，∴A＝π3.∵bsinB＝csinC＝3sinπ3＝2，∴b2＋c2＝4(sin2B＋sin2C)＝4[sin2B＋sin2(A＋B)]＝41－cos2B2＋1－cos[2A＋B]2＝3sin2B－cos2B＋4＝2sin2B－π6＋4.∵△ABC是锐角三角形，∴B∈π6，π2，即2B－π6∈π6，5π6，∴12sin2B－π6≤1，∴5b2＋c2≤6.故选C.2．(多选)(2021·山东全真模拟)四边形ABCD内接于圆O，AB＝CD＝5，AD＝3，∠BCD＝60°，下列结论正确的有()A．四边形ABCD为梯形B．圆O的直径为7C．四边形ABCD的面积为5534D．△ABD的三边长度可以构成一个等差数列解析：选ACD如图所示．∵AB＝CD＝5，AD＝3，∠BCD＝60°，∴∠BAD＝120°，连接BD，AC.则∠BCA＝∠CAD，∴BC∥DA，显然AB不平行于CD，即四边形ABCD为梯形，故A正确．在△BAD中，由余弦定理得BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD，∴BD2＝52＋32－2×5×3cos120°＝49，∴BD＝7，∴圆的直径不可能是7，故B错误．在△BCD中，由余弦定理得BD2＝CB2＋CD2－2CB·CDcos∠BCD，∴72＝CB2＋52－2×5×CBcos60°，解得CB＝8或CB＝－3(舍去)，∵S△BAD＝12AB·ADsin120°＝12×5×3×32＝1534，S△BCD＝12CB·CDsin60°＝12×8×5×32＝103，∴S四边形ABCD＝S△BAD＋S△BCD＝1534＋103＝5534，故C正确．在△ABD中，AD＝3，AB＝5，BD＝7，满足AD＋BD＝2AB，∴△ABD的三边长度可以构成一个等差数列，故D正确，故选A、C、D.3．在△ABC中，BC＝23，AC＝3，∠BAC＝2∠B，D是BC上一点且AD⊥AC，则sin∠BAC＝________，△ABD的面积为________．解析：∵BC＝23，AC＝3，∠BAC＝2∠B，∴在△ABC中，由正弦定理得BCsin∠BAC＝ACsin∠B，即23sin∠BAC＝3sin∠B＝232sin∠Bcos∠B，解得cos∠B＝33，可得sin∠B＝63，∴cos∠BAC＝cos2∠B＝2cos2∠B－1＝－13，sin∠BAC＝1－－132＝223.∵AD⊥AC，∴sin∠BAD＝sin∠BAC－π2＝－cos∠BAC＝13，可得cos∠BAD＝223，∴sin∠ADB＝sin(∠BAD＋∠B)＝13×33＋223×63＝539.在△ABC中，由余弦定理可得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠B，∴32＝AB2＋(23)2－2AB×23×33，解得AB＝1或3.当AB＝AC＝3时，由∠BAC＝2∠B，可得∠B＝∠C＝12∠BAC＝π4，∴BC＝32＋32＝32，与BC＝23矛盾，∴AB＝