【新高考复习】专题10 不等式、推理与证明、算法初步、复数——2020年高考真题和模拟题文科数学分项

专题10不等式、推理与证明、算法初步、复数1．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】若312iiz，则||=zA．0B．1C．2D．2【答案】C【解析】因为31+21+21ziiiii，所以22112z．故选C．【点睛】本题主要考查向量的模的计算公式的应用，属于容易题．2．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】(1–i)4=A．–4B．4C．–4iD．4i【答案】A【解析】422222(1)[(1)](12)(2)4iiiii.故选A.【点睛】本题考查了复数的乘方运算性质，考查了数学运算能力，属于基础题.3．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】若)(1i1iz，则z=A．1–iB．1+iC．–iD．i【答案】D【解析】因为21(1)21(1)(1)2iiiziiii，所以zi=.故选：D【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到共轭复数的概念，是一道基础题.4．【2020年新高考全国Ⅰ卷】2i12iA．1B．−1C．iD．−i【答案】D【解析】2(2)(12)512(12)(iiiiii12)ii5故选：D【点睛】本题考查复数除法，考查基本分析求解能力，属基础题.5．【2020年高考北京】在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,2)，则izA．1i2B．2iC．12iD．2i【答案】B【解析】由题意得12iz，ii2z.故选：B．【点睛】本题考查复数几何意义以及复数乘法法则，考查基本分析求解能力，属基础题.6．【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知a0，b0，且a+b=1，则A．2212abB．122abC．22loglog2abD．2ab【答案】ABD【解析】对于A，222221221abaaaa21211222a，当且仅当12ab时，等号成立，故A正确；对于B，211aba，所以11222ab，故B正确；对于C，2222221logloglogloglog224ababab，当且仅当12ab时，等号成立，故C不正确；对于D，因为21212ababab，所以2ab，当且仅当12ab时，等号成立，故D正确；故选：ABD.【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养.7．【2020年高考浙江】若实数x，y满足约束条件31030xyxy，则2zxy的取值范围是A．(,4]B．[4,)C．[5,)D．(,)【答案】B【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：1122yxz，其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，z取得最小值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最小，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最小值，联立直线方程：31030xyxy，可得点A的坐标为：2,1A，据此可知目标函数的最小值为：min2214z且目标函数没有最大值.故目标函数的取值范围是4,.故选：B【点睛】求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大..8．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】执行下面的程序框图，则输出的n=A．17B．19C．21D．23【答案】C【解析】依据程序框图的算法功能可知，输出的n是满足135100n的最小正奇数，因为211112135110024nnnn，解得19n，所以输出的21n．故选：C.【点睛】本题主要考查程序框图的算法功能的理解，以及等差数列前n项和公式的应用，属于基础题．9．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12.设1≤ijk≤12．若k–j=3且j–i=4，则称ai，aj，ak为原位大三和弦；若k–j=4且j–i=3，则称ai，aj，ak为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为A．5B．8C．10D．15【答案】C【解析】根据题意可知，原位大三和弦满足：3,4kjji．∴1,5,8ijk；2,6,9ijk；3,7,10ijk；4,8,11ijk；5,9,12ijk．原位小三和弦满足：4,3kjji．∴1,4,8ijk；2,5,9ijk；3,6,10ijk；4,7,11ijk；5,8,12ijk．故个数之和为10．故选：C．【点睛】本题主要考查列举法的应用，以及对新定义的理解和应用，属于基础题．10．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】执行下面的程序框图，若输入的k=0，a=0，则输出的k为A．2B．3C．4D．5【答案】C【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出的k值模拟程序的运行过程：0,0ka，第1次循环，2011a,011k，110为否；第2次循环，2113a,112k，310为否；第3次循环，2317a,213k，710为否；第4次循环，27115a,314k，1510为是，退出循环.输出4k.故选：C.【点睛】本题考查求循环框图的输出值，解题关键是掌握模拟循环语句运行的计算方法，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.11．【2020年高考浙江】设集合S，T，SN*，TN*，S，T中至少有2个元素，且S，T满足：①对于任意的x，yS，若x≠y，则xyT；②对于任意的x，yT，若xy，则yxS．下列命题正确的是A．若S有4个元素，则S∪T有7个元素B．若S有4个元素，则S∪T有6个元素C．若S有3个元素，则S∪T有5个元素D．若S有3个元素，则S∪T有4个元素【答案】A【解析】首先利用排除法：若取1,2,4S，则2,4,8T，此时1,2,4,8ST，包含4个元素，排除选项D；若取2,4,8S，则8,16,32T，此时2,4,8,16,32ST，包含5个元素，排除选项C；若取2,4,8,16S，则8,16,32,64,128T，此时2,4,8,16,32,64,128ST，包含7个元素，排除选项B；下面来说明选项A的正确性：设集合1234,,,Spppp，且1234pppp，*1234,,,ppppN，则1224pppp，且1224,ppppT，则41pSp，同理42pSp，43pSp，32pSp，31pSp，21pSp，若11p，则22p，则332ppp，故322ppp即232pp，又444231ppppp，故442232ppppp，所以342pp，故232221,,,Sppp，此时522,pTpT，故42pS，矛盾，舍.若12p，则32311ppppp，故322111,pppppp即323121,pppp，又44441231ppppppp，故441331ppppp，所以441pp，故2341111,,,Spppp，此时3456711111,,,,pppppT.若qT，则31qSp，故131,1,2,3,4iqpip，故31,1,2,3,4iqpi，即3456711111,,,,qppppp，故3456711111,,,,pppppT，此时234456711111111,,,,,,,STpppppppp即ST中有7个元素.故A正确.故选：A．【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.12．【2020年高考江苏】已知i是虚数单位，则复数(1i)(2i)z的实部是▲．【答案】3【解析】∵复数i12iz∴2iii2i23z∴复数的实部为3.故答案为：3.【点睛】本题考查复数的基本概念，是基础题．13．【2020年高考江苏】已知22451(,)xyyxyR，则22xy的最小值是▲．【答案】45【解析】∵22451xyy∴0y且42215yxy∴422222222114144+2555555yyyxyyyyy，当且仅当221455yy，即2231,102xy时取等号.∴22xy的最小值为45.故答案为：45.【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值(和定积最大，积定和最小)；三相等是，最后一定要验证等号能否成立(主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立).14．【2020年高考江苏】如图是一个算法流程图，若输出y的值为2，则输入x的值是_____.【答案】3【解析】由于20x，所以12yx，解得3x.故答案为：3【点睛】本小题主要考查根据程序框图输出结果求输入值，考查指数函数的性质，属于基础题.15．【2020年高考天津】i是虚数单位，复数8i2i_________．【答案】3i2【解析】828151032222iiiiiiii5.故答案为：3i2.【点睛】本题考查复数的四则运算，属于基础题.16．【2020年高考天津】已知0,0ab，且1ab，则11822abab的最小值为_________．【答案】4【解析】0,0,0abab，1ab,11882222abababababab882422abababab，当且仅当ab=4时取等号，结合1ab,解得23,23ab，或23,23ab时，等号成立.故答案为：4【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1”合理变换是解题的关键，属于基础题.17．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】若x，y满足约束条件220,10,10,xyxyy则z=x+7y的最大值为.【答案】1【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数7zxy即：1177yxz，其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程：22010xyxy，可得点A的坐标为：()1,0A，据此可知目标函数的最大值为：max1701z.故答案：1．【点睛】求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，的为在y轴上截距最小时，z值最大.18．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】若x，y满足约束条件1121,xyxyxy，，则2zxy的最大值是__________．【答案】8【解析】不等式组表示的平面区域为下图所示：平移直线12yx，当直线经过点A时，直线1122yxz在纵轴上的截距最大，此时点A的坐标是方程组121xyxy的解，解得：23xy