【新高考复习】2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第10章 §10.3　二项式定理

§10.3二项式定理考试要求能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．1．二项式定理二项式定理(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbn(n∈N*)二项展开式的通项Tk＋1＝Cknan－kbk，它表示第k＋1项二项式系数Ckn(k∈{0,1,2,3，…，n})2.二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．(2)增减性与最大值当n是偶数时，中间一项2Cnn取得最大值；当n是奇数时，中间的两项12C-nn与12C+nn相等，且同时取得最大值．(3)各二项式系数的和(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n.微思考1．总结(a＋b)n的展开式的特点．提示(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.2．(a＋b)n的展开式的二项式系数和系数相同吗？提示不一定．(a＋b)n的展开式的通项是Cknan－kbk，其二项式系数是Ckn(k∈{0,1,2,3，…，n})，不一定是系数．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)Cknan－kbk是(a＋b)n的展开式的第k项．(×)(2)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．(√)(3)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(×)(4)(a＋b)n的展开式中某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同．(√)题组二教材改编2．(x－y)n的二项展开式中，第m项的系数是()A．CmnB．Cm＋1nC．Cm－1nD．(－1)m－1Cm－1n答案D解析(x－y)n二项展开式第m项的通项为Tm＝Cm－1n(－y)m－1xn－m＋1，所以系数为Cm－1n(－1)m－1.3．(八省联考)(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展开式中x2的系数是()A．60B．80C．84D．120答案D解析(利用公式Cmn＋Cm＋1n＝Cm＋1n＋1)(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展开式中x2的系数为C22＋C23＋…＋C29＝C33＋C23＋…＋C29＝C310＝120.4．C111＋C311＋C511＋…＋C1111＝________.答案210题组三易错自纠5．已知x＋a3xn(a为常数)的展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a的值为()A．1B．±1C．2D．±2答案C解析根据题意，该二项式的展开式的二项式系数之和为32，则有2n＝32，可得n＝5，则二项式的展开式通项为Tk＋1＝Ck5(x)5－k·a3xk＝akCk51556kx-，令15－5k6＝0，得k＝3，则其常数项为C35a3，根据题意，有C35a3＝80，可得a＝2.6．在2x2－1xn的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为_____．答案1解析因为所有二项式系数的和是32，所以2n＝32，解得n＝5.在2x2－1x5中，令x＝1可得展开式中各项系数的和为(2－1)5＝1.题型一多项展开式的特定项命题点1二项展开式问题例1(1)(2020·北京)在(x－2)5的展开式中，x2的系数为()A．－5B．5C．－10D．10答案C解析Tk＋1＝Ck5(x)5－k(－2)k＝Ck552kx-·(－2)k，令5－k2＝2，解得k＝1.所以x2的系数为C15(－2)1＝－10.(2)(2019·浙江)在二项式(2＋x)9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________．答案1625解析该二项展开式的第k＋1项为Tk＋1＝Ck9(2)9－kxk，当k＝0时，第1项为常数项，所以常数项为(2)9＝162；当k＝1,3,5,7,9时，展开式的项的系数为有理数，所以系数为有理数的项的个数为5.命题点2两个多项式积的展开式问题例2(1)(2020·全国Ⅰ)x＋y2x(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为()A．5B．10C．15D．20答案C解析方法一∵x＋y2x(x＋y)5＝x＋y2x(x5＋5x4y＋10x3y2＋10x2y3＋5xy4＋y5)，∴x3y3的系数为10＋5＝15.方法二当x＋y2x中取x时，x3y3的系数为C35，当x＋y2x中取y2x时，x3y3的系数为C15，∴x3y3的系数为C35＋C15＝10＋5＝15.(2)(2019·全国Ⅲ)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为()A．12B．16C．20D．24答案A解析展开式中含x3的项可以由“1与x3”和“2x2与x”的乘积组成，则x3的系数为C34＋2C14＝4＋8＝12.命题点3三项展开式问题例3(1)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为()A．10B．20C．30D．60答案C解析方法一利用二项展开式的通项公式求解．(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，含y2的项为T3＝C25(x2＋x)3·y2.其中(x2＋x)3中含x5的项为C13x4·x＝C13x5.所以x5y2的系数为C25C13＝30.故选C.方法二利用排列组合知识求解．(x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个因式取y，剩余的三个因式中两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为C25C23C11＝30.故选C.(2)(2020·合肥检测)x－1x＋15的展开式中的常数项为()A．1B．11C．－19D．51答案B解析x－1x＋15＝x－1x＋15展开式的通项为Tk＋1＝Ck5x－1x5－k当k＝5时，常数项为C55＝1，当k＝3时，常数项为－C12C35＝－20，当k＝1时，常数项为C45C24＝30.综上所述，常数项为1－20＋30＝11.思维升华(1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项即可．(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．(3)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决．跟踪训练1(1)(x＋a)10的展开式中，x7项的系数为15，则a＝______.(用数字填写答案)答案12解析通项为Tk＋1＝Ck10x10－kak，令10－k＝7，∴k＝3，∴x7项的系数为C310a3＝15，∴a3＝18，∴a＝12.(2)(x2＋x＋1)(x－1)4的展开式中，x3的系数为()A．－3B．－2C．1D．4答案B解析(x－1)4的通项为Tk＋1＝Ck4x4－k(－1)k，(x2＋x＋1)(x－1)4的展开式中，x3的系数为C34(－1)3＋C24(－1)2＋C14(－1)＝－2，故选B.(3)(1＋2x－3x2)5的展开式中x5的系数为________．答案92解析方法一(1＋2x－3x2)5＝(1－x)5(1＋3x)5，所以x5的系数为C05C5535＋C15(－1)C4534＋C25(－1)2C3533＋C35(－1)3C2532＋C45(－1)4C1531＋C55(－1)5C0530＝92.方法二(1＋2x－3x2)5＝[(1＋2x)－3x2]5＝C05(1＋2x)5＋C15(1＋2x)4(－3x2)＋C25(1＋2x)3(－3x2)2＋…＋C55(－3x2)5，所以x5的系数为C05C5525＋C15C34×23×(－3)＋C25C13×2×(－3)2＝92.题型二二项式系数与各项的系数问题命题点1二项式系数和与各项系数和例4(1)若二项式x2－2xn的展开式的二项式系数之和为8，则该展开式每一项的系数之和为()A．－1B．1C．27D．－27答案A解析依题意得2n＝8，解得n＝3.取x＝1，得该二项展开式每一项的系数之和为(1－2)3＝－1.(2)若(2－x)7＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a7(1＋x)7，则a0＋a1＋a2＋…＋a6的值为()A．1B．2C．129D．2188答案C解析令x＝0，得a0＋a1＋a2＋…＋a7＝27＝128，又(2－x)7＝[3－(x＋1)]7，则a7(1＋x)7＝C77·30·[－(x＋1)]7，解得a7＝－1.故a0＋a1＋a2＋…＋a6＝128－a7＝128＋1＝129.命题点2二项式系数的最值问题例5二项式3x＋13xn的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x的指数为整数的项的个数为()A．3B．5C．6D．7答案D解析根据3x＋13xn的展开式中只有第11项的二项式系数最大，得n＝20，∴3x＋13xn的展开式的通项为Tk＋1＝Ck20·(3x)20－k·13xk＝(3)20－k·Ck20·4203kx－，要使x的指数是整数，需k是3的倍数，∴k＝0,3,6,9,12,15,18，∴x的指数是整数的项共有7项．思维升华(1)求展开式中各项系数和可用“赋值法”．(2)二项式系数最大项在中间一项或中间两项取得．跟踪训练2(1)(2021·随州调研)在x－1xn的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最小的项的系数为()A．－126B．－70C．－56D．－28答案C解析∵只有第5项的二项式系数最大，∴n＝8，x－1xn的展开式的通项为Tk＋1＝(－1)kCk8382kx-(k＝0,1,2，…，8)，∴展开式中奇数项的二项式系数与相应奇数项的系数相等，偶数项的二项式系数与相应偶数项的系数互为相反数，而展开式中第5项的二项式系数最大，因此展开式中第4项和第6项的系数相等且最小，为(－1)3C38＝－56.(2)x＋13xn的展开式中各项系数之和大于8，但小于32，则展开式中系数最大的项是()A．63xB.4xC．4x6xD.4x或4x6x答案A解析令x＝1，可得x＋13xn的展开式中各项系数之和为2n，即82n32，解得n＝4，故第3项的系数最大，所以展开式中系数最大的项是C24(x)213x2＝63x.(3)已知m是常数，若(mx－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0且a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝33，则m＝________.答案3解析当x＝0时，(－1)5＝－1＝a0.当x＝1时，(m－1)5＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝33－1＝32，则m－1＝2，m＝3.课时精练1．(2020·邯郸调研)(1－2x)6的展开式的第三项为()A．60B．－120C．60x2D．－120x2答案C解析T3＝C26(－2x)2＝60x2.2.2x－1x5的展开式中含x3的项的系数为()A．80B．－80C．－40D．48答案B解析2x－1x5的展开式的通项为Tk＋1＝Ck5(2x)5－k·－1xk＝(－1)k·25－k·Ck5·x5－2k，令5－2k＝3，得k＝1.于是展开式中含x3的项的系数为(－1)·25－1·C15＝－80.3．(2020·山西八校联考)已知(1＋x)n的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为()A．29B．210C．211D．212答案A解析由题意得C4n＝C6n，由组合数性质得n＝10，则奇数项的二项式系数和为2n－1＝29.4．(2020·肇庆模拟)已知(1－ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a等于()A．1B．2C．－1D．－2答案A解析(1－ax)(1＋x)5＝(1－ax)(1＋5x＋10x2＋10x3＋5x4＋x5)，其展开式中x2的系数为10－5a＝5，解得a＝1.5．(x2＋2)1x2－15的展开式的常数项是()A