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专题三《逻辑用语》讲义知识梳理.逻辑用语1．命题能判断真假的语句叫做命题．2．量词(1)全称量词与全称命题①全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词．②全称命题：含有全称量词的命题．③全称命题的符号表示：形如“对M中的任意一个x，有p(x)成立”的命题，用符号简记为∀x∈M，p(x)．(2)存在量词与特称命题①存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词．②特称命题：含有存在量词的命题．③特称命题的符号表示：形如“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”的命题，用符号简记为∃x0∈M，p(x0)．(3)命题的否定①改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．②否定结论：对原命题的结论进行否定．【注】原命题与命题的否定真假性相反3．充分条件、必要条件与充要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件；(2)如果q⇒p，则p是q的必要条件；(3)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，则p是q的充要条件．【注】集合中，子集可以推出另一个集合.题型一.真假命题1．关于x的方程x2+ax+b＝0，有下列四个命题：甲：该方程两根之和为2；乙：该方程两根异号；丙：x＝1是方程的根；丁：x＝3是方程的根．如果只有一个假命题，则该命题是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【解答】解：若甲是假命题，则乙丙丁是真命题，∴两根之和不为2，而x＝1，x＝3与两根异号矛盾，与题意不符；若乙是假命题，则甲丙丁是真命题，∴两根不异号，即方程有两个相等的根，与题意不符；若丙是假命题，则甲乙丁是真命题，令x1＝3，则x2＝﹣1，符合题意；若丁是假命题，则甲乙丙是真命题，令x1＝1，则x2＝1，与题意不符．故选：C．2．下列命题中正确的是（）A．若x∈C，x2+1＝0，则x＝iB．若复数z1，z2满足z12+z22＝0，则z1＝z2＝0C．若复数z为纯虚数，则|z|2＝z2D．若复数z满足z（2+i）＝|3﹣4i|，则复数z的虚部为﹣1【解答】解：由x2+1＝0，x2＝﹣1，x∈C，令x＝a+bi，∴x2＝（a+bi）2＝a2﹣b2+2abi，则a2﹣b2＝﹣1，2ab＝0，得a＝0，b2＝1，∴b＝±1．即x＝±1．故A错．设z1＝（a1+b1i），z2＝（a2+b2i），则z12+z22=(𝑎1+𝑏2𝑖)2+(𝑎2+𝑏2𝑖)2=0，得𝑎12+𝑎22−𝑏12−𝑏22=0，可得：2（a1b1+a2b2）＝0，当a2＝﹣b1，a1＝b2时成立，则B错．设z＝mi，|z|2＝m2，z2＝（mi）2＝﹣m2，∴|z|2≠z2，故C答案错误．由复数z满足z（2+i）＝|3﹣4i|，|3﹣4i|＝5，z（2+i）＝5，z=52+𝑖=2﹣i，∴z＝2﹣i，则复数z的虚部为﹣1，故D答案正确．故选：D．3．给出下列命题：①若空间向量𝑎→，𝑏→满足|𝑎→|＝|𝑏→|，则𝑎→=𝑏→；②空间任意两个单位向量必相等；③对于非零向量𝑐→，由𝑎→⋅𝑐→=𝑏→⋅𝑐→，则𝑎→=𝑏→；④在向量的数量积运算中(𝑎→⋅𝑏→)⋅𝑐→=𝑎→⋅(𝑏→⋅𝑐→)．其中假命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：①若|𝑎→|＝|𝑏→|，则𝑎→与𝑏→的模长相等，但方向不确定，只有当两个向量的方向相同时，才有𝑎→=𝑏→，即①错误；②单位向量只代表长度相等，均为1，但方向不确定，即②错误；③由平面向量的数量积可知，若𝑎→⋅𝑐→=𝑏→⋅𝑐→，则𝑎→⋅𝑐𝑜𝑠＜𝑎→，𝑐→＞=𝑏→⋅𝑐𝑜𝑠＜𝑏→，𝑐→＞，即③错误；④由于平面向量的方向无法确定，所以向量的数量积运算不满足结合律，即④错误；所以①②③④都是错误的，故选：D．4．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥nB．若m∥α，n∥α，且m⊂β，n⊂β，则α∥βC．若m∥α，n∥α，则m∥nD．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β【解答】解：A：若m⊥α，n⊥β，α⊥β，，由线面垂直，面面垂直的性质得m⊥n，∴A正确，B：若m∥α，n∥β，m⊂α，n⊂β，则α∥β或相交，∴B错误，C：若m∥α，n∥α，则m∥n或相交或异面，∴C错误，D：若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β或相交，∴D错误．故选：A．5．给出下列命题：（1）在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB；（2）设a，b，c为实数，若a＞b，则ac2＞bc2；（3）设0＜𝛼＜𝛽＜𝜋2，则α﹣β的取值范围是(−𝜋2，𝜋2)．其中，真命题的个数是（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：对于（1），在ABC中，若A＞B，则a＞b，由正弦定理𝑎𝑠𝑖𝑛𝐴=𝑏𝑠𝑖𝑛𝐵=2R，得2RsinA＞2RsinB，即sinA＞sinB成立，（1）正确；对于（2），a，b，c是实数，“a＞b，且c＝0，则ac2＝bc2”，则“a＞b”推不出“ac2＞bc2”所以（2）不正确；对于（3），设0＜𝛼＜𝛽＜𝜋2，−𝜋2＜−𝛽＜0，则α﹣β的取值范围是(−𝜋2，𝜋2)．因此（3）正确；故选：C．6．下列五个命题：①在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0），若ξ在（0，2）内取值的概率为0.4，则ξ在（0，+∞）内取值的概率为0.8；②集合A＝{x∈Z|x2+2x﹣3≤0}，B＝{x|0≤x≤2}，则A∩B的真子集个数为3；③命题“若x2﹣4x+3＝0，则x＝3”的逆否命题为“若x≠3，则x2﹣4x+3≠0”；④若(2𝑥−1√𝑥)𝑛的展开式中各项的二项式系数之和为32，则此展开式中x2项的系数为80；⑤在10道题中有7道理科题和3道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为23．其中正确的个数为（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：P（0＜ξ＜2）＝0.4，并且测量结果ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0），则P（ξ＞0）＝P（0＜ξ＜2）+P（ξ＞2）＝0.4+0.5＝0.9，故①错误；经计算可得A＝{x∈Z|x2+2x﹣3≤0}＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1}，∴A∩B＝{0，1}，则其真子集的个数为2n﹣1＝3，故②正确；原命题“若x2﹣4x+3＝0，则x＝3”的逆否命题为“若x≠3，则x2﹣4x+3≠0“，故③正确；(2𝑥−1√𝑥)𝑛的展开式中各项的二项式系数之和为32，则2n＝32，可得n＝5，𝐶5𝑟(2𝑥)5−𝑟(−1√𝑥)𝑟=(−1)𝑟25−𝑟𝐶5𝑟𝑥5−3𝑟2，令5−3𝑟2=2，解得r＝2，则展开式中x2项的系数为(−1)2×23×𝐶52=80，故④正确；在10道题中有7道理科题和3道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，在第1次抽到理科题的概率为710，第1次和第2次都抽到理科题的概率为710×69=715，∴在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为715710=23，故⑤正确．所以有四个正确的命题．故选：C．题型二.量词与命题的否定1．命题“∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞nB．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞nC．∃𝑛0∈𝑁∗，𝑓(𝑛0)∉𝑁∗且f（n0）＞n0D．∃𝑛0∈𝑁∗，𝑓(𝑛0)∈𝑁∗或f（n0）＞n0【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）≤n”的否定形式是：∃𝑛0∈𝑁∗，𝑓(𝑛0)∈𝑁∗或f（n0）＞n0．故选：D．2．已知f（x）＝sinx﹣x，命题P：∀x∈（0，𝜋2），f（x）＜0，则（）A．P是假命题，￢𝑃：∀𝑥∈(0，𝜋2)，𝑓(𝑥)≥0B．P是假命题，￢𝑃：∃𝑥0∈(0，𝜋2)，𝑓(𝑥0)≥0C．P是真命题，￢𝑃：∀𝑥∈(0，𝜋2)，𝑓(𝑥)＞0D．P是真命题，￢𝑃：∃𝑥0∈(0，𝜋2)，𝑓(𝑥0)≥0【解答】解：∵f（x）＝sinx﹣x，∴f′（x）＝cosx﹣1≤0∴f（x）是定义域上的减函数，∴f（x）≤f（0）＝0∴命题P：∀x∈（0，𝜋2），f（x）＜0，是真命题；∴该命题的否定是￢𝑃：∃𝑥0∈(0，𝜋2)，𝑓(𝑥0)≥0．故选：D．3．对于下列四个命题，其中的真命题是（）p1：∃x0∈（0，+∞），（12）𝑥0＜（13）𝑥0；p2：∃x0∈（0，1），log12x0＞𝑙𝑜𝑔13x0；p3：∀x∈（0，+∞），（12）x＞𝑙𝑜𝑔12x；p4：∀x∈（0，13），（12）x＜𝑙𝑜𝑔12x．A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4【解答】解：∵(12)𝑥(13)𝑥=（32）x，当x＞0时，（32）x＞1．即(12)𝑥(13)𝑥=（32）x＞1，即（12）x＞（13）x，则p1：∃x0∈（0，+∞），（12）𝑥0＜（13）𝑥0；为假命题，log12x0=1𝑙𝑜𝑔𝑥012，log13x0=1𝑙𝑜𝑔𝑥013，∵x0∈（0，1），∴0＜log𝑥012＜log𝑥013＜1则1𝑙𝑜𝑔𝑥012＞1𝑙𝑜𝑔𝑥013，即p2：∃x0∈（0，1），log12x0＞𝑙𝑜𝑔13x0成立，当x=12时，（12）x＞𝑙𝑜𝑔12x不成立，即p3是假命题，由图象知∀x∈（0，13），（12）x＜𝑙𝑜𝑔12x．成立，故真命题为p2，p4，故选：D．4．若命题“∃x∈R，使得x2﹣（a+1）x+4≤0”为假命题，则实数a的取值范围为（﹣5，3）．【解答】解：命题“∃x∈R，使得x2﹣（a+1）x+4≤0”为假命题，即命题“∀x∈R，使得x2﹣（a+1）x+4＞0”为真命题，则判别式△＝（a+1）2﹣4×4＜0，即△＝（a+1）2＜16，则﹣4＜a+1＜4，即﹣5＜a＜3，故答案为：（﹣5，3）．题型三.充分必要条件1．（2015•福建）若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”可能“l∥α”也可能l⊂α，反之，“l∥α”一定有“l⊥m”，所以l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的必要而不充分条件．故选：B．2．（2020•天津）设a∈R，则“a＞1”是“a2＞a”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由a2＞a，解得a＜0或a＞1，故a＞1”是“a2＞a”的充分不必要条件，故选：A．3．设a，b都是不等于1的正数，则“loga3＞logb3＞1”是“3a＜3b”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：a，b都是不等于1的正数，由loga3＞logb3＞1，得1＜a＜b＜3，∴3a＜3b；反之，由3a＜3b，得a＜b，若0＜a＜1，b＞1，则loga3＜0，故loga3＞logb3＞1不成立．∴“loga3＞logb3＞1”是“3a＜3b”的充分不必要条件．故选：B．4．设a，b是实数，则“a＞0，b＞0”是“𝑏𝑎+𝑎𝑏≥2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若a＞0，b＞0，则𝑏𝑎+𝑎𝑏≥2√𝑏𝑎⋅𝑎𝑏=2，故充分性成立，若a＜0，b＜0，满足𝑏𝑎＞0，𝑎𝑏＞0，满足𝑏𝑎+𝑎𝑏≥2√𝑏𝑎⋅𝑎𝑏=2，但a＞0，b＞0不成立，故“a＞0，b＞0”是“𝑏𝑎+𝑎𝑏≥2”的充分不必要条件，故选：A．5．在△ABC中，设命题p：𝑎𝑠𝑖𝑛𝐶=𝑏𝑠𝑖𝑛𝐴=𝑐𝑠𝑖𝑛𝐵，命题q：△ABC是等边