【新高考复习】课时跟踪检测（二十三） 三角函数图象与性质的综合问题 作业

课时跟踪检测（二十三）三角函数图象与性质的综合问题一、综合练——练思维敏锐度1．已知函数y＝sinπ3x＋π6在[0，t]上至少取得2次最大值，则正整数t的最小值为()A．6B．7C．8D．9解析：选B函数y＝sinπ3x＋π6的周期T＝6，当x＝0时，y＝12，当x＝1时，y＝1，所以函数y＝sinπ3x＋π6在[0，t]上至少取得2次最大值，有t－1≥T，即t≥7，所以正整数t的最小值为7.故选B.2．已知函数f(x)＝4cos(ωx＋φ)(ω0,0φπ)为奇函数，A(a,0)，B(b,0)是其图象上两点，若|a－b|的最小值是1，则f16＝()A．2B．－2C.32D．－32解析：选B因为函数f(x)＝4cos(ωx＋φ)(ω0,0φπ)为奇函数，所以cosφ＝0(0φπ)，所以φ＝π2，所以f(x)＝－4sinωx，又A(a,0)，B(b,0)是其图象上两点，且|a－b|的最小值是1，所以函数f(x)的最小正周期为2，所以ω＝π，所以f(x)＝－4sinπx，所以f16＝－4sinπ6＝－2.故选B.3．(2021·武昌调研)已知函数f(x)＝2sinωx＋π6－1(ω0)的图象向右平移2π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是()A．3B．32C.43D．23解析：选A将f(x)的图象向右平移2π3个单位后所得到的图象对应的函数解析式为y＝2sinωx－2π3＋π6－1＝2sinωx－2ωπ3＋π6－1，由题意知2ωπ3＝2kπ(k∈Z)，所以ω＝3k(k∈Z)，因为ω0，所以ω的最小值为3.故选A.4．若函数f(x)＝sinx＋3cosx在区间[a，b]上是减函数，且f(a)＝2，f(b)＝－2，则函数g(x)＝cosx－3sinx在区间[a，b]上()A．是增函数B．是减函数C．可以取得最大值2D．可以取得最小值－2解析：选Df(x)＝2sinx＋π3，g(x)＝2cosx＋π3＝2sinx＋π2＋π3，则g(x)的图象是由f(x)的图象向左平移π2个单位得到的．f(x)在区间[a，b]上是减函数，且f(a)＝2，f(b)＝－2，令x＋π3＝t，则可取t∈π2，32π，将y＝2sint的图象向左平移π2个单位，即14个周期，可得g(t)＝2sint＋π2的图象．g(t)在t∈π2，32π时的最小值为－2，即g(t)可以取得最小值－2.故选D.5．直线y＝a与函数f(x)＝tanωx＋π4(ω0)的图象的相邻两个交点的距离为2π，若f(x)在(－m，m)(m0)上是增函数，则m的取值范围是()A.0，π4B．0，π2C.0，34πD．0，32π解析：选B∵直线y＝a与函数f(x)的图象的相邻两个交点的距离是一个周期，∴ω＝12，∴f(x)＝tan12x＋π4.由kπ－π212x＋π4kπ＋π2(k∈Z)，得2kπ－32πx2kπ＋π2(k∈Z)．∴f(x)在－32π，π2上是增函数．∴(－m，m)⊆－32π，π2.解得0＜m≤π2.故选B.6．已知函数f(x)＝asinx－3cosx的一条对称轴为x＝－π6，且f(x1)·f(x2)＝－4，则|x1＋x2|的最小值为()A.π3B．2π3C.π2D．3π4解析：选Bf(x)＝asinx－3cosx＝3＋a2sin(x＋φ)，由于函数的对称轴为x＝－π6，所以f－π6＝－a2－32为最大值或最小值，即－a2－32＝3＋a2，解得a＝1.所以f(x)＝2sinx－π3.由于f(x1)·f(x2)＝－4，所以函数必须在x1，x2处分别取得最大值和最小值，所以不妨设x1＝2k1π＋5π6，x2＝2k2π－π6，k1∈Z，k2∈Z，则|x1＋x2|＝2(k1＋k2)π＋2π3，k1∈Z，k2∈Z，所以|x1＋x2|的最小值为2π3.7．如果圆x2＋(y－1)2＝m2至少覆盖函数f(x)＝2sin2πmx＋5π12－3cos(2πmx＋π3)(m0)的一个最大值点和一个最小值点，那么m的取值范围是()A．[2，＋∞)B．2153，＋∞C.2155，＋∞D．81515，＋∞解析：选D化简f(x)＝2sin2πmx＋5π12－3cos(2πmx＋π3)得f(x)＝2sin2πxm＋1，所以，函数f(x)靠近圆心(0,1)的最大值点为m4，3，最小值点为－m4，－1，所以只需m42＋3－12≤m2，－m42＋－1－12≤m2，解得m≥81515m≤－81515舍去.故选D.8．设函数f(x)＝sin(2x＋π4)x∈0，9π8，若方程f(x)＝a恰好有三个根，分别为x1，x2，x3(x1x2x3)，则x1＋x2＋x3的取值范围是()A.9π8，5π4B．5π4，11π8C.3π2，13π8D．7π4，15π8解析：选B画出函数f(x)在x∈0，9π8上的大致图象，如图所示，由图知，当22≤a1时，方程f(x)＝a恰好有三个根，由2x＋π4＝π2得x＝π8.结合题意得x1＋x2＝π4，π≤x39π8，则5π4≤x1＋x2＋x311π8，即x1＋x2＋x3的取值范围是5π4，11π8.故选B.9．已知函数f(x)＝Asin(2x＋φ)(A0,0φπ)的图象经过点－π12，0和π12，32，当x∈0，π2时，方程f(x)＝2a－3有两个不等的实根，则实数a的取值范围是________．解析：∵点－π12，0在函数图象上，∴Asin[2×－π12＋φ]＝0.∵0φπ，∴φ＝π6.又点π12，32在函数图象上，∴Asin2×π12＋π6＝32，∴A＝3，∴f(x)＝3sin(2x＋π6).∵x∈0，π2，∴2x＋π6∈π6，7π6，当方程f(x)＝2a－3有两个不等的实根时，函数y＝f(x)的图象与直线y＝2a－3有两个不同的交点，由图象可知32≤2a－33，∴334≤a3.答案：334，310．已知定义在R上的函数f(x)，恒有fx－π2＝12fx＋π2，当x∈[0，π)时，f(x)＝sinx．若∀x∈(－∞，a]，恒有f(x)43，则a的取值集合为________．解析：由fx－π2＝12fx＋π2得f(x)＝12f(x＋π)，则函数f(x)＝…12sinx＋π，－π≤x＜0，sinx，0≤x＜π，2sinx－π，π≤x＜2π，4sinx，2π≤x＜3π，8sinx－3π，3π≤x＜4π，…易知当x∈(－∞，0)时f(x)≤12.由x∈[0，π)上的图象可先作出[0,4π)上的图象，如图．当3π≤x＜4π时，由f(x)＝43得8sin(x－3π)＝43，∴sin(x－3π)＝32，解得x1＝103π，x2＝113π.要使∀x∈(－∞，a]，恒有f(x)＜43，则根据图象知a的取值范围为aa103π.答案：aa103π11．已知函数f(x)＝a(2cos2x2＋sinx)＋b.(1)若a＝－1，求函数f(x)的单调递增区间；(2)当x∈[0，π]时，函数f(x)的值域是[5,8]，求a，b的值．解：已知函数f(x)＝a(1＋cosx＋sinx)＋b＝2asinx＋π4＋a＋b.(1)当a＝－1时，f(x)＝－2sinx＋π4＋b－1，由2kπ＋π2≤x＋π4≤2kπ＋3π2(k∈Z)，得2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4(k∈Z)，∴f(x)的单调递增区间为[2kπ＋π4，2kπ＋5π4](k∈Z)．(2)∵0≤x≤π，∴π4≤x＋π4≤5π4，∴－22≤sinx＋π4≤1，依题意知a≠0.①当a0时，得2a＋a＋b＝8，b＝5，∴a＝32－3，b＝5；②当a0时，得b＝8，2a＋a＋b＝5，∴a＝3－32，b＝8.综上所述，a＝32－3，b＝5或a＝3－32，b＝8.12．已知函数f(x)＝1＋3cos2x－2sin2π4－x.(1)求f(x)的最小正周期和单调递减区间；(2)若方程f(x)－m＝0在区间π4，π上有两个不同的实数解，求实数m的取值范围．解：(1)∵f(x)＝1＋3cos2x－2sin2π4－x＝3cos2x＋cosπ2－2x＝3cos2x＋sin2x＝2sin2x＋π3，∴最小正周期T＝2π2＝π.由π2＋2kπ≤2x＋π3≤3π2＋2kπ(k∈Z)，得π12＋kπ≤x≤7π12＋kπ(k∈Z)．∴f(x)的单调递减区间为π12＋kπ，7π12＋kπ(k∈Z)．(2)由题意知，函数y＝f(x)在区间π4，π上的图象与直线y＝m有两个不同的交点．由(1)知，函数f(x)在π4，7π12上单调递减，在7π12，π上单调递增，∴f(x)min＝f7π12＝－2，又fπ4＝1，f(π)＝3，∴当－2＜m≤1时，函数y＝f(x)在区间π4，π上的图象与直线y＝m有两个不同的交点，即方程f(x)－m＝0在区间π4，π上有两个不同的实数解．∴实数m的取值范围为(－2,1]．二、自选练——练高考区分度1.如图是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A0，ω0，|φ|π2图象的一部分，对任意的x1，x2∈[a，b]，且x1≠x2，若f(x1)＝f(x2)，有f(x1＋x2)＝1，则φ的值为()A.π12B．π6C.π4D．π3解析：选B由题图可得A＝2，x1，x2关于函数f(x)图象的对称轴对称，即直线x＝x1＋x22是f(x)图象的一条对称轴，且fx1＋x22＝2，可得2sinωx1＋x22＋φ＝2，可得ωx1＋x22＋φ＝π2＋2kπ(k∈Z)，①∵f(x1＋x2)＝1，∴2sin[ω(x1＋x2)＋φ]＝1，可得ω(x1＋x2)＋φ＝π6＋2kπ或5π6＋2kπ(k∈Z)，②令k＝0，由①②得φ＝π6或5π6，∵|φ|π2，∴φ＝π6.2．已知函数f(x)＝(1－2cos2x)sin3π2＋θ－2sinxcosx·cosπ2－θ|θ|≤π2在－3π8，－π6上单调递增．若fπ8≤m恒成立，则实数m的取值范围为________．解析：∵f(x)＝(1－2cos2x)sin3π2＋θ－2sinxcosx·cosπ2－θ＝－cos2x(－cosθ)－sin2xsinθ＝cos(2x＋θ)，当x∈－3π8，－π6时，－3π4＋θ≤2x＋θ≤－π3＋θ，∴由函数递增知－π≤－3π4＋θ，－π3＋θ≤0，解得－π4≤θ≤π3.∵fπ8＝cosπ4＋θ，0≤π4＋θ≤7π12，∴fπ8≤1.∵fπ8≤m恒成立，∴m≥1.答案：[1，＋∞)3．已知函数f(x)＝sinωx＋π6－cosωx(ω＞0)．若函数f(x)的图象关于直线x＝2π对称，且在区间－π4，π4上是单调函数，则ω的取值集合为________．解析：f(x)＝32sinωx＋12cosωx－cosωx＝32sinωx－12cosωx＝sinωx－π6，因为f(x)的图象关于直线x＝2π对称，所以f(2π)＝±1，则2πω－π6＝kπ＋π2(k∈Z)，所以ω＝k2＋13(k∈Z)．因为函数f(x)在区间－π4，π4上是单调函数，所以最小正周期T≥2π4－－π4，即2πω≥π，解得0＜ω≤2，所以ω＝13或ω＝56或ω