【新高考复习】课时跟踪检测（二十二） 三角恒等变换 作业

课时跟踪检测（二十二）三角恒等变换一、基础练——练手感熟练度1．sin45°cos15°＋cos225°sin165°＝()A．1B．12C.32D．－12解析：选Bsin45°cos15°＋cos225°sin165°＝sin45°·cos15°＋(－cos45°)sin15°＝sin(45°－15°)＝sin30°＝12.2．已知α∈0，π2，2sin2α＝cos2α＋1，则sinα＝()A.15B．55C.33D．255解析：选B由二倍角公式可知4sinαcosα＝2cos2α.∵α∈0，π2，∴cosα≠0，sinα0，∴2sinα＝cosα，又sin2α＋cos2α＝1，∴sinα＝55.故选B.3．(2021·苏州模拟)若cosα－π6＝－33，则cosα－π3＋cosα＝()A．－223B．±223C．－1D．±1解析：选Ccosα－π3＋cosα＝12cosα＋32sinα＋cosα＝32cosα＋32sinα＝3cosα－π6＝－1.4．tan18°＋tan12°＋33tan18°tan12°＝()A.3B．2C.22D．33解析：选D∵tan30°＝tan(18°＋12°)＝tan18°＋tan12°1－tan18°tan12°＝33，∴tan18°＋tan12°＝33(1－tan18°tan12°)，∴原式＝33.5．若α∈π2，π，且3cos2α＝sinπ4－α，则sin2α的值为()A．－118B．118C．－1718D．1718解析：选C由3cos2α＝sinπ4－α，可得3(cos2α－sin2α)＝22(cosα－sinα)，又由α∈π2，π，可知cosα－sinα≠0，于是3(cosα＋sinα)＝22，所以1＋2sinαcosα＝118，故sin2α＝－1718.6．已知sinπ2＋α＝12，α∈－π2，0，则cosα－π3的值为________．解析：由已知得cosα＝12，sinα＝－32，所以cosα－π3＝12cosα＋32sinα＝－12.答案：－12二、综合练——练思维敏锐度1．已知sinπ6－α＝cosπ6＋α，则tanα＝()A．1B．－1C.12D．0解析：选B∵sinπ6－α＝cosπ6＋α，∴12cosα－32sinα＝32cosα－12sinα，即32－12sinα＝12－32cosα，∴tanα＝sinαcosα＝－1.2．(多选)下列各式中，值为12的是()A.tan22.5°1－tan222.5°B．tan15°cos215°C.33cos2π12－33sin2π12D．1－cos60°2解析：选ACD∵tan22.5°1－tan222.5°＝12tan45°＝12，tan15°·cos215°＝sin15°cos15°＝12sin30°＝14，33cos2π12－33sin2π12＝33cosπ6＝12，1－cos60°2＝sin30°＝12，∴选A、C、D.3．若sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则tanαtanβ的值为()A．5B．－1C．6D．16解析：选A由题意知sinαcosβ＋cosαsinβ＝12，sinαcosβ－cosαsinβ＝13，所以sinαcosβ＝512，cosαsinβ＝112，所以sinαcosβcosαsinβ＝5，即tanαtanβ＝5.故选A.4．(2020·全国卷Ⅲ)已知sinθ＋sinθ＋π3＝1，则sinθ＋π6＝()A.12B．33C.23D．22解析：选B∵sinθ＋sinθ＋π3＝32sinθ＋32cosθ＝3sinθ＋π6＝1，∴sinθ＋π6＝33.故选B.5．(2021·辽宁八校联考)已知cosπ2＋α＝3sinα＋7π6，则tanπ12＋α＝()A．4－23B．23－4C．4－43D．43－4解析：选B由题意可得－sinα＝－3sinα＋π6，即sinα＋π12－π12＝3sinα＋π12＋π12，sinα＋π12·cosπ12－cosα＋π12sinπ12＝3sinα＋π12cosπ12＋3cosα＋π12sinπ12，整理可得tanα＋π12＝－2tanπ12＝－2tanπ4－π6＝－2×tanπ4－tanπ61＋tanπ4tanπ6＝23－4.故选B.6.17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形)．例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC中，BCAC＝5－12.根据这些信息，可得sin234°＝()A.1－254B．－3＋58C．－5＋14D．－4＋58解析：选C由图可知，∠ACB＝72°，且cos72°＝12BCAC＝5－14，∴cos144°＝2cos272°－1＝－5＋14.则sin234°＝sin(144°＋90°)＝cos144°＝－5＋14.7．设当x＝θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ＝()A.255B．55C．－255D．－55解析：选C利用辅助角公式可得f(x)＝sinx－2cosx＝5sin(x－φ)，其中cosφ＝55，sinφ＝255.当函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值时，θ－φ＝2kπ＋π2(k∈Z)，∴θ＝2kπ＋π2＋φ(k∈Z)，则cosθ＝cos2kπ＋π2＋φ＝－sinφ＝－255(k∈Z)．故选C.8．设0°α90°，若sin(75°＋2α)＝－35，则sin(15°＋α)·sin(75°－α)＝()A.110B．220C．－110D．－220解析：选B因为0°α90°，所以75°75°＋2α255°.又因为sin(75°＋2α)＝－350，所以180°75°＋2α255°，角75°＋2α为第三象限角，所以cos(75°＋2α)＝－45.所以sin(15°＋α)sin(75°－α)＝sin(15°＋α)cos(15°＋α)＝12sin(30°＋2α)＝12sin[(75°＋2α)－45°]＝12[sin(75°＋2α)·cos45°－cos(75°＋2α)sin45°]＝12×－35×22＋45×22＝220.故选B.9．若sin2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈π4，π，β∈π，3π2，则α＋β的值是()A.7π4B．9π4C.5π4或7π4D．5π4或9π4解析：选A∵α∈π4，π，∴2α∈π2，2π，∵sin2α＝550，∴2α∈π2，π，∴α∈π4，π2且cos2α＝－255.又∵sin(β－α)＝1010，β∈π，3π2，∴β－α∈π2，5π4，cos(β－α)＝－31010，∴cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α]＝cos(β－α)cos2α－sin(β－α)sin2α＝－31010×－255－1010×55＝22，又∵α＋β∈5π4，2π，∴α＋β＝7π4.10．化简：1cos80°－3sin80°＝________.解析：1cos80°－3sin80°＝sin80°－3cos80°sin80°cos80°＝2sin80°－60°12sin160°＝2sin20°12sin20°＝4.答案：411．已知α∈π4，34π，β∈0，π4，且cosπ4－α＝35，sin54π＋β＝－1213，则cos(α＋β)＝________.解析：∵α∈π4，34π，∴π4－α∈－π2，0，又cosπ4－α＝35，∴sinπ4－α＝－45.∵sin54π＋β＝－1213，∴sinπ4＋β＝1213.又∵β∈0，π4，∴π4＋β∈π4，π2，∴cosπ4＋β＝513，∴cos(α＋β)＝cosπ4＋β－π4－α＝cosπ4＋βcosπ4－α＋sinπ4＋βsinπ4－α＝513×35－1213×45＝－3365.答案：－336512．已知方程x2＋3ax＋3a＋1＝0(a1)的两根分别为tanα，tanβ，且α，β∈－π2，π2，则α＋β＝________.解析：依题意有tanα＋tanβ＝－3a，tanα·tanβ＝3a＋1，∴tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanα·tanβ＝－3a1－3a＋1＝1.又tanα＋tanβ0，tanα·tanβ0，∴tanα0且tanβ0，∴－π2α0且－π2β0，即－πα＋β0，结合tan(α＋β)＝1，得α＋β＝－3π4.答案：－3π413．已知A，B均为锐角，cos(A＋B)＝－2425，cosB＋π3＝－45，则cosA－π3＝________.解析：因为A，B均为锐角，cos(A＋B)＝－2425，cosB＋π3＝－45，所以π2A＋Bπ，π2B＋π35π6，所以sin(A＋B)＝1－cos2A＋B＝725，sinB＋π3＝1－cos2B＋π3＝35.所以cosA－π3＝cosA＋B－B＋π3＝－2425×－45＋725×35＝117125.答案：11712514．已知函数f(x)＝23sinxcosx－2cos2x＋1(x∈R)．(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间0，2π3上的最大值和最小值；(2)若f(x0)＝65，x0∈0，π3，求cos2x0的值．解：(1)由f(x)＝23sinxcosx－2cos2x＋1，得f(x)＝3(2sinxcosx)－(2cos2x－1)＝3sin2x－cos2x＝2sin2x－π6，∴函数f(x)的最小正周期为π.易知f(x)＝2sin2x－π6在区间0，π3上为增函数，在区间π3，2π3上为减函数，又f(0)＝－1，fπ3＝2，f2π3＝－1，∴函数f(x)在0，2π3上的最大值为2，最小值为－1.(2)∵2sin2x0－π6＝65，∴sin2x0－π6＝35.又x0∈0，π3，∴2x0－π6∈－π6，π2，∴cos2x0－π6＝45.∴cos2x0＝cos2x0－π6＋π6＝cos2x0－π6cosπ6－sin2x0－π6sinπ6＝45×32－35×12＝43－310.15．持续高温使某市多地出现干旱，城市用水紧张，为了宣传节约用水，某人准备在一片扇形区域(如图1)上按照图2的方式放置一块矩形ABCD区域宣传节约用水，其中顶点B，C在半径ON上，顶点A在半径OM上，顶点D在NM上，∠MON＝π6，ON＝OM＝10m，设∠DON＝θ，矩形ABCD的面积为S.(1)用含θ的式子表示DC，OB的长；(2)若此人布置1m2的宣传区域需要花费40元，试将S表示为θ的函数，并求布置此矩形宣传栏最多要花费多少元钱？解：(1)在△ODC中，DC＝10sinθ，在△OAB中，OB＝10sinθtanπ6＝103sinθ.(2)在△ODC中OC＝10cosθ，从而S＝BC×CD＝100(cosθsinθ－3sin2θ)＝100