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§10.4随机事件的概率与古典概型考试要求1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义及频率与概率的区别.2.了解两个互斥事件的概率加法公式.3.理解古典概型及其概率计算公式.4.会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．1．概率和频率(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝nAn为事件A出现的频率．(2)对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)．2．事件的关系与运算定义符号表示包含关系若事件A发生，事件B一定发生，则称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)B⊇A(或A⊆B)相等关系若B⊇A且A⊇B，则称事件A与事件B相等A＝B并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交事件(积事件)若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)A∩B(或AB)互斥事件A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥A∩B＝∅对立事件若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，则称事件A与事件B互为对立事件A∩B＝∅且P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝13．概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率P(E)＝1.(3)不可能事件的概率P(F)＝0.(4)概率的加法公式如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(5)对立事件的概率若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)．4．古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型：(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；(2)每个基本事件出现的可能性相等．5．古典概型的概率公式P(A)＝A包含的基本事件的个数基本事件的总数.微思考1．随机事件A发生的频率与概率有何区别与联系？提示随机事件A发生的频率是随机的，而概率是客观存在的确定的常数，但在大量随机试验中，事件A发生的频率稳定在事件A发生的概率附近．2．随机事件A，B互斥与对立有何区别与联系？提示当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立时，一定互斥．也即两事件互斥是两事件对立的必要不充分条件．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．(√)(2)两个事件的和事件是指两个事件都得发生．(×)(3)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．(×)(4)试验“口袋中有2个红球，2个白球，每次从中任取一球，观察颜色后放回，直到取出红球”是古典概型．(×)题组二教材改编2．下列事件中，不是随机事件的是()A．长度为3,4,5的三条线段可以构成一个直角三角形B．经过有信号灯的路口，遇上红灯C．下周六是晴天D．一枚硬币抛掷两次，两次都正面向上答案A3．某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.2,0.3,0.1，则该射手在一次射击中不够8环的概率为()A．0.9B．0.3C．0.6D．0.4答案D解析设“该射手在一次射击中不够8环”为事件A，则事件A的对立事件A是“该射手在一次射击中不小于8环”．∵事件A包括射中10环，9环，8环，这三个事件是互斥的，∴P(A)＝0.2＋0.3＋0.1＝0.6，∴P(A)＝1－P(A)＝1－0.6＝0.4，即该射手在一次射击中不够8环的概率为0.4.4．甲、乙两人做出拳(锤子、剪刀、布)游戏，则甲赢的概率为________．答案13解析设平局(用△表示)为事件A，甲赢(用⊙表示)为事件B，乙赢(用※表示)为事件C.容易得到如图．甲赢含3个基本事件(图中的⊙)，P(B)＝39＝13.题组三易错自纠5．安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动，每天只需一人参加，其中甲参加三天活动，乙、丙、丁每人参加一天，那么甲连续三天参加活动的概率为()A.115B.15C.14D.12答案B解析由题意可得，甲连续三天参加活动的所有情况为：第1～3天，第2～4天，第3～5天，第4～6天，共四种情况，∴所求概率P＝4·A33C36·A33＝15.故选B.6．抛掷一枚骰子，记A为事件“出现点数是奇数”，B为事件“出现点数是3的倍数”，则P(A∪B)＝________，P(A∩B)＝________.答案2316解析由题意知，事件A表示“出现的是1点，3点或5点”；事件B表示“出现的是3点或6点”．所以事件A∪B表示“出现的是1点，3点，5点或6点”，包含4个基本事件；事件A∩B表示“出现的是3点”，包含1个基本事件．又抛掷一枚骰子的结果有6种，所以P(A∪B)＝46＝23，P(A∩B)＝16.题型一随机事件命题点1随机事件的关系例1(1)从一堆产品(其中正品与次品都多于2件)中任取2件，下列事件是互斥事件但不是对立事件的是()A．恰好有1件次品和恰好有2件次品B．至少有1件次品和全是次品C．至少有1件正品和至少有1件次品D．至少有1件次品和全是正品答案A解析依据互斥和对立事件的定义知，B，C都不是互斥事件；D不但是互斥事件而且是对立事件；只有A是互斥事件但不是对立事件．(2)一个人连续射击三次，则事件“至少击中两次”的对立事件是()A．恰有一次击中B．三次都没击中C．三次都击中D．至多击中一次答案D解析根据题意，一个人连续射击三次，事件“至少击中两次”包括“击中两次”和“击中三次”两个事件，其对立事件为“一次都没有击中和击中一次”，即“至多击中一次”．命题点2随机事件的频率与概率例2某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40]天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．解(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表中数据可知，最高气温低于25的频率为2＋16＋3690＝0.6.所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温低于20，则Y＝200×6＋(450－200)×2－450×4＝－100；若最高气温位于区间[20,25)，则Y＝300×6＋(450－300)×2－450×4＝300；若最高气温不低于25，则Y＝450×(6－4)＝900，所以，利润Y的所有可能值为－100,300,900.Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为36＋25＋7＋490＝0.8.因此Y大于零的概率的估计值为0.8.命题点3互斥事件与对立事件的概率例3某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．记1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：(1)1张奖券的中奖概率；(2)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．解(1)设“1张奖券中奖”为事件M，则M＝A∪B∪C，依题意，P(A)＝11000，P(B)＝101000，P(C)＝501000，因为A，B，C两两互斥，所以P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝1＋10＋501000＝611000.故1张奖券的中奖概率为611000.(2)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，所以P(N)＝1－P(A∪B)＝1－11000＋101000＝9891000.故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891000.思维升华(1)判断互斥事件、对立事件一般用定义，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；若两个事件中有且仅有一个发生，则这两个事件互为对立事件．对立事件一定是互斥事件．(2)概率与频率的关系：频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率随着试验次数的增加越来越接近概率，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率作为随机事件概率的估计值．(3)求复杂互斥事件的概率的两种方法：①将所求事件转化成几个彼此互斥事件的和事件，利用互斥事件概率的加法公式求解概率．②若将一个较复杂的事件转化为几个彼此互斥事件的和事件时分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑先求其对立事件的概率，即运用“正难则反”的思想．常用此方法求“至少”“至多”型事件的概率．跟踪训练1(1)袋中装有3个白球和4个黑球，从中任取3个球，给出下列四组事件：①“恰有1个白球”和“全是白球”；②“至少有1个白球”和“全是黑球”；③“至少有1个白球”和“至少有2个白球”；④“至少有1个白球”和“至少有1个黑球”．在上述每组事件中，互为对立事件的是()A．①B．②C．②③D．①④答案B解析①互斥但不对立；②互为对立事件，③不是互斥事件，④不是互斥事件．(2)某学校共有教职工120人，对他们进行年龄结构和受教育程度的调查，其结果如下表：本科研究生合计35岁以下40307035～50岁27134050岁以上8210现从该校教职工中任取1人，则下列结论正确的是()A．该教职工具有本科学历的概率低于60%B．该教职工具有研究生学历的概率超过50%C．该教职工的年龄在50岁以上的概率超过10%D．该教职工的年龄在35岁及以上且具有研究生学历的概率超过10%答案D解析A中，该教职工具有本科学历的概率P＝75120＝58＝62.5%60%，故错误；B中，该教职工具有研究生学历的概率P＝45120＝38＝37.5%50%，故错误；C中，该教职工的年龄在50岁以上的概率P＝10120＝112≈8.3%10%，故错误；D中，该教职工的年龄在35岁及以上且具有研究生学历的概率P＝15120＝18＝12.5%10%，故正确．(3)掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率均为16，事件A表示“出现小于5的偶数点”，事件B表示“出现小于5的点数”，则一次试验中，事件A∪B(B表示事件B的对立事件)发生的概率为()A.13B.12C.23D.56答案C解析∵事件B表示“小于5的点数出现”，∴B的对立事件B是“大于或等于5的点数出现”，∴B表示的事件是出现的点数为5或6.∵事件A表示“小于5的偶数点出现”，它包含的事件是出现的点数为2或4，∴P(A)＝26＝13，P(B)＝26＝13，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝13＋13＝23.题型二古典概型1．算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，是中国古代一项伟大的、重要的发明，在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具．“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰写的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才．”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为3部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的．如图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位、…，上面一粒珠(简称上珠)代表5，下面一粒珠(简称下珠)是1，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小．现在从个位和十位这两组中随机选择往下拨一粒上珠，往上拨2粒下珠，算盘表示的数