【新高考复习】第三节 三角函数的图象与性质 教案

第三节三角函数的图象与性质核心素养立意下的命题导向1.与不等式相结合考查三角函数定义域的求法，凸显数学运算的核心素养．2．与二次函数、函数的单调性等结合考查函数的值域(最值)，凸显数学运算的核心素养．3．借助函数的图象、数形结合思想考查函数的奇偶性、单调性、对称性等性质，凸显数学运算、直观想象和逻辑推理的核心素养．[理清主干知识]1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，π2，1，(π，0)，3π2，－1，(2π，0)．(2)在余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，π2，0，(π，－1)，3π2，0，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RRxx∈R，且x≠kπ＋π2，k∈Z值域[－1,1][－1,1]R奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在－π2＋2kπ，π2＋2kπ(k∈Z)上是递增函数，在π2＋2kπ，3π2＋2kπ(k∈Z)上是递减函数在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是递增函数，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是递减函数在－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)上是递增函数周期性周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是π对称性对称轴是x＝π2＋kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ，0)(k∈Z)对称轴是x＝kπ(k∈Z)，对称中心是kπ＋π2，0(k∈Z)对称中心是kπ2，0(k∈Z)[澄清盲点误点]一、关键点练明1．(三角函数的定义域)函数y＝tan2x的定义域是()A.x|x≠kπ＋π4，k∈ZB.x|x≠kπ2＋π8，k∈ZC.x|x≠kπ＋π8，k∈ZD.x|x≠kπ2＋π4，k∈Z答案：D2．(三角函数的周期性)已知函数f(x)＝cosωx＋π4(ω0)的最小正周期为π，则ω＝________.答案：23．(三角函数的奇偶性)若函数f(x)＝sinx＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝________.解析：由已知f(x)＝sinx＋φ3是偶函数，可得φ3＝kπ＋π2(k∈Z)，即φ＝3kπ＋3π2(k∈Z)，又φ∈[0,2π]，所以φ＝3π2.答案：3π24．(三角函数的对称性)函数f(x)＝3sin2x＋π6的对称轴为________，对称中心为________．答案：x＝kπ2＋π6(k∈Z)kπ2－π12，0(k∈Z)5．(三角函数的单调性)函数y＝tan2x－34π的单调递增区间为__________________．答案：π8＋kπ2，58π＋kπ2(k∈Z)二、易错点练清1．(忽视正切函数自身的定义域)函数y＝lg(3tanx－3)的定义域为________________．解析：要使函数y＝lg(3tanx－3)有意义，则3tanx－30，即tanx33.所以π6＋kπxπ2＋kπ(k∈Z)．答案：π6＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)2．(忽视ω与0的大小关系对单调性的影响)函数y＝sinπ4－2x的单调递增区间为________________．解析：y＝sinπ4－2x＝－sin2x－π4，令2kπ＋π2≤2x－π4≤2kπ＋3π2(k∈Z)，解得kπ＋3π8≤x≤kπ＋7π8(k∈Z)，所以函数的单调递增区间为kπ＋3π8，kπ＋7π8(k∈Z)．答案：kπ＋3π8，kπ＋7π8(k∈Z)3．(忽视正、余弦函数的有界性)函数f(x)＝2cos2x＋5sinx－4的最小值为________，最大值为________．解析：f(x)＝2cos2x＋5sinx－4＝－2sin2x＋5sinx－2＝－2sinx－542＋98.因为－1≤sinx≤1，所以当sinx＝－1时，f(x)有最小值－9；当sinx＝1时，f(x)有最大值1.答案：－91考点一三角函数的定义域、值域[典题例析](1)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则()A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4(2)函数y＝1tanx－1的定义域为____________________．(3)函数y＝sinx－cosx＋sinxcosx，x∈[0，π]的值域为________．[解析](1)∵f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝1＋cos2x－1－cos2x2＋2＝32cos2x＋52，∴f(x)的最小正周期为π，最大值为4.故选B.(2)要使函数有意义，必须有tanx－1≠0，x≠π2＋kπk∈Z，即x≠π4＋kπk∈Z，x≠π2＋kπk∈Z.故函数的定义域为x|x≠π4＋kπ且x≠π2＋kπ，k∈Z.(3)设t＝sinx－cosx，则t2＝sin2x＋cos2x－2sinxcosx，即sinxcosx＝1－t22，且－1≤t≤2.∴y＝－t22＋t＋12＝－12(t－1)2＋1.当t＝1时，ymax＝1；当t＝－1时，ymin＝－1.∴函数的值域为[－1,1]．[答案](1)B(2)x|x≠π4＋kπ且x≠π2＋kπ，k∈Z(3)[－1,1][方法技巧]1．三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数图象来求解．[提醒]解三角不等式时要注意周期，且k∈Z不可以忽略．2．三角函数值域或最值的3种求法直接法形如y＝asinx＋k或y＝acosx＋k的三角函数，直接利用sinx，cosx的值域求出化一法形如y＝asinx＋bcosx＋k的三角函数，化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，确定ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值)换元法形如y＝asin2x＋bsinx＋k的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t＝sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值)[针对训练]1．函数y＝sinx－cosx的定义域为()A.－3π4＋2kπ，π4＋2kπ(k∈Z)B.－3π4＋2kπ，π4＋2kπ(k∈Z)C.π4＋2kπ，5π4＋2kπ(k∈Z)D.π4＋2kπ，5π4＋2kπ(k∈Z)解析：选D要使函数有意义，需sinx－cosx≥0，即sinx≥cosx，解得2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4(k∈Z)，故原函数的定义域为2kπ＋π4，2kπ＋5π4(k∈Z)．2．函数f(x)＝sin2x＋3cosx－34x∈0，π2的最大值是________．解析：依题意，f(x)＝sin2x＋3cosx－34＝－cos2x＋3cosx＋14＝－cosx－322＋1，因为x∈0，π2，所以cosx∈[0,1]，因此当cosx＝32时，f(x)max＝1.答案：13．若函数f(x)＝sin(x＋φ)＋cosx的最大值为2，则常数φ的一个取值为________．解析：∵f(x)＝sin(x＋φ)＋cosx的最大值为2，∴cosx＝1，解得x＝2kπ，k∈Z，且sin(x＋φ)＝sin(2kπ＋φ)＝sinφ＝1，∴φ＝π2＋2nπ，n∈Z，∴可取φ＝π2.答案：π2(答案不唯一)4．已知函数f(x)＝sinx＋π6，其中x∈－π3，a，若f(x)的值域是－12，1，则实数a的取值范围为________．解析：∵x∈－π3，a，∴x＋π6∈－π6，a＋π6，∵当x＋π6∈－π6，π2时，f(x)的值域为－12，1，∴由函数的图象知，π2≤a＋π6≤76π，∴π3≤a≤π.∴a的取值范围是π3，π.答案：π3，π考点二三角函数的单调性考法(一)求三角函数的单调区间[例1]求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝|tanx|；(2)f(x)＝cos2x－π6，x∈－π2，π2.[解](1)观察图象可知，y＝|tanx|的单调递增区间是kπ，kπ＋π2(k∈Z)，单调递减区间是(kπ－π2，kπ](k∈Z)．(2)当2kπ－π≤2x－π6≤2kπ(k∈Z)，即kπ－5π12≤x≤kπ＋π12(k∈Z)时，函数f(x)是增函数；当2kπ≤2x－π6≤2kπ＋π(k∈Z)，即kπ＋π12≤x≤kπ＋7π12(k∈Z)时，函数f(x)是减函数．因此函数f(x)在－π2，π2上的单调递增区间是[－5π12，π12]，单调递减区间是－π2，－5π12，π12，π2.[方法技巧]求三角函数单调区间的2种方法代换法就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解图象法画出三角函数的正、余弦和正切曲线，结合图象求它的单调区间[提醒]求解三角函数的单调区间时，若x的系数为负，应先化为正，同时切莫忽视函数自身的定义域．考法(二)已知函数的单调性求参数值或范围[例2](1)若函数f(x)＝sinωx(ω0)在区间0，π3上单调递增，在区间π3，π2上单调递减，则ω等于()A.23B.32C．2D．3(2)(2021·深圳模拟)若f(x)＝cos2x＋acos(π2＋x)在区间π6，π2上是增函数，则实数a的取值范围为________．[解析](1)因为f(x)＝sinωx(ω0)过原点，所以当0≤ωx≤π2，即0≤x≤π2ω时，y＝sinωx是增函数；当π2≤ωx≤3π2，即π2ω≤x≤3π2ω时，y＝sinωx是减函数．由f(x)＝sinωx(ω0)在0，π3上单调递增，在π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3，所以ω＝32.(2)f(x)＝cos2x＋acosπ2＋x＝1－2sin2x－asinx，令sinx＝t，t∈12，1，则g(t)＝－2t2－at＋1，t∈12，1，因为f(x)在π6，π2上单调递增，所以－a4≥1，即a≤－4.[答案](1)B(2)(－∞，－4][方法技巧]已知单调区间求参数范围的3种方法子集法求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解反子集法由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解周期性法由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过14周期列不等式(组)求解[针对训练]1．已知π3为函数f(x)＝sin(2x＋φ)0φπ2的零点，则函数f(x)的单调递增区间是()A.2kπ－5π12，2kπ＋π12(k∈Z)B.2kπ＋π12，2kπ＋7π12(k∈Z)C.kπ－5π12，kπ＋π12(k∈Z)D.kπ＋π12，kπ＋7π12(k∈Z)解析：选C由于π3为函数f(x)＝sin(2x＋φ)0φπ2的零点，则fπ3＝0，所以sin2π3＋φ＝0，解得φ＝π3，故f(x)＝sin2x＋π3.令－π2＋2kπ≤2x＋π3≤2kπ＋π2(k∈Z)，得kπ－5π12≤x≤kπ＋π12(k∈Z)，故函数f(x)的单调递增区间为kπ－5π12，kπ＋π12(k∈Z)．2．已知ω0，函数f(x)＝sinωx＋π4在π2，π上单调递减，则ω的取值范围是()A.12，54B.12，34C.0，12D．(0,2]解析：选A