【新高考复习】2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第2章 §2.7　函数与方程

§2.7函数与方程考试要求1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在性定理，并能简单应用.3.了解用二分法求方程的近似解．1．函数的零点与方程的解(1)函数零点的概念对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)函数零点与方程实数解的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)函数零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．二分法对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象与零点的关系Δ0Δ＝0Δ0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数210微思考1．函数f(x)满足什么条件，才能保证f(x)在(a，b)上有唯一零点．提示f(x)在(a，b)上连续且单调，而且f(a)f(b)0，则f(x)在(a，b)上有且仅有一个零点．2．能否用二分法求任意方程的近似解．提示不能．用二分法求方程的近似解应具备两个条件，一是方程对应的函数在零点附近连续不断，二是该零点左、右的函数值异号．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(×)(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)0.(×)(3)若f(x)在(a，b)上连续，且f(a)f(b)0，则f(x)在(a，b)上没有零点．(×)(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac0时没有零点．(√)题组二教材改编2．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中的函数零点的是()答案C解析对于选项C，由题图可知零点附近左右两侧的函数值的符号是相同的，故不能用二分法求解．3．已知函数y＝f(x)的图象是连续的曲线，且有如下的对应值表：x123456y124.435－7414.5－56.7－123.6则函数y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有()A．2个B．3个C．4个D．5个答案B解析由零点存在性定理及题中的对应值表可知，函数f(x)在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)内均有零点，所以y＝f(x)在[1,6]上至少有3个零点．4．若函数f(x)＝x2－4x＋a存在两个不同的零点，则实数a的取值范围是________．答案(－∞，4)题组三易错自纠5．函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则实数a的值为()A．－14B．0C.14D．0或－14答案D解析当a＝0时，f(x)＝－x－1，令f(x)＝0得x＝－1，故f(x)只有一个零点为－1.当a≠0时，则Δ＝1＋4a＝0，∴a＝－14.综上有a＝0或－14.6．若函数f(x)＝ax＋b有一个零点2，则函数g(x)＝bx2－ax的零点是________．答案0，－12解析由题意知2a＋b＝0，则b＝－2a，令g(x)＝bx2－ax＝0，得x＝0或x＝ab＝－12，所以g(x)的零点为0，－12.题型一函数零点所在区间的判定1．(2020·开封模拟)函数f(x)＝x＋lnx－3的零点所在的区间为()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)答案C解析∵f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(2)＝ln2－10，f(3)＝ln30，故f(x)在(2,3)上有唯一零点，故选C.2．若abc，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间()A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内答案A解析函数y＝f(x)是开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于abc，则a－b0，a－c0，b－c0，因此f(a)＝(a－b)(a－c)0，f(b)＝(b－c)(b－a)0，f(c)＝(c－a)(c－b)0.所以f(a)f(b)0，f(b)f(c)0，即f(x)在区间(a，b)和区间(b，c)内各有一个零点．3．(2020·湖南雅礼中学月考)设函数f(x)＝13x－lnx，则函数y＝f(x)()A．在区间1e，1，(1，e)内均有零点B．在区间1e，1，(1，e)内均无零点C．在区间1e，1内有零点，在区间(1，e)内无零点D．在区间1e，1内无零点，在区间(1，e)内有零点答案D解析f(x)的定义域为{x|x0}，f′(x)＝13－1x＝x－33x，令f′(x)0⇒x3，f′(x)0⇒0x3，∴f(x)在(0,3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，又f1e＝13e＋10，f(1)＝130，∴f(x)在1e，1内无零点．又f(e)＝e3－10，∴f(x)在(1，e)内有零点．4．已知2a3b4，方程logax＝－x＋b的解x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝________.答案2解析方程logax＝－x＋b的解，即为函数f(x)＝logax＋x－b的零点，∴x0为f(x)＝logax＋x－b的零点，∵2a3b4，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(2)＝loga2＋2－b0，f(3)＝loga3＋3－b0，∴x0∈(2,3)，即n＝2.思维升华确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．题型二函数零点个数的判定例1(1)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是()A．0B．1C．2D．3答案B解析方法一∵f(0)f(1)＝(－1)×1＝－10，且函数在定义域上单调递增且连续，∴函数f(x)在区间(0,1)内有且只有1个零点．方法二设y1＝2x，y2＝2－x3，在同一坐标系中画出两函数的图象如图所示，在区间(0,1)内，两图象的交点个数即为f(x)的零点个数．故函数f(x)在区间(0,1)内有且只有1个零点．(2)已知函数y＝f(x)是周期为2的周期函数，且当x∈[－1，1]时，f(x)＝2|x|－1，则函数F(x)＝f(x)－|lgx|的零点个数是()A．9B．10C．11D．18答案B解析由函数y＝f(x)的性质，画出函数y＝f(x)的图象，如图，再作出函数y＝|lgx|的图象，由图可知，y＝f(x)与y＝|lgx|共有10个交点，故原函数有10个零点．思维升华函数零点个数的判定有下列几种方法(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．(3)画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．跟踪训练1(1)(2021·惠州质检)函数f(x)＝|x－2|－lnx在定义域内的零点的个数为()A．0B．1C．2D．3答案C解析由题意可知f(x)的定义域为(0，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函数y＝|x－2|(x0)，y＝lnx(x0)的图象，如图所示．由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.(2)函数y＝lg|x|－sinx的零点个数为________．答案6解析在平面直角坐标系中，分别作出y＝lg|x|与y＝sinx的图象，如图所示，由图可知，两函数图象共有6个交点，故原函数有6个零点．题型三函数零点的应用命题点1根据函数零点个数求参数例2已知函数f(x)＝ex－a，x≤0，2x－a，x0(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则实数a的取值范围是()A．(0,1]B．[1，＋∞)C．(0,1)D．(－∞，1]答案A解析画出函数f(x)的大致图象如图所示．因为函数f(x)在R上有两个零点，所以f(x)在(－∞，0]和(0，＋∞)上各有一个零点．当x≤0时，f(x)有一个零点，需0a≤1；当x0时，f(x)有一个零点，需－a0，即a0.综上，0a≤1.命题点2根据函数零点范围求参数例3函数f(x)＝x·2x－kx－2在区间(1,2)内有零点，则实数k的取值范围是________．答案(0,3)解析令f(x)＝0，∴x·2x－kx－2＝0，即k＝2x－2x，即y＝k与φ(x)＝2x－2x，x∈(1,2)的图象有交点，又φ(x)＝2x－2x在(1,2)上单调递增，且φ(1)＝0，φ(2)＝3.∴0k3.命题点3数形结合法求解函数零点问题例4若函数f(x)＝|logax|－2－x(a0且a≠1)的两个零点是m，n，则()A．mn＝1B．mn1C．0mn1D．以上都不对答案C解析由题设可得|logax|＝12x，不妨设a1，mn，画出函数y＝|logax|，y＝12x的图象如图所示，结合图象可知0m1，n1，且－logam＝12m，logan＝12n，以上两式两边相减可得loga(mn)＝12n－12m0，所以0mn1，故选C.素养提升(1)已知函数的零点求参数，主要方法有：①直接求方程的根，构建方程(不等式)求参数；②数形结合；③分离参数，转化为求函数的最值．(2)已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围．(3)函数零点问题一般可以转化为两个函数图象的交点问题，通过画图分析图象的特征、图象间的关系解决问题，提升直观想象核心素养．跟踪训练2(2021·湖南雅礼中学检测)已知函数f(x)＝2|x|，x≤1，x2－3x＋3，x1，若关于x的方程f(x)＝2a(a∈R)恰有两个不同的实根，则实数a的取值范围为()A.12，1B.12C.38，12∪(1，＋∞)D．R答案C解析作出函数f(x)的图象如图，因为关于x的方程f(x)＝2a恰有两个不同实根，所以y＝2a与函数y＝f(x)的图象恰有两个交点，结合图象，得2a2或342a≤1.解得a1或38a≤12.课时精练1．函数f(x)＝lnx－2x－1的零点所在的区间是()A．(1,2)B．(2,3)C．(3,4)D．(4,5)答案B解析函数f(x)＝lnx－2x－1在(1，＋∞)上单调递增，且在(1，＋∞)上连续．因为f(2)＝ln2－20，f(3)＝ln3－10，所以f(2)f(3)0，所以函数的零点所在的区间是(2,3)．2．(2020·青岛模拟)已知x＝a是函数12()2logxfxx的零点，若0x0a，则f(x0)的值满足()A．f(x0)＝0B．f(x0)0C．f(x0)0D．f(x0)的符号不确定答案C解析12()2logxfxx在(0，＋∞)上单调递增，且f(a)＝0，又0x0a，∴f(x0)f(a)＝0，即f(x0)0.3．函数f(x)＝x·cos2x在区间[0,2π]上的零点的个数为()A．2B．3C．4D．5答案D解析借助余弦函数的图象求解．f(x)＝x·cos2x＝0⇒x＝0或cos2x＝0，又cos2x＝0在[0,2π]上有π4，3π4，5π4，7π4，共4个根，故原