【新高考复习】2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第1章 §1.3　全称量词与存在量词

§1.3全称量词与存在量词考试要求1.理解全称量词和存在量词的意义.2.能正确地对含一个量词的命题进行否定．1．全称量词和存在量词(1)全称量词：“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，用符号“∀”表示．(2)存在量词：“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，用符号“∃”表示．2．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定命题名称语言表示符号表示命题的否定全称命题对M中任意一个x，有p(x)成立∀x∈M，p(x)∃x0∈M，綈p(x0)特称命题存在M中的一个x0，使p(x0)成立∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，綈p(x)微思考1．怎样判断一个特称命题是真命题？提示要判定特称命题“∃x0∈M，P(x0)”，只需在集合M找到一个x0，使P(x0)成立即可．2．命题p和綈p可否同时为真，思考一下此结论在解题中的作用？提示命题p和綈p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可判断此命题的否定的真假．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)至少有一个三角形的内角和为π是全称命题．(×)(2)“全等三角形的面积相等”是特称命题．(×)(3)写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词．(√)题组二教材改编2．命题“∀x∈R，x2＋x＋10”的否定是________．答案∃x0∈R，x20＋x0＋1≤03．命题“∃x0∈N，x20≤0”的否定是________．答案∀x∈N，x204．命题“对于函数f(x)＝x2＋ax(a∈R)，存在a∈R，使得f(x)是偶函数”为________命题．(填“真”或“假”)答案真解析当a＝0时，f(x)＝x2(x≠0)为偶函数．题组三易错自纠5．(多选)下列命题的否定中，是全称命题且为真命题的有()A．∃x0∈R，x20－x0＋140B．所有的正方形都是矩形C．∃x0∈R，x20＋2x0＋2＝0D．至少有一个实数x，使x3＋1＝0答案AC解析由条件可知：原命题为特称命题且为假命题，所以排除BD；又因为x2－x＋14＝x－122≥0，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋10，所以AC均为特称命题且为假命题，故选AC.6．若命题“∃t0∈R，t20－2t0－a0”是假命题，则实数a的取值范围是________．答案(－∞，－1]解析命题“∃t0∈R，t20－2t0－a0”是假命题，等价于∀t∈R，t2－2t－a≥0是真命题，∴Δ＝4＋4a≤0，解得a≤－1.∴实数a的取值范围是(－∞，－1]．题型一全称命题、特称命题的真假例1(1)以下四个命题既是特称命题又是真命题的是()A．锐角三角形有一个内角是钝角B．至少有一个实数x，使x2≤0C．两个无理数的和必是无理数D．存在一个负数x，使1x2答案B解析A中锐角三角形的内角都是锐角，所以A是假命题；B中当x＝0时，x2＝0，满足x2≤0，所以B既是特称命题又是真命题；C中因为2＋(－2)＝0不是无理数，所以C是假命题；D中对于任意一个负数x，都有1x0，不满足1x2，所以D是假命题．(2)下列四个命题：①∃x0∈(0，＋∞)，003211xx；②∃x0∈(0,1)，013120lologgxx；③∀x∈(0，＋∞)，1212logxx；④∀x∈0，13，1312logxx.其中真命题的序号为________．答案②④解析对于①，当x∈(0，＋∞)时，总有12x13x成立，故①是假命题；对于②，当x＝12时，有231113111loglog1log322成立，故②是真命题；对于③，当0x12时，121log21xx，故③是假命题；对于④，∀x∈0，13，131log12xx，故④是真命题．思维升华判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判定特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x0，使p(x0)成立．跟踪训练1(1)下列命题中的假命题是()A．∀x∈R,2x－10B．∀x∈N*，(x－1)20C．∃x0∈R，lgx01D．∃x0∈R，tanx0＝2答案B解析当x∈N*时，x－1∈N，可得(x－1)2≥0，当且仅当x＝1时取等号，故B不正确；易知A，C，D正确，故选B.(2)已知函数f(x)＝12x，则()A．∃x0∈R，f(x0)0B．∀x∈(0，＋∞)，f(x)≥0C．∃x1，x2∈[0，＋∞)，fx1－fx2x1－x20D．∀x1∈[0，＋∞)，∃x2∈[0，＋∞)，f(x1)f(x2)答案B解析幂函数f(x)＝12x的值域为[0，＋∞)，且在定义域上单调递增，故A错误，B正确，C错误，D选项中当x1＝0时，结论不成立．题型二含有一个量词的命题的否定1．已知命题p：“∃x0∈R，0ex－x0－1≤0”，则綈p为()A．∃x0∈R，0ex－x0－1≥0B．∃x0∈R，0ex－x0－10C．∀x∈R，ex－x－10D．∀x∈R，ex－x－1≥0答案C解析根据全称命题与特称命题的否定关系，可得綈p为“∀x∈R，ex－x－10”，故选C.2．(2020·山东模拟)设命题p：所有正方形都是平行四边形，则綈p为()A．所有正方形都不是平行四边形B．有的平行四边形不是正方形C．有的正方形不是平行四边形D．不是正方形的四边形不是平行四边形答案C解析“所有”改为“存在”(或“有的”)，“都是”改为“不都是”(或“不是”)，即綈p为有的正方形不是平行四边形．3．命题：“∃x0∈R，sinx0＋cosx02”的否定是________________．答案∀x∈R，sinx＋cosx≤24．若命题p的否定是“对所有正数x，xx＋1”，则命题p是____________________．答案∃x0∈(0，＋∞)，x0≤x0＋1思维升华对全称命题、特称命题进行否定的方法(1)找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词；(2)对原命题的结论进行否定．题型三根据命题的真假求参数的取值范围例2(1)已知命题p：∀x∈R，x2－a≥0；命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题p，q都是真命题，则实数a的取值范围为__________．答案(－∞，－2]解析由命题p为真，得a≤0，由命题q为真，得Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≤－2或a≥1，所以a≤－2.(2)已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝12x－m，若对∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________________．答案14，＋∞解析当x∈[0,3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当x∈[1,2]时，g(x)min＝g(2)＝14－m，由题意得f(x)min≥g(x)min，即0≥14－m，所以m≥14.本例中，若将“∃x2∈[1,2]”改为“∀x2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是________________．答案12，＋∞解析当x∈[1,2]时，g(x)max＝g(1)＝12－m，由题意得f(x)min≥g(x)max，即0≥12－m，∴m≥12.思维升华(1)已知命题的真假，可根据每个命题的真假利用集合的运算求解参数的取值范围．(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．跟踪训练2(1)由命题“∃x0∈R，x20＋2x0＋m≤0”是假命题，求得实数m的取值范围是(a，＋∞)，则实数a＝________.答案1解析由题意得命题“∀x∈R，x2＋2x＋m0”是真命题，所以Δ＝4－4m0，即m1，故实数m的取值范围是(1，＋∞)，从而实数a的值为1.(2)若f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a0)，∀x1∈[－1,2]，∃x0∈[－1,2]，使g(x1)＝f(x0)，则实数a的取值范围是________．答案0，12解析由于函数g(x)在定义域[－1,2]内是任意取值的，且必存在x0∈[－1,2]，使得g(x1)＝f(x0)，因此问题等价于函数g(x)的值域是函数f(x)值域的子集．函数f(x)的值域是[－1,3]，因为a0，所以函数g(x)的值域是[2－a,2＋2a]，则有2－a≥－1且2＋2a≤3，即a≤12.故a的取值范围是0，12.课时精练1．下列命题中是假命题的是()A．∃x0∈R，log2x0＝0B．∃x0∈R，cosx0＝1C．∀x∈R，x20D．∀x∈R,2x0答案C解析因为log21＝0，cos0＝1，所以选项A，B均为真命题，02＝0，选项C为假命题，2x0，选项D为真命题，故选C.2．(2021·长沙期末)命题p：“∀x∈N*，12x≤12”的否定为()A．∀x∈N*，12x12B．∀x∉N*，12x12C．∃x0∉N*，01122xD．∃x0∈N*，01122x答案D解析命题p的否定是把“∀”改成“∃”，再把“12x≤12”改为“01122x”即可，故选D.3．下列命题是真命题的是()A．所有的素数都是奇数B．∀x∈R，x2＋1≥0C．对于每一个无理数x，x2是有理数D．∀x∈Z，1x∉Z答案B解析对于A,2是素数，但2不是奇数，A假；对于B，∀x∈R，总有x2≥0，则x2＋1≥0恒成立，B真；对于C，π是无理数，(π)2＝π还是无理数，C假；对于D,1∈Z，但11＝1∈Z，D假，故选B.4．若命题p：∀x∈R,2x2－10，则该命题的否定是()A．∃x0∈R,2x20－10B．∀x∈R,2x2－1≥0C．∃x0∈R,2x20－1≤0D．∀x∈R,2x2－10答案C解析由题意，根据全称命题与特称命题的关系，可得命题p：∀x∈R,2x2－10的否定是“∃x0∈R,2x20－1≤0”．5．已知命题p：∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≥0，则綈p是()A．∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0B．∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0C．∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)0D．∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)0答案C解析已知全称命题p：∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)≥0，则綈p：∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)0，故选C.6．已知命题“∃x0∈R,4x20＋(a－2)x0＋14≤0”是假命题，则实数a的取值范围为()A．(－∞，0)B．[0,4]C．[4，＋∞)D．(0,4)答案D解析因为命题“∃x0∈R,4x20＋(a－2)x0＋14≤0”是假命题，所以其否定“∀x∈R,4x2＋(a－2)x＋140”是真命题，则Δ＝(a－2)2－4×4×14＝a2－4a0，解得0a4，故选D.7．(多选)下列命题为假命题的是()A．∃x0∈R，ln(x20＋1)0B．∀x2,2xx2C．∃α，β∈R，sin(α－β)＝sinα－sinβD．∀x∈(0，π)，sinxcosx答案ABD解析∵x2＋1≥1，∴ln(x2＋1)≥ln1＝0，故A为假命题；当x＝4时，2x＝x2，故B为假命题；当α＝β＝0时，sin(α－β)＝0＝sinα－sinβ，故C为真命题；当x＝π6时，sinπ6cosπ6，故D为假命题．8．(多选)下列四个命题中，为假命题的是()A．∃x0∈(0,1)，0012xxB．“∀x∈R，x2＋x－10”的否定是“∃x0∈R，x20＋x0－10”C．“函数f(x)在(a，b)内f′(x)0”是“f(x)在(a，b)内单调递增”的充要条件D．已知f(x)在