【新高考复习】2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第2章 §2.1 第2课时　函数的定义域与值域

第2课时函数的定义域与值域题型一函数的定义域1．函数f(x)＝ln(4x－x2)＋1x－2的定义域为()A．(0,4)B．[0,2)∪(2,4]C．(0,2)∪(2,4)D．(－∞，0)∪(4，＋∞)答案C解析要使函数有意义，则4x－x20，x－2≠0，解得0x4且x≠2.2．(2021·安徽江南十校模拟)函数y＝－x2＋2x＋3lgx＋1的定义域为()A．(－1,3]B．(－1,0)∪(0,3]C．[－1,3]D．[－1,0)∪(0,3]答案B解析要使函数有意义，x需满足－x2＋2x＋3≥0，x＋10，x＋1≠1，解得－1x0或0x≤3，所以函数的定义域为(－1,0)∪(0,3]．3．若函数f(x)的定义域为[0,8]，则函数g(x)＝f2x8－2x的定义域为________．答案[0,3)解析依题意有0≤2x≤8，8－2x0，解得0≤x3，∴g(x)的定义域为[0,3)．思维升华(1)根据具体的函数解析式求定义域的策略已知解析式的函数，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求解时只要根据函数解析式列出自变量满足的不等式(组)，得出不等式(组)的解集即可．(2)求抽象函数的定义域的策略①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．(3)求函数定义域应注意的问题①不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化；②定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．题型二函数的值域例1求下列函数的值域：(1)y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)；(2)y＝2x＋1x－3；(3)y＝2x－x－1；(4)y＝x＋1＋x－1.解(1)(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0,3)，再结合函数的图象(如图①所示)，可得函数的值域为[2,6)．(2)(分离常数法)y＝2x＋1x－3＝2x－3＋7x－3＝2＋7x－3，显然7x－3≠0，∴y≠2.故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．(3)(换元法)设t＝x－1，则x＝t2＋1，且t≥0，∴y＝2(t2＋1)－t＝2t－142＋158，由t≥0，再结合函数的图象(如图②所示)，可得函数的值域为158，＋∞.(4)函数的定义域为[1，＋∞)，∵y＝x＋1与y＝x－1在[1，＋∞)上均为增函数，∴y＝x＋1＋x－1在[1，＋∞)上为单调递增函数，∴当x＝1时，ymin＝2，即函数的值域为[2，＋∞)．思维升华求函数值域的一般方法(1)分离常数法；(2)配方法；(3)不等式法；(4)单调性法；(5)换元法；(6)数形结合法；(7)导数法．跟踪训练1求下列函数的值域：(1)y＝2x－12x＋1；(2)y＝12logx＋12x，x∈[1,2)；(3)y＝x2－x＋2x－1(x1)．解(1)方法一y＝2x－12x＋1＝1－22x＋1，∵2x0，∴2x＋11，∴022x＋12，∴－11－22x＋11，∴函数的值域为(－1,1)．方法二由y＝2x－12x＋1得2x＝y＋11－y，又∵2x0，∴y＋11－y0，即(y＋1)(y－1)0，即－1y1.∴函数的值域为(－1,1)．(2)函数y＝12logx＋12x在[1,2)上单调递减，当x＝1时，y＝12，当x＝2时，y＝－1＋14＝－34，∴－34y≤12，∴函数的值域为－34，12.(3)令t＝x－1，∴t0，x＝t＋1，∴y＝t＋12－t＋1＋2t＝t2＋t＋2t＝t＋2t＋1≥22＋1，当且仅当t＝2t即t＝2时取等号，∴函数的值域为[22＋1，＋∞)．题型三定义域与值域的应用例2(1)(2021·广州模拟)若函数f(x)＝ax2＋abx＋b的定义域为{x|1≤x≤2}，则a＋b的值为________．答案－92解析函数f(x)的定义域是不等式ax2＋abx＋b≥0的解集．不等式ax2＋abx＋b≥0的解集为{x|1≤x≤2}，所以a0，1＋2＝－b，1×2＝ba，解得a＝－32，b＝－3，所以a＋b＝－32－3＝－92.(2)已知函数y＝x2＋ax－1＋2a的值域为[0，＋∞)，求a的取值范围．解令t＝g(x)＝x2＋ax－1＋2a，要使函数y＝t的值域为[0，＋∞)，则说明[0，＋∞)⊆{y|y＝g(x)}，即函数对应的一元二次方程的判别式Δ≥0，即a2－4(2a－1)≥0，即a2－8a＋4≥0，解得a≥4＋23或a≤4－23，∴a的取值范围是{a|a≥4＋23或a≤4－23}．思维升华已知函数的定义域、值域求参数问题，可通过分析函数解析式的结构特征，结合函数的图象、性质、转化为含参数的方程(组)、不等式(组)，然后求解．跟踪训练2(1)若函数f(x)＝ln(ax－1)在(2，＋∞)上有意义，则实数a的取值范围为________．答案12，＋∞解析要使函数f(x)＝ln(ax－1)有意义，则ax－10，即ax－10在(2，＋∞)上恒成立，∴a0，2a－1≥0，解得a≥12.(2)已知函数f(x)＝12(x－1)2＋1的定义域与值域都是[1，b](b1)，则实数b＝________.答案3解析f(x)＝12(x－1)2＋1，x∈[1，b]且b1，则f(1)＝1，f(b)＝12(b－1)2＋1，∵f(x)在[1，b]上为增函数，∴函数f(x)的值域为1，12b－12＋1.由已知得12(b－1)2＋1＝b，解得b＝3或b＝1(舍)．课时精练1．函数12()log(1)1fxx的定义域为()A．(－∞，3]B．(1，＋∞)C．(1,3]D．[3，＋∞)答案C解析依题意12log(01)1x≥，即12log()11x≥，∴x－1≤2，x－10，解得1x≤3.2．(2021·贵阳检测)下列函数中，定义域与值域相同的是()A．y＝x－1B．y＝lnxC．y＝13x－1D．y＝x＋1x－1答案D解析y＝x＋1x－1＝1＋2x－1，函数的定义域为{x|x≠1}，值域为{y|y≠1}，故选D.3．函数f(x)＝loga(mx＋1)的定义域为(－∞，2)，则m的值为()A．－2B．－12C.12D．2答案B解析依题意mx＋10的解集为(－∞，2)，则m0，2m＋1＝0，∴m＝－12.4．函数y＝1＋x－1－2x的值域为()A.－∞，32B.－∞，32C.32，＋∞D.32，＋∞答案B解析设1－2x＝t，则t≥0，x＝1－t22，所以y＝1＋1－t22－t＝12(－t2－2t＋3)＝－12(t＋1)2＋2，因为t≥0，所以y≤32.所以函数y＝1＋x－1－2x的值域为－∞，32，故选B.5．已知函数f(x)＝1－2ax＋3a，x1，lnx，x≥1的值域为R，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－1]B.－1，12C.－1，12D.0，12答案C解析∵x≥1时，f(x)＝lnx≥ln1＝0，又f(x)的值域为R，故当x1时，f(x)的值域包含(－∞，0)．故1－2a0，1－2a＋3a≥0，解得－1≤a12.6．(多选)下列函数中值域为R的有()A．f(x)＝3x－1B．f(x)＝lg(x2－2)C．f(x)＝x2，0≤x≤2，2x，x2D．f(x)＝x3－1答案ABD解析A项，f(x)＝3x－1为增函数，函数的值域为R，满足条件；B项，由x2－20得x2或x－2，此时f(x)＝lg(x2－2)的值域为R，满足条件；C项，f(x)＝x2，0≤x≤2，2x，x2，当x2时，f(x)＝2x4，当0≤x≤2时，f(x)＝x2∈[0,4]，所以f(x)≥0，即函数的值域为[0，＋∞)，不满足条件；D项，f(x)＝x3－1是增函数，函数的值域为R，满足条件．7．(多选)已知函数y＝f(x)的定义域是R，值域为[－1,2]，则值域也为[－1,2]的函数是()A．y＝2f(x)＋1B．y＝f(2x＋1)C．y＝－f(x)＋1D．y＝|f(x)|答案BC解析y＝f(x)，x∈R，f(x)的值域为[－1,2]，对于A，f(x)∈[－1,2]，∴2f(x)＋1∈[－1,5]，故A不满足；对于B，当x∈R时，2x＋1∈R，∴f(2x＋1)∈[－1,2]，故B满足；对于C，∵f(x)∈[－1,2]，∴－f(x)∈[－2,1]，∴－f(x)＋1∈[－1,2]，故C满足；对于D，f(x)∈[－1,2]，∴|f(x)|∈[0,2]，故D不满足．8．(多选)若函数y＝x2－4x－4的定义域为[0，m]，值域为[－8，－4]，则实数m的值可能为()A．2B．3C．4D．5答案ABC解析函数y＝x2－4x－4的对称轴方程为x＝2，当0m≤2时，函数在[0，m]上单调递减，当x＝0时，取最大值－4，当x＝m时，有最小值m2－4m－4＝－8，解得m＝2.则当m2时，最小值为－8，而f(0)＝－4，由对称性可知，2m≤4.∴实数m的值可能为2,3,4.9．函数f(x)＝ln1＋1x＋1－x2的定义域为________．答案(0,1]解析要使函数f(x)有意义，则1＋1x0，x≠0，1－x2≥0⇒x－1或x0，x≠0，－1≤x≤1⇒0x≤1.∴f(x)的定义域为(0,1]．10．函数y＝log0.3(x2＋4x＋5)的值域为________．答案(－∞，0]解析令t＝x2＋4x＋5＝(x＋2)2＋1，∴t≥1，而y＝log0.3t在[1，＋∞)上单调递减，∴y≤log0.31＝0，故原函数的值域为(－∞，0]．11．(2020·河北示范性高中联考)函数f(x)＝2x－5，x≤2，3sinx，x2的值域为________．答案(－5,3]解析当x≤2时，f(x)＝2x－5单调递增，则－5f(x)≤－1；当x2时，sinx∈[－1,1]，∴f(x)＝3sinx∈[－3,3]．故f(x)的值域是(－5,3]．12．函数y＝1kx2－kx＋3的定义域为R，则k的取值范围是________．答案[0,12)解析依题意kx2－kx＋3≠0恒成立，①当k＝0时3≠0恒成立，∴k＝0满足条件，②当k≠0时Δ0即k2－12k0，∴0k12，综上有0≤k12.13．高斯是德国著名的数学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数．例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3，已知函数f(x)＝2x＋32x＋1，则函数y＝[f(x)]的值域为()A．{0,1,2,3}B．{0,1,2}C．{1,2,3}D．{1,2}答案D解析f(x)＝2x＋32x＋1＝2x＋1＋22x＋1＝1＋22x＋1，∵2x0，∴1＋2x1,012x＋11，则022x＋12,11＋22x＋13，即1f(x)3.当1f(x)2时，[f(x)]＝1，当2≤f(x)3时，[f(x)]＝2.综上，函数y＝[f(x)]的值域为{1,2}．14．已知函数f(x)＝log2x，g(x)＝2x＋a，若存在x1，x2∈12，2，使得f(x1)＝g(x2)，则a的取值范围是________．答案[－5,0]解析依题意f(x)的值域与g(x)的值域有交集，x∈12，2时，f(x)∈[－1,1]，x∈12，2时，g(x)∈[a＋1，a＋4]，故a＋1≤－1，a＋4≥－1或a＋1≤1，a＋4≥1，解得－5≤a≤0.15．(多选)若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不