【新高考复习】2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第10章 §10.6　二项分布与正态分布

§10.6二项分布与正态分布考试要求1.了解条件概率的概念，了解两个事件相互独立的概念.2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单问题.3.借助直观直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．1．条件概率及其性质(1)对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P(B|A)来表示，其公式为P(B|A)＝PABPA(P(A)0)．在古典概型中，若用n(A)和n(AB)分别表示事件A和事件AB所包含的基本事件的个数，则P(B|A)＝nABnA.(2)条件概率具有的性质①0≤P(B|A)≤1.②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．2．相互独立事件(1)对于事件A，B，若事件A的发生与事件B的发生互不影响，则称事件A，B是相互独立事件．(2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．(3)若A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也都相互独立．(4)P(AB)＝P(A)P(B)⇔A与B相互独立．3．独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．(2)在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记为X～B(n，p)，并称p为成功概率．4．两点分布与二项分布的均值、方差(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．5．正态分布(1)正态曲线：函数φμ，σ(x)＝12πσ2()22eσx--，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ为参数(σ0，μ∈R)．我们称函数φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．(2)正态曲线的特点①曲线位于x轴上方，与x轴不相交．②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称．③曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π.④曲线与x轴之间的面积为1.⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示．⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．(3)正态分布的定义及表示一般地，如果对于任何实数a，b(ab)，随机变量X满足P(aX≤b)＝ʃbaφμ，σ(x)dx，则称随机变量X服从正态分布，记作X～N(μ，σ2)．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值①P(μ－σX≤μ＋σ)≈0.6827；②P(μ－2σX≤μ＋2σ)≈0.9545；③P(μ－3σX≤μ＋3σ)≈0.9973.微思考1．两点分布(0－1分布)和二项分布什么关系？提示二项分布中当n＝1时就是两点分布．2．条件概率中P(B|A)与P(A|B)是一回事吗？提示不一样，P(B|A)是在A发生的条件下B发生的概率，P(A|B)是在B发生的条件下A发生的概率．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立．(×)(2)P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(AB)表示事件A，B同时发生的概率．(√)(3)X表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数，则X服从二项分布．(√)(4)正态分布是对连续型随机变量而言的．(√)题组二教材改编2．种植某种树苗，成活率为0.9，若种植这种树苗5棵，则恰好成活4棵的概率约为()A．0.33B．0.66C．0.5D．0.45答案A解析C450.94×0.1≈0.33.3．一个盒子里有6支好晶体管，4支坏晶体管，任取两次，每次取一支，每次取后不放回，已知第一支是好晶体管，则第二支也是好晶体管的概率为()A.23B.512C.59D.79答案C解析记“第i(i＝1,2)支晶体管是好的”为事件Ai(其中i＝1,2)，依题意知，要求的概率为P(A2|A1)．由P(A1)＝35，P(A1A2)＝6×510×9＝13，所以P(A2|A1)＝PA1A2PA1＝1335＝59.4．已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(X2c－1)＝P(Xc＋3)，则c＝______.答案43解析∵X～N(3,1)，∴正态曲线关于x＝3对称，又P(X2c－1)＝P(Xc＋3)，∴2c－1＋c＋3＝3×2，∴c＝43.题组三易错自纠5．(2021·荆州模拟)孔子曰“三人行，必有我师焉．”从数学角度来看，这句话有深刻的哲理，古语说三百六十行，行行出状元，假设有甲、乙、丙三人，其中每一人在每一行业中胜过孔圣人的概率为1%，那么甲、乙、丙三人中至少一人在至少一行业中胜过孔圣人的概率为()(参考数据：0.99360≈0.03，0.01360≈0，0.973≈0.912673)A．0.0027%B．99.9973%C．0D．91.2673%答案B解析一个人三百六十行全都不如孔圣人的概率为0.99360≈0.03，三个人三百六十行都不如孔圣人的概率为0.033＝0.000027，所以至少一人在至少一行业中胜过孔圣人的概率为1－0.000027＝0.999973＝99.9973%.6．(2021·三明模拟)近几年新能源汽车产业正持续快速发展，动力蓄电池技术是新能源汽车的核心技术．已知某品牌新能源汽车的车载动力蓄电池充放电次数达到800次的概率为90%，充放电次数达到1000次的概率为36%.若某用户的该品牌新能源汽车已经经过了800次的充放电，那么他的车能够达到充放电1000次的概率为()A．0.324B．0.36C．0.4D．0.54答案C解析设事件A表示“充放电次数达到800”，事件B表示“充放电次数达到1000”，则P(A)＝90%＝0.9，P(AB)＝P(B)·P(A|B)＝P(B)·1＝P(B)＝36%＝0.36，因为该用户的该品牌新能源汽车已经经过了800次的充放电，那么他的车能够达到充放电1000次的概率为P(B|A)＝PABPA＝0.360.9＝0.4.题型一条件概率例1(1)(2020·葫芦岛模拟)对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件．在第一次摸出次品的条件下，第二次摸到正品的概率是()A.35B.25C.59D.23答案D解析记A＝“第一次摸出的是次品”，B＝“第二次摸到的是正品”，由题意知，P(A)＝410＝25，P()AB＝410×69＝415，则P()|BA＝P()ABP()A＝41525＝23.(2)已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为()A.310B.13C.38D.29答案B解析设A＝{甲第一次拿到白球}，B＝{甲第二次拿到红球}，则P(AB)＝A12A13A210＝115，P(A)＝C12C110＝15，所以P(B|A)＝PABPA＝13.思维升华求条件概率的常用方法(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝PABPA.(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得P(B|A)＝nABnA.跟踪训练1(1)在100件产品中有95件合格品，5件不合格品，现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次取到不合格品的概率为________．答案499解析方法一(应用条件概率公式求解)设事件A为“第一次取到不合格品”，事件B为“第二次取到不合格品”，则所求的概率为P(B|A)，因为P(AB)＝A25A2100＝1495，P(A)＝C15C1100＝120，所以P(B|A)＝PABPA＝1495120＝499.方法二(缩小样本空间求解)第一次取到不合格品后，也就是在第二次取之前，还有99件产品，其中有4件不合格品，因此第二次取到不合格品的概率为499.(2)(2020·荆州模拟)“幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中，n阶幻方(n≥3，n∈N*)是由前n2个正整数组成的一个n阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的n个数之和(简称幻和)相等，例如“3阶幻方”的幻和为15.现从如图所示的3阶幻方中任取3个不同的数，记“取到的3个数的和为15”为事件A，“取到的3个数可以构成一个等差数列”为事件B，则P(B|A)＝________.答案12解析根据题意，事件A的所有可能结果为(8,1,6)，(3,5,7)，(4,9,2)，(8,3,4)，(1,5,9)，(6,7,2)，(8,5,2)，(4,5,6)，共8个；事件A，B同时发生的所有可能结果为(3,5,7)，(1,5,9)，(8,5,2)，(4,5,6)，共4个，所以P(B|A)＝nABnA＝48＝12.题型二独立重复试验与二项分布命题点1相互独立事件的概率例2(八省联考)一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1,2,3需要调整的概率分别为0.1,0.2,0.3，各部件的状态相互独立．(1)求设备在一天的运转中，部件1,2中至少有1个需要调整的概率；(2)记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X，求X的分布列及均值．解设“部件1,2,3中需要调整的事件”分别为A1，A2，A3，则P(A1)＝0.1，P(A2)＝0.2，P(A3)＝0.3.(1)设“部件1,2中至少有1个需要调整的事件”为B，则B为“部件1,2中都不需要调整”．由于部件1,2的状态相互独立，则P(B)＝1－P(B)＝1－[1－P(A1)][1－P(A2)]＝1－(1－0.1)(1－0.2)＝1－0.9×0.8＝0.28.(2)由题意知，设备在一天的运转中需要调整的部件个数可能为0,1,2,3.则P(X＝0)＝[1－P(A1)][1－P(A2)][1－P(A3)]＝(1－0.1)×(1－0.2)×(1－0.3)＝0.504.P(X＝1)＝P(A1)[1－P(A2)][1－P(A3)]＋[1－P(A1)]P(A2)[1－P(A3)]＋[1－P(A1)][1－P(A2)]·P(A3)＝0.1×0.8×0.7＋0.9×0.2×0.7＋0.9×0.8×0.3＝0.056＋0.126＋0.216＝0.398，P(X＝2)＝P(A1)P(A2)[1－P(A3)]＋P(A1)[1－P(A2)]P(A3)＋[1－P(A1)]P(A2)P(A3)＝0.1×0.2×0.7＋0.1×0.8×0.3＋0.9×0.2×0.3＝0.014＋0.024＋0.054＝0.092.P(X＝3)＝P(A1)P(A2)P(A3)＝0.1×0.2×0.3＝0.006.则X的分布列如下：X0123P0.5040.3980.0920.006故E(X)＝0×0.504＋1×0.398＋2×0.092＋3×0.006＝0.398＋0.184＋0.018＝0.6.命题点2独立重复试验例3(2020·广东华附、省实、广雅、深中四校联考)连续抛掷同一颗均匀的骰子，令第i次得到的点数为ai，若存在正整数k，使a1＋a2＋…＋ak＝6，则称k为你的幸运数字．(1)求你的幸运数字为3的概率；(2)若k＝1，则你的得分为6分；若k＝2，则你的得分为4分；若k＝3，则你的得分为2分；若抛掷三次还没找到你的幸运数字则记0分，求得分ξ的分布列和均值．解(1)记“连续抛掷k次骰子的点数和为6”为事件A，则它包含事件A1，A2，A3，其中A1：三次恰好都为2；A2：三次中恰好1,2,3各一次；A3：三次中有两次为1，一次为4，A1，A2，A3为互斥事件，则k＝3的概率P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)