第四节 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用 课件

第四节函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用核心素养立意下的命题导向1.五点作图与函数图象变换、函数性质相结合考查三角函数图象问题，凸显直观想象、数学运算的核心素养．2．将函数图象、性质及函数零点、极值、最值等问题综合考查y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用，凸显直观想象、逻辑推理的核心素养．[理清主干知识]1．函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念y＝Asin(ωx＋φ)振幅周期频率相位初相(A0，ω0)AT＝2πωf＝1T＝ω2π_________ωx＋φφ2．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)一个周期内的简图时，要找的五个特征点，如下表所示ωx＋φ0π2π3π22πx_____________________________y＝Asin(ωx＋φ)0__0____0－φωπ2ω－φωπ－φω3π2ω－φω2π－φωA－A3．由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的图象的两种方法[澄清盲点误点]一、关键点练明1．(函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念)函数y＝13sin32x＋π4的振幅为__________，周期为________，初相为________．答案：134π3π42．(图象变换)将函数y＝sin2x的图象向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是________．答案：y＝1＋cos2x3．(五点作图)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω0,0φπ)的图象如图，则点(ω，φ)的坐标是________．答案：4，2π3二、易错点练清1．(图象平移方向把握不准)为了得到函数y＝2sin2x－π3的图象，可以将函数y＝2sin2x的图象()A．向右平移π6个单位长度B．向右平移π3个单位长度C．向左平移π6个单位长度D．向左平移π3个单位长度答案：A2．(图象横坐标伸缩与ω的关系把握不准)函数y＝sinx的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍得到的图象对应的函数解析式是____________．答案：y＝sin12x3．(忽视参数的范围)已知简谐运动f(x)＝2sinπ3x＋φ|φ|π2的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的初相φ为________．解析：将点(0,1)代入函数表达式可得2sinφ＝1，即sinφ＝12.因为|φ|π2，所以φ＝π6.答案：π6考点一函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换[典例]已知函数y＝2sin2x＋π3.(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y＝2sin2x＋π3的图象可由y＝sinx的图象经过怎样的变换而得到．[解](1)y＝2sin2x＋π3的振幅A＝2，周期T＝π，初相φ＝π3.(2)描点画出图象，如图所示：(3)法一：把y＝sinx的图象上所有的点向左平移π3个单位长度，得到y＝sinx＋π3的图象；再把y＝sinx＋π3的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到y＝sin2x＋π3的图象；最后把y＝sin2x＋π3上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y＝2sin2x＋π3的图象．法二：将y＝sinx的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，得到y＝sin2x的图象；再将y＝sin2x的图象向左平移π6个单位长度，得到y＝sin2x＋π6＝sin2x＋π3的图象；再将y＝sin2x＋π3的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，即得到y＝2sin2x＋π3的图象．[方法技巧]三角函数图象的变换函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A0，ω0)中，参数A，ω，φ，k的变化引起图象的变换：(1)A的变化引起图象中振幅的变换，即纵向伸缩变换；(2)ω的变化引起周期的变换，即横向伸缩变换；(3)φ的变化引起左右平移变换，k的变化引起上下平移变换．图象平移遵循的规律为：“左加右减，上加下减”．[提醒]平移变换和伸缩变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．[针对训练]1．若把函数y＝sinωx－π6的图象向左平移π3个单位长度，所得到的图象与函数y＝cosωx的图象重合，则ω的一个可能取值是()A．2B.32C.23D．12解析：由y＝sinωx＋ω3π－π6的图象和函数y＝cosωx的图象重合，可得ω3π－π6＝π2＋2kπ(k∈Z)，则ω＝6k＋2(k∈Z)．所以2是ω的一个可能值．答案：A2．(2020·江苏高考)将函数y＝3sin2x＋π4的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是________．解析：将函数y＝3sin2x＋π4的图象向右平移π6个单位长度，得到y＝3sin2x－π6＋π4＝3sin2x－π12的图象，由2x－π12＝π2＋kπ，k∈Z，得对称轴方程为x＝7π24＋12kπ，k∈Z，其中与y轴最近的对称轴的方程是x＝－5π24.答案：x＝－5π24考点二由图象确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式[典例](多选)(2020·新高考全国卷Ⅰ)如图是函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象，则sin(ωx＋φ)＝()A．sinx＋π3B．sinπ3－2xC．cos2x＋π6D．cos5π6－2x[解析]由题图可知，函数的最小正周期T＝22π3－π6＝π，∴2π|ω|＝π，ω＝±2.当ω＝2时，y＝sin(2x＋φ)，将点π6，0代入得，sin2×π6＋φ＝0，∴2×π6＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，即φ＝2kπ＋2π3，k∈Z，∴y＝sin2x＋2π3，故A错误；由sin2x＋2π3＝sinπ－π3－2x＝sinπ3－2x知B正确；由sin2x＋2π3＝sin2x＋π2＋π6＝cos2x＋π6知C正确；由sin2x＋2π3＝cos2x＋π6＝cosπ＋2x－5π6＝－cos5π6－2x知D错误．综上可知，正确的选项为B、C.[答案]BC[方法技巧]确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A0，ω0)的步骤和方法(1)求A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则A＝M－m2，b＝M＋m2.(2)求ω：确定函数的周期T，则可得ω＝2πT.(3)求φ：常用的方法有代入法和五点法．①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点是在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．[针对训练]1.(2020·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝cosωx＋π6在[－π，π]的图象大致如图，则f(x)的最小正周期为()A.10π9B.7π6C.4π3D．3π2解析：法一：由题图知，f－4π9＝0，∴－4π9ω＋π6＝π2＋kπ(k∈Z)，解得ω＝－3＋9k4(k∈Z)．设f(x)的最小正周期为T，易知T＜2π＜2T，∴2π|ω|＜2π＜4π|ω|，∴1＜|ω|＜2，当且仅当k＝－1时，符合题意，此时ω＝32，∴T＝2πω＝4π3.故选C.法二：由题图知，f－4π9＝0且f(－π)＜0，f(0)＞0，∴－4π9ω＋π6＝－π2(ω＞0)，解得ω＝32，∴f(x)的最小正周期T＝2πω＝4π3.故选C.答案：C2．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A0，|φ|π2的图象如图所示，则下列说法正确的是()A．在区间7π6，13π6上单调递减B．在区间7π12，13π12上单调递增C．在区间7π12，13π12上单调递减D．在区间7π6，13π6上单调递增解析：由图易得，A＝2，T＝4×π3－π12＝π，故ω＝2ππ＝2.当x＝π12时取得最大值2，所以2＝2sin2×π12＋φ，且|φ|π2，所以φ＝π3，所以函数的解析式为f(x)＝2sin2x＋π3.当x∈7π12，13π12时，2x＋π3∈3π2，5π2，又由正弦函数y＝sinx的图象与性质可知，函数y＝sinx在3π2，5π2上单调递增，故函数f(x)在7π12，13π12上单调递增．当x∈7π6，13π6时，2x＋π3∈8π3，14π3，由函数y＝sinx的图象与性质知此区间上不单调．故选B.答案：B考点三三角函数图象与性质的综合问题[典例]已知函数f(x)＝2sin2x－π6＋1.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)若f(x)＝0，x∈－π2，π，求x的值；(3)将函数f(x)的图象向左平移π3个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到函数g(x)的图象．若曲线y＝h(x)与y＝g(x)的图象关于直线x＝π4对称，求函数h(x)在－π6，2π3的值域．[解](1)令－π2＋2kπ≤2x－π6≤π2＋2kπ，k∈Z，则－π6＋kπ≤x≤π3＋kπ，k∈Z.∴y＝f(x)的单调递增区间为－π6＋kπ，π3＋kπ，k∈Z.(2)由f(x)＝0，得2sin2x－π6＋1＝0，∴sin2x－π6＝－12.又∵x∈－π2，π，∴2x－π6∈－7π6，11π6，∴2x－π6＝－π6或2x－π6＝－5π6或2x－π6＝7π6，解得x＝0或x＝－π3或x＝2π3.(3)将函数f(x)的图象向左平移π3个单位长度，可得函数图象的解析式为y＝2sin2x＋π3－π6＋1＝2sin2x＋π2＋1＝2cos2x＋1.再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)＝2cosx＋1的图象．又∵曲线y＝h(x)与y＝g(x)的图象关于直线x＝π4对称，∴h(x)＝gπ2－x＝2cosπ2－x＋1＝2sinx＋1.∵x∈－π6，2π3，∴sinx∈－12，1，∴2sinx＋1∈(0,3]．∴函数h(x)在－π6，2π3上的值域为(0,3]．[方法技巧]三角函数的图象和性质的综合应用问题的求解思路先将y＝f(x)化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，再借助y＝Asin(ωx＋φ)的图象和性质(如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．[针对训练]1.(多选)(2021·百师联盟测试)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，|φ|π)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是()A．函数f(x)的周期为πB．函数f(x)图象的一条对称轴方程为x＝5π12C．函数f(x)的递减区间为kπ－5π12，kπ＋π12，k∈ZD．当x∈π6，π2时，函数f(x)的值域为32，1解析：由题中图象知，A＝1，T4＝π3－π12＝π4，∴T＝π，∴ω＝2πT＝2，根据五点作图法得2×π3＋φ＝0，∴φ＝－2π3，则f(x)＝sin2x－2π3.令2x－2π3＝kπ－π2，k∈Z，得f(x)的对称轴方程为x＝k2π＋π12，k∈Z.令2kπ－3π2≤2x－2π3≤2kπ－π2，k∈Z，得f(x)的单调减区