【新高考复习】2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第2章 §2.4　指数与指数函数

§2.4指数与指数函数考试要求1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.2.通过实例，了解指数函数的实际意义，能用描点法或借助计算工具画指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性，特殊点等性质，并能简单应用．1．根式(1)如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根．(2)式子na叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数．(3)(na)n＝a.当n为奇数时，nan＝a，当n为偶数时，nan＝|a|＝a，a≥0，－a，a0.2．分数指数幂正数的正分数指数幂，mna＝nam(a0，m，n∈N*，n1)．正数的负分数指数幂，1mnmnaa＝1nam(a0，m，n∈N*，n1)．0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义．3．指数幂的运算性质aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr(a0，b0，r，s∈Q)．4．指数函数及其性质(1)概念：函数y＝ax(a0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数．(2)指数函数的图象与性质a10a1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1当x0时，y1；当x0时，0y1当x0时，y1；当x0时，0y1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数微思考1．若函数y＝k·ax＋b为指数函数，则a，k，b满足什么条件？提示k＝1，b＝0，a0且a≠1.2.如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则a，b，c，d与1之间的大小关系是什么？提示cd1ab0.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)4－44＝－4.(×)(2)2a·2b＝2ab.(×)(3)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．(√)(4)若aman(a0，且a≠1)，则mn.(×)题组二教材改编2．化简416x8y4(x0，y0)得()A．2x2yB．2xyC．4x2yD．－2x2y答案D3．函数f(x)＝ax－1＋2(a0且a≠1)的图象恒过定点________．答案(1,3)4．已知113344333,,,552abc则a，b，c的大小关系是________．答案cba解析∵y＝35x是R上的减函数，∴113403533,55即ab1，又0343=3212c，∴cba.题组三易错自纠5．若函数f(x)＝(a2－3)·ax为指数函数，则a＝______.答案2解析依题意a2－3＝1，a0且a≠1，解得a＝2.6．函数f(x)＝ax在[－1,1]上的最大值为2，则a＝______.答案2或12解析当a1时，f(x)＝ax为增函数，则a1＝2，∴a＝2满足题意，当0a1时，f(x)＝ax为减函数，则a－1＝2，∴a＝12满足题意，综上有a＝2或12.题型一指数幂的运算1．计算：238－－780＋43－π4＋162[(2)]＝______.答案π＋8解析原式＝233(2)－1＋|3－π|＋162(2)＝4－1＋π－3＋23＝π＋8.2．计算：113211332(4)14(0.1)()abab＝________.(a0，b0)答案85解析原式＝3332223322248510abab.3．若11223xx，则33222232xxxx＝________.答案13解析由11223xx，两边平方，得x＋x－1＝7，再平方得x2＋x－2＝47.∴x2＋x－2－2＝45.331111331222222()()()(1)3(71)18.xxxxxxxx∴33222232xxxx＝13.思维升华(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加．②运算的先后顺序．(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．题型二指数函数的图象及应用例1(1)(多选)已知实数a，b满足等式2021a＝2022b，下列等式可以成立的是()A．a＝b＝0B．ab0C．0abD．0ba答案ABD解析如图，观察易知，ab0或0ba或a＝b＝0，故选ABD.(2)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．答案(0,2)解析在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示．∴当0b2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点．∴b的取值范围是(0,2)．思维升华(1)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(2)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．跟踪训练1(1)(2021·山东师大附中月考)函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是()答案A解析方法一当x＝0时，y＝0，排除C.又f(x)为偶函数，排除B，D，故选A.方法二y＝1－e|x|的图象可由y＝e|x|关于x轴对称得到y＝－e|x|的图象，再向上平移一个单位长度得到，故选A.(2)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()A．a1，b0B．a1，b0C．0a1，b0D．0a1，b0答案D解析由f(x)＝ax－b的图象可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0a1.又f(0)＝a－ba0，∴－b0，即b0.题型三指数函数的性质及应用命题点1比较指数式的大小例2(2020·全国Ⅱ)若2x－2y3－x－3－y，则()A．ln(y－x＋1)0B．ln(y－x＋1)0C．ln|x－y|0D．ln|x－y|0答案A解析设函数f(x)＝2x－3－x.因为函数y＝2x与y＝－3－x在R上均单调递增，所以f(x)在R上单调递增．原式等价于2x－3－x2y－3－y，即f(x)f(y)，所以xy，即y－x0，所以A正确，B不正确．因为|x－y|与1的大小关系不能确定，所以C，D不正确．[高考改编题]若ea＋πb≥e－b＋π－a，下列结论一定成立的是()A．a＋b≤0B．a－b≥0C．a－b≤0D．a＋b≥0答案D解析∵ea＋πb≥e－b＋π－a，∴ea－π－a≥e－b－πb，①令f(x)＝ex－π－x，则f(x)是R上的增函数，①式即为f(a)≥f(－b)，∴a≥－b，即a＋b≥0.命题点2解简单的指数方程或不等式例3(1)若221124xx≤，则函数y＝2x的值域是()A.18，2B.18，2C.－∞，18D．[2，＋∞)答案B解析14x－2＝(2－2)x－2＝2－2x＋4，∴212422,xx≤即x2＋1≤－2x＋4，即x2＋2x－3≤0，∴－3≤x≤1，此时y＝2x的值域为[2－3，21]，即为18，2.(2)已知实数a≠1，函数f(x)＝4x，x≥0，2a－x，x0，若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为______．答案12解析当a1时，41－a＝21，解得a＝12；当a1时，代入不成立．故a的值为12.命题点3指数函数性质的综合应用例4(1)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则m的取值范围是________．答案(－∞，4]解析令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间m2，＋∞上单调递增，在区间－∞，m2上单调递减．而y＝2t是增函数，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有m2≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]．(2)不等式4x－2x＋1＋a0对任意x∈R都成立，则实数a的取值范围是________．答案(1，＋∞)解析原不等式可化为a－4x＋2x＋1对x∈R恒成立，令t＝2x，则t0，∴y＝－4x＋2x＋1＝－t2＋2t＝－(t－1)2＋1≤1，当t＝1时，ymax＝1，∴a1.思维升华(1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量．(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．跟踪训练2(1)(多选)下列各式比较大小正确的是()A．1.72.51.73B.3423122C．1.70.30.93.1D.32432334答案BCD解析∵y＝1.7x为增函数，∴1.72.51.73，故A不正确．4433122，y＝12x为减函数，∴44332312122，故B正确；∵1.70.31，而0.93.1∈(0,1)，∴1.70.30.93.1，故C正确；y＝23x为减函数，∴324322,33又23yx在(0，＋∞)上递增，∴223332,34∴223334333422，故D正确．(2)设m，n∈R，则“mn”是“12m－n1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析12m－n1，即12m－n120，∴m－n0，∴mn.故“mn”是“12m－n1”的充要条件．(3)函数2431()3axxfx.若f(x)在(－∞，－3)上单调递减，则a的取值范围是________．答案－∞，－23解析令t＝ax2－4x＋3，则y＝13t，∵y＝13t为减函数，∴t＝ax2－4x＋3在(－∞，－3)上单调递增，则a0，2a≥－3，解得a≤－23.课时精练1．若实数a0，则下列等式成立的是()A．(－2)－2＝4B．2a－3＝12a3C．(－2)0＝－1D．1441()aa答案D解析对于A，(－2)－2＝14，故A错误；对于B,2a－3＝2a3，故B错误；对于C，(－2)0＝1，故C错误；对于D，1441()aa，故D正确．2．已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则a，b，c的大小关系是()A．abcB．acbC．cabD．bca答案A解析y＝0.4x为减函数，∴0.40.60.40.20.40＝1，又20.21，即abc.3．(2020·东北四校联考)已知函数f(x)＝1－2－x，x≥0，2x－1，x0，则函数f(x)是()A．偶函数，在[0，＋∞)上单调递增B．偶函数，在[0，＋∞)上单调递减C．奇函数，且单调递增D．奇函数，且单调递减答案C解析作出函数f(x)的图象(图略)，由图可知f(x)为奇函数，且f(x)在R上为增函数．4．(2020·新高考全国Ⅰ)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加