【新高考复习】课时跟踪检测（二十） 三角函数的图象与性质 作业

课时跟踪检测（二十）三角函数的图象与性质一、基础练——练手感熟练度1．下列函数中，周期为2π的奇函数为()A．y＝sinx2cosx2B．y＝sin2xC．y＝tan2xD．y＝sin2x＋cos2x解析：选Ay＝sin2x为偶函数；y＝tan2x的周期为π2；y＝sin2x＋cos2x为非奇非偶函数，故B、C、D都不正确，故选A.2．(多选)关于函数y＝tan2x－π3，下列说法正确的是()A．是奇函数B．在区间0，π3上单调递减C.π6，0为其图象的一个对称中心D．最小正周期为π2解析：选CD函数y＝tan2x－π3是非奇非偶函数，A错；函数y＝tan2x－π3在区间0，π3上单调递增，B错；最小正周期为π2，D对；由2x－π3＝kπ2(k∈Z)，得x＝kπ4＋π6(k∈Z)．当k＝0时，x＝π6，所以它的图象关于π6，0对称，C对．故选C、D.3．函数y＝|cosx|的一个单调递增区间是()A.－π2，π2B．[0，π]C.π，3π2D．3π2，2π解析：选D将y＝cosx位于x轴下方的图象关于x轴对称翻折到x轴上方，x轴上方(或x轴上)的图象不变，即得y＝|cosx|的图象(如图)．故选D.4．函数y＝cos2x－2sinx的最大值与最小值分别为()A．3，－1B．3，－2C．2，－1D．2，－2解析：选Dy＝cos2x－2sinx＝1－sin2x－2sinx＝－sin2x－2sinx＋1，令t＝sinx，则t∈[－1,1]，y＝－t2－2t＋1＝－(t＋1)2＋2，所以ymax＝2，ymin＝－2.5．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈0，π2时，f(x)＝sinx，则f5π3的值为()A．－12B.12C.716D.32解析：选D∵f(x)的最小正周期是π，∴f5π3＝f5π3－2π＝f－π3，∵函数f(x)是偶函数，∴f5π3＝f－π3＝fπ3＝sinπ3＝32.故选D.二、综合练——练思维敏锐度1．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间π2，π上为减函数的是()A．y＝sin2xB．y＝2|cosx|C．y＝cosx2D．y＝tan(－x)解析：选DA选项，函数在π2，3π4上单调递减，在3π4，π上单调递增，故排除A；B选项，函数在π2，π上单调递增，故排除B；C选项，函数的周期是4π，故排除C.故选D.2．如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点4π3，0对称，那么|φ|的最小值为()A.π6B.π4C.π3D.π2解析：选A由题意得3cos2×4π3＋φ＝3cos2π3＋φ＋2π＝3cos2π3＋φ＝0，∴2π3＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)，∴φ＝kπ－π6(k∈Z)，取k＝0，得|φ|的最小值为π6.3．同时满足f(x＋π)＝f(x)与fπ4＋x＝fπ4－x的函数f(x)的解析式可以是()A．f(x)＝cos2xB．f(x)＝tanxC．f(x)＝sinxD．f(x)＝sin2x解析：选D由题意知所求函数的周期为π，且图象关于直线x＝π4对称．A．f(x)＝cos2x的周期为π，fπ4＝0不是函数的最值，∴其图象不关于直线x＝π4对称．B．f(x)＝tanx的周期为π，但图象不关于直线x＝π4对称．C．f(x)＝sinx的周期为2π，不合题意．D．f(x)＝sin2x的周期为π，且fπ4＝1为函数最大值，∴D满足条件．故选D.4．若函数f(x)＝3sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)为奇函数，且在－π4，0上为减函数，则θ的一个值为()A．－π3B．－π6C.2π3D.5π6解析：选D由题意得f(x)＝3sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)＝2sin2x＋θ＋π6.因为函数f(x)为奇函数，所以θ＋π6＝kπ(k∈Z)，故θ＝－π6＋kπ(k∈Z)．当θ＝－π6时，f(x)＝2sin2x，在－π4，0上为增函数，不合题意；当θ＝5π6时，f(x)＝－2sin2x，在－π4，0上为减函数，符合题意，故选D.5．(2021·惠州模拟)已知函数f(x)＝2sinωx＋π3的图象的一个对称中心为π3，0，其中ω为常数，且ω∈(1,3)．若对任意的实数x，总有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，则|x1－x2|的最小值是()A．1B．π2C．2D．π解析：选B因为函数f(x)＝2sinωx＋π3的图象的一个对称中心为π3，0，所以π3ω＋π3＝kπ(k∈Z)，所以ω＝3k－1(k∈Z)，由ω∈(1,3)，得ω＝2.由题意得|x1－x2|的最小值为函数的半个周期，即T2＝πω＝π2.6．(多选)已知函数f(x)＝sinωx(ω0)的图象关于直线x＝3π4对称，且f(x)在0，π4上为单调函数，则下述四个结论中正确的是()A．满足条件的ω取值有2个B.3π2，0为函数f(x)的一个对称中心C．f(x)在－π8，0上单调递增D．f(x)在(0，π)上有一个极大值点和一个极小值点解析：选ABC因为函数f(x)＝sinωx(ω0)的图象关于直线x＝3π4对称，所以3π4ω＝π2＋kπ(k∈Z)，解得ω＝4312＋k0(k∈Z)，又f(x)在0，π4上为单调函数，所以π4≤π2ω，即ω≤2，所以ω＝23或ω＝2，即f(x)＝sin23x或f(x)＝sin2x，所以总有f3π2＝0，故A、B正确；由f(x)＝sin23x或f(x)＝sin2x图象知，f(x)在－π8，0上单调递增，故C正确；当x∈(0，π)时，f(x)＝sin23x只有一个极大值点，不符合题意，故D不正确．故选A、B、C.7．函数y＝sinx＋cosx＋3cosxsinx的最大值是________，最小值是________．解析：令t＝sinx＋cosx，则t∈[－2，2]．∵(sinx＋cosx)2－2sinxcosx＝1，∴sinxcosx＝t2－12，∴y＝32t2＋t－32，t∈[－2，2]，∵对称轴t＝－13∈[－2，2]，∴ymin＝f－13＝32×19－13－32＝－53，ymax＝f(2)＝32＋2.故函数的最大值与最小值分别为32＋2，－53.答案：32＋2－538．(2021年1月新高考八省联考卷)写出一个最小正周期为2的奇函数f(x)＝________.解析：基本初等函数中的既为周期函数又为奇函数的函数为y＝sinx，∴此题可考虑在此基础上调整周期使其满足题意．由此可知f(x)＝sinωx且T＝2πω⇒f(x)＝sinπx.答案：sinπx9．(2020·全国卷Ⅲ)关于函数f(x)＝sinx＋1sinx有如下四个命题：①f(x)的图象关于y轴对称．②f(x)的图象关于原点对称．③f(x)的图象关于直线x＝π2对称．④f(x)的最小值为2.其中所有真命题的序号是________．解析：由题意知f(x)的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，且关于原点对称．又f(－x)＝sin(－x)＋1sin－x＝－sinx＋1sinx＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，所以①为假命题，②为真命题．因为fπ2－x＝sinπ2－x＋1sinπ2－x＝cosx＋1cosx，fπ2＋x＝sinπ2＋x＋1sinπ2＋x＝cosx＋1cosx，所以fπ2＋x＝fπ2－x，所以函数f(x)的图象关于直线x＝π2对称，③为真命题．当sinx0时，f(x)0，所以④为假命题．综上，所有真命题的序号是②③.答案：②③10．已知函数f(x)＝cos(2x＋θ)0≤θ≤π2在－38π，－π6上单调递增，若fπ4≤m恒成立，则实数m的取值范围为________．解析：f(x)＝cos(2x＋θ)0≤θ≤π2，当x∈－38π，－π6时，－34π＋θ≤2x＋θ≤－π3＋θ，由函数f(x)在－38π，－π6上是增函数，得－π＋2kπ≤－34π＋θ，－π3＋θ≤2kπ(k∈Z)，则2kπ－π4≤θ≤2kπ＋π3(k∈Z)．又0≤θ≤π2，∴0≤θ≤π3.∵fπ4＝cosπ2＋θ，又π2≤θ＋π2≤56π，∴fπ4max＝0，∴m≥0.答案：[0，＋∞)11．若函数y＝12sinωx在区间－π8，π12上单调递减，则ω的取值范围是________．解析：因为函数y＝12sinωx在区间－π8，π12上单调递减，所以ω＜0且函数y＝12sin(－ωx)在区间－π12，π8上单调递增，则ω＜0，－ω·－π12≥2kπ－π2，k∈Z，－ω·π8≤2kπ＋π2，k∈Z，即ω＜0，ω≥24k－6，k∈Z，ω≥－16k－4，k∈Z，解得－4≤ω＜0.答案：[－4,0)12．已知函数f(x)＝2|cosx|sinx＋sin2x，给出下列四个命题：①函数f(x)的图象关于直线x＝π4对称；②函数f(x)在区间－π4，π4上单调递增；③函数f(x)的最小正周期为π；④函数f(x)的值域为[－2,2]．其中是真命题的序号是________．解析：对于函数f(x)＝2|cosx|sinx＋sin2x，由于f－π4＝－2，f3π4＝0，所以f－π4≠f3π4，故f(x)的图象不关于直线x＝π4对称，故排除①.在区间－π4，π4上，f(x)＝2|cosx|sinx＋sin2x＝2sin2x，2x∈－π2，π2，此时函数f(x)单调递增，故②正确．函数fπ3＝3，f4π3＝0.所以fπ3≠f4π3，故函数f(x)的最小正周期不是π，故③错误．当cosx≥0时，f(x)＝2|cosx|sinx＋sin2x＝2sinxcosx＋sin2x＝2sin2x，故它的最大值为2，最小值为－2；当cosx0时，f(x)＝2|cosx|sinx＋sin2x＝－2sinxcosx＋sin2x＝0.综合可得，函数f(x)的最大值为2，最小值为－2，故④正确．答案：②④13．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω0，0φ2π3的最小正周期为π.(1)当f(x)为偶函数时，求φ的值；(2)若f(x)的图象过点π6，32，求f(x)的单调递增区间．解：因为f(x)的最小正周期为π，所以T＝2πω＝π，即ω＝2.所以f(x)＝sin(2x＋φ)．(1)当f(x)为偶函数时，φ＝π2＋kπ(k∈Z)，因为0φ2π3，所以φ＝π2.(2)当f(x)的图象过点π6，32时，sin2×π6＋φ＝32，即sinπ3＋φ＝32.又因为0φ2π3，所以π3π3＋φπ.所以π3＋φ＝2π3，即φ＝π3.所以f(x)＝sin2x＋π3.令2kπ－π2≤2x＋π3≤2kπ＋π2(k∈Z)，得kπ－5π12≤x≤kπ＋π12(k∈Z)．所以f(x)的单调递增区间为kπ－5π12，kπ＋π12(k∈Z)．14．在①函数f(x)的图象关于点－π6，b对称；②函数f(x)在－π4，π4上的最小值为12；③函数f(x)的图象关于直线x＝π12对称．在这三个条件中任选两个补充到下面的问题中，再解答这个问题．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)＋b|φ|π2，若满足条件________与________．(1)求函数f(x)的解析式；(2)设g(x)＝fx＋π2，求g(x)的单调区间．解：(1)选①②.∵－π6