【新高考复习】2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第7章 §7.3　直线、平面平行的判定与性质

§7.3直线、平面平行的判定与性质考试要求从定义和公理出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并加以证明．1．线面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)l∥aa⊂αl⊄α⇒l∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)l∥αl⊂βα∩β＝b⇒l∥b2.面面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)a∥βb∥βa∩b＝Pa⊂αb⊂α⇒α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行α∥βα∩γ＝aβ∩γ＝b⇒a∥b3.平行关系中的三个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.(2)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.(3)若α∥β，a⊂α，则a∥β.微思考1．设m，l表示两条不同的直线，α表示平面，若m⊂α，l∥α，则l与m的位置关系如何？提示平行或异面．2．一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别对应平行，那么这两个平面平行吗？提示平行．可以转化为“一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行”，这就是面面平行的判定定理．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．(×)(2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条．(×)(3)若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，a∥b，则α∥β.(×)(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．(√)题组二教材改编2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为________．答案平行解析连接BD，则AC∩BD＝O，连接OE(图略)，则OE∥BD1，OE⊂平面ACE，BD1⊄平面ACE，∴BD1∥平面ACE.3．已知不重合的直线a，b和平面α，①若a∥α，b⊂α，则a∥b；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b⊂α，则a∥α；④若a∥b，a⊂α，则b∥α或b⊂α.上面命题中正确的是________(填序号)．答案④解析①若a∥α，b⊂α，则a∥b或异面，①错；②若a∥α，b∥α，则a∥b，或异面或相交，②错；③若a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α，③错；④若a∥b，a⊂α，则b∥α或b⊂α，④对．4．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，过直线AC1的平面交直线BB1于点E，交直线DD1于点F，则四边形AEC1F的形状为________．答案平行四边形解析由面面平行的性质定理可得AE∥C1F，AF∥C1E.故四边形AEC1F为平行四边形．题组三易错自纠5．已知直线a，b和平面α，β，若a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，则α，β的位置关系是____．答案平行或相交6．考查下列两个命题，在“____________”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中a，b为不同的直线，α，β为不重合的平面)，则此条件为_________________．①b⊂αa∥b⇒a∥α；②a∥bb∥α⇒a∥α.答案a⊄α解析根据线面平行的判定定理可知，判断线面平行需要三个条件：面内一线，面外一线，线线平行，分析已知中的条件，可知①缺少的条件是“a为平面α外的直线”，②同样缺少平面外直线．故答案为：a⊄α.题型一直线与平面平行的判定与性质命题点1直线与平面平行的判定例1如图，PA⊥矩形ABCD所在的平面，E，F分别为AB，PD的中点．求证：AF∥平面PCE.证明方法一如图，设M为PC的中点，连接EM，MF，∵E是AB的中点，∴AE∥CD，且AE＝12CD，又∵MF∥CD，且MF＝12CD，∴AE綊FM，∴四边形AEMF是平行四边形，∴AF∥EM，又∵AF⊄平面PCE，EM⊂平面PCE，∴AF∥平面PCE.方法二如图，设G为CD的中点，连接FG，AG，∵F，G分别为PD，CD的中点，∴FG∥PC.同理AG∥EC，又FG⊄平面PCE，AG⊄平面PCE，PC⊂平面PCE，EC⊂平面PCE，∴FG∥平面PCE，AG∥平面PCE，又FG，AG⊂平面AFG，FG∩AG＝G，∴平面AFG∥平面PCE，又AF⊂平面AFG，∴AF∥平面PCE.命题点2直线与平面平行的性质例2如图所示，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面交BD于点H.求证：PA∥GH.证明如图所示，连接AC交BD于点O，连接OM，∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，又M是PC的中点，∴PA∥OM，又OM⊂平面BMD，PA⊄平面BMD，∴PA∥平面BMD，又平面PAHG∩平面BMD＝GH，∴PA∥GH.思维升华(1)判断或证明线面平行的常用方法①利用线面平行的定义(无公共点)．②利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)．③利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β)．④利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．(2)应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线．跟踪训练1如图，四边形ABCD是矩形，P∉平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于点E，交DP于点F，求证：四边形BCFE是梯形．证明∵四边形ABCD为矩形，∴BC∥AD.∵AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，∴BC∥平面PAD.∵平面BCFE∩平面PAD＝EF，BC⊂平面BCFE，∴BC∥EF.∵AD＝BC，AD≠EF，∴BC≠EF，∴四边形BCFE是梯形．题型二平面与平面平行的判定与性质例3如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G分别为B1C1，A1B1，AB的中点．(1)求证：平面A1C1G∥平面BEF；(2)若平面A1C1G∩BC＝H，求证：H为BC的中点．证明(1)∵E，F分别为B1C1，A1B1的中点，∴EF∥A1C1，∵A1C1⊂平面A1C1G，EF⊄平面A1C1G，∴EF∥平面A1C1G，又F，G分别为A1B1，AB的中点，∴A1F＝BG，又A1F∥BG，∴四边形A1GBF为平行四边形，则BF∥A1G，∵A1G⊂平面A1C1G，BF⊄平面A1C1G，∴BF∥平面A1C1G，又EF∩BF＝F，EF，BF⊂平面BEF，∴平面A1C1G∥平面BEF.(2)∵平面ABC∥平面A1B1C1，平面A1C1G∩平面A1B1C1＝A1C1，平面A1C1G与平面ABC有公共点G，则有经过G的直线，设交BC于点H，则A1C1∥GH，得GH∥AC，∵G为AB的中点，∴H为BC的中点．思维升华证明面面平行的方法(1)面面平行的定义．(2)面面平行的判定定理．(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．跟踪训练2如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形．(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)若平面ABCD∩平面B1D1C＝直线l，证明B1D1∥l.证明(1)由题设知BB1綊DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形，所以BD∥B1D1.又BD⊄平面CD1B1，B1D1⊂平面CD1B1，所以BD∥平面CD1B1.因为A1D1綊B1C1綊BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥D1C.又A1B⊄平面CD1B1，D1C⊂平面CD1B1，所以A1B∥平面CD1B1.又因为BD∩A1B＝B，BD，A1B⊂平面A1BD，所以平面A1BD∥平面CD1B1.(2)由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1，又平面ABCD∩平面B1D1C＝直线l，平面ABCD∩平面A1BD＝直线BD，所以直线l∥直线BD，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，四边形BDD1B1为平行四边形，所以B1D1∥BD，所以B1D1∥l.题型三平行关系的综合应用例4如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD，DE＝3，AF＝1.(1)证明：平面ABF∥平面DCE；(2)在DE上是否存在一点G，使平面FBG将几何体ABCDEF分成上、下两部分的体积比为3∶5？若存在，求出点G的位置；若不存在，请说明理由．(1)证明∵DE⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD，∴DE∥AF，又DE⊂平面DCE，AF⊄平面DCE，∴AF∥平面DCE，∵四边形ABCD是正方形，AB∥CD，又CD⊂平面DCE，AB⊄平面DCE，∴AB∥平面DCE，∵AB∩AF＝A，AB⊂平面ABF，AF⊂平面ABF，∴平面ABF∥平面DCE.(2)解存在点G，满足题意，理由如下：假设存在一点G，过G作MG∥BF交EC于M，连接BG，BM，如图，由VABCDEF＝VB－ADEF＋VB－CDE＝13×3×1＋3×32＋13×3×3×32＝212，设EG＝t，则VGFBME＝VB－EFG＋VB－EGM＝212×38＝6316，设M到ED的距离为h，则h3＝EMEC＝t3－1，即h＝32t，则S△EGM＝12×t×32t＝34t2，VGFBME＝VB－EFG＋VB－EGM＝13×3×12×3×t＋13×3×34t2＝6316，即4t2＋8t－21＝0，解得t＝32，或t＝－72(舍)，则存在点G，满足EG＝32，即G为ED的中点时满足条件．思维升华解决这种数值或存在性问题的题目时，注意先给出具体的值或先假设存在，然后再证明．跟踪训练3如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分别为对角线BD，CD1上的点，且CQQD1＝BPPD＝23.(1)求证：PQ∥平面A1D1DA；(2)若R是AB上的点，ARAB的值为多少时，能使平面PQR∥平面A1D1DA？请给出证明．(1)证明连接CP并延长与DA的延长线交于M点，如图，连接MD1，因为四边形ABCD为正方形，所以BC∥AD，故△PBC∽△PDM，所以CPPM＝BPPD＝23，又因为CQQD1＝BPPD＝23，所以CQQD1＝CPPM＝23，所以PQ∥MD1.又MD1⊂平面A1D1DA，PQ⊄平面A1D1DA，故PQ∥平面A1D1DA.(2)解当ARAB的值为35时，能使平面PQR∥平面A1D1DA.如图，证明：因为ARAB＝35，即BRRA＝23，故BRRA＝BPPD.所以PR∥DA.又DA⊂平面A1D1DA，PR⊄平面A1D1DA，所以PR∥平面A1D1DA，又PQ∥平面A1D1DA，PQ∩PR＝P，PQ，PR⊂平面PQR，所以平面PQR∥平面A1D1DA.课时精练1．(2021·哈尔滨市第九中学模拟)平面α∥平面β的一个充分条件是()A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α答案D解析对于A，一条直线与两个平面都平行，两个平面不一定平行．故A不对；对于B，一个平面中的一条直线平行于另一个平面，两个平面不一定平行，故B不对；对于C，两个平面中的两条直线分别平行于另一个平面，不能保证两个平面平行，故C不对；对于D，两个平面中的两条互相异面的直线分别平行于另一个平面，可以保证两个平面平行，故D正确．2．(2021·泸州诊断)已知a，b是互不重合的直线，α，β是互不重合的平面，下列四个命题中正确的是()A．若a∥b，b⊂α，则a∥αB．若a∥α，a∥β，α∩β＝b，则a∥bC．若a∥α，α∥β，则a∥βD．若a∥α，a∥β，则α∥β答案B解析A选项，若a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α，所以A