【新高考复习】2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第7章 §7.5　空间向量及其应用

§7.5空间向量及其应用考试要求1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.4.理解直线的方向向量及平面的法向量.5.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系.6.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理．1．空间向量的有关概念名称概念表示零向量模为0的向量0单位向量长度(模)为1的向量相等向量方向相同且模相等的向量a＝b相反向量方向相反且模相等的向量a的相反向量为－a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量a∥b共面向量平行于同一个平面的向量2.空间向量中的有关定理(1)共线向量定理空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在唯一的实数λ，使得a＝λb.(2)共面向量定理共面向量定理的向量表达式：p＝xa＋yb，其中x，y∈R，a，b为不共线向量．(3)空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空间的一个基底．3．空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念①两向量的夹角已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝π2，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.②两向量的数量积已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)空间向量数量积的运算律①(λa)·b＝λ(a·b)．②交换律：a·b＝b·a.③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.4．空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．向量表示坐标表示数量积a·ba1b1＋a2b2＋a3b3共线a＝λb(b≠0，λ∈R)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模|a|a21＋a22＋a23夹角余弦值cos〈a，b〉＝a·b|a||b|(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23·b21＋b22＋b235.空间位置关系的向量表示(1)直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行(或在这条直线上)的有向线段所表示的向量，一条直线的方向向量有无数个．(2)平面的法向量直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量．(3)位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为ml∥αn⊥m⇔n·m＝0l⊥αn∥m⇔n＝λm平面α，β的法向量分别为n，mα∥βn∥m⇔n＝λmα⊥βn⊥m⇔n·m＝0微思考1．基向量和基底一样吗？0是否能作为基向量？提示不一样．基底是指一个向量组，基向量是基底中的某一个向量；因为0与其他两个非零向量共面，所以0不能作为基向量．2．用向量法证明空间的线、面垂直关系的关键是什么？提示需要确定直线的方向向量和平面的法向量，然后把证明线、面的垂直关系转化为向量间的关系．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)对于非零向量b，若a·b＝b·c，则a＝c.(×)(2)在空间直角坐标系中，在Oyz平面上的点的坐标一定是(0，b，c)．(√)(3)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反．(√)(4)任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底．(×)题组二教材改编2．若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向量是()A．{a，a＋b，a－b}B．{b，a＋b，a－b}C．{c，a＋b，a－b}D．{a＋b，a－b，a＋2b}答案C解析对于A，因为(a＋b)＋(a－b)＝2a，所以a，a＋b，a－b共面，不能构成基底，排除A；对于B，因为(a＋b)－(a－b)＝2b，所以b，a＋b，a－b共面，不能构成基底，排除B；对于D，a＋2b＝32(a＋b)－12(a－b)，所以a＋b，a－b，a＋2b共面，不能构成基底，排除D；对于C，若c，a＋b，a－b共面，则c＝λ(a＋b)＋μ(a－b)＝(λ＋μ)a＋(λ－μ)b，则a，b，c共面，与{}a，b，c为空间向量的一组基底相矛盾，故c，a＋b，a－b可以构成空间向量的一组基底．3.如图，在四面体OABC中，OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点，则MN→＝________.答案－23a＋12b＋12c解析如图，连接ON，MN→＝ON→－OM→＝12(OB→＋OC→)－23OA→＝12(b＋c)－23a＝－23a＋12b＋12c.4．设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(－2,2,1)，b＝(3，－2，m)，若l1⊥l2，则m＝________.答案10解析∵l1⊥l2，∴a⊥b，∴a·b＝－6－4＋m＝0，∴m＝10.题组三易错自纠5．向量m是直线l的方向向量，向量n是平面α的法向量，“m⊥n”是“l∥α”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析由l∥α，得m⊥n，所以m⊥n是l∥α的必要条件；而由m⊥n不一定有l∥α，也可能l⊂α，故m⊥n不是l∥α的充分条件．6．已知A，B，C三点不共线，点O为平面ABC外任意一点，若点M满足OM→＝15OA→＋45OB→＋25BC→，则点M________(填“属于”或“不属于”)平面ABC.答案属于解析∵OM→＝15OA→＋45OB→＋25BC→＝15OA→＋45OB→＋25(OC→－OB→)＝15OA→＋25OB→＋25OC→，∵15＋25＋25＝1，∴M，A，B，C四点共面．即点M∈平面ABC.题型一空间向量的线性运算1．在三棱锥O－ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重心，用基向量OA→，OB→，OC→表示OG→，则下列表示正确的是()A.14OA→＋12OB→＋13OC→B.12OA→＋12OB→＋12OC→C．－16OA→＋13OB→＋13OC→D.13OA→＋13OB→＋13OC→答案D解析MG→＝MA→＋AG→＝12OA→＋23AN→＝12OA→＋23(ON→－OA→)＝12OA→＋2312OB→＋OC→－OA→＝－16OA→＋13OB→＋13OC→.OG→＝OM→＋MG→＝12OA→－16OA→＋13OB→＋13OC→＝13OA→＋13OB→＋13OC→.2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P是C1D1的中点，且AP→＝AD→＋xAB→＋yAA1→，则实数x＋y的值为()A．－32B．－12C.12D.32答案D解析AP→＝AD→＋DD1→＋D1P→＝AD→＋AA1→＋12AB→＝AD→＋xAB→＋yAA1→，故x＝12，y＝1，所以x＋y＝32.3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M，N分别是面对角线A1B与B1D1的中点，若DA→＝a，DC→＝b，DD1→＝c，则MN→等于()A.12(c＋b－a)B.12(a＋b－c)C.12(a－c)D.12(c－a)答案D解析MN→＝MA1→＋A1N→＝12BA1→＋12A1C1—→＝12(BA→＋AA1→)＋12(A1B1—→＋B1C1—→)＝12(－b＋c)＋12(b－a)＝12(c－a)．4．在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，若AC′—→＝xAB→＋yBC→＋2zCC′—→，则x＋y＋z等于()A.52B．2C.32D.116答案A解析由空间向量的线性运算，得AC′—→＝AC→＋CC′—→＝()AB→＋BC→＋CC′—→，由题意知，AC′—→＝xAB→＋yBC→＋2zCC′—→，则x＝1，y＝1,2z＝1，z＝12，所以x＋y＋z＝1＋1＋12＝52.思维升华用基向量表示指定向量的方法(1)结合已知向量和所求向量观察图形．(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中．(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来．题型二共线向量定理、共面向量定理的应用例1已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足OM→＝13(OA→＋OB→＋OC→)．(1)判断MA→，MB→，MC→三个向量是否共面；(2)判断点M是否在平面ABC内．解(1)由题知OA→＋OB→＋OC→＝3OM→，所以OA→－OM→＝(OM→－OB→)＋(OM→－OC→)，即MA→＝BM→＋CM→＝－MB→－MC→，所以MA→，MB→，MC→共面．(2)由(1)知，MA→，MB→，MC→共面且基线过同一点M，所以M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内．思维升华证明空间四点P，M，A，B共面的方法(1)MP→＝xMA→＋yMB→；(2)对空间任一点O，OP→＝OM→＋xMA→＋yMB→；(3)对空间任一点O，OP→＝xOM→＋yOA→＋zOB→(x＋y＋z＝1)；(4)PM→∥AB→(或PA→∥MB→或PB→∥AM→)．跟踪训练1如图所示，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足AM→＝kAC1→，BN→＝kBC→(0≤k≤1)．判断向量MN→是否与向量AB→，AA1→共面．解因为AM→＝kAC1→，BN→＝kBC→，所以MN→＝MA→＋AB→＋BN→＝kC1A→＋AB→＋kBC→＝k(C1A→＋BC→)＋AB→＝k(C1A→＋B1C1—→)＋AB→＝kB1A→＋AB→＝AB→－kAB1→＝AB→－k(AA1→＋AB→)＝(1－k)AB→－kAA1→，所以由共面向量定理知向量MN→与向量AB→，AA1→共面．题型三空间向量数量积及其应用例2如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：(1)EF→·BA→；(2)EG→·BD→.解设AB→＝a，AC→＝b，AD→＝c.则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，(1)EF→＝12BD→＝12c－12a，BA→＝－a，EF→·BA→＝12c－12a·(－a)＝12a2－12a·c＝14.(2)EG→·BD→＝(EA→＋AD→＋DG→)·(AD→－AB→)＝－12AB→＋AD→＋AG→－AD→·(AD→－AB→)＝－12AB→＋12AC→＋12AD→·(AD→－AB→)＝－12a＋12b＋12c·(c－a)＝12.已知MN是正方体内切球的一条直径，点P在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则PM→·PN→的取值范围为()A.[]0，4B.[]0，2C.[]1，4D.[]1，2答案B解析设正方体内切球的球心为O，则OM＝ON＝1，PM→·PN→＝()PO→＋OM→·()PO→＋ON→＝PO→2＋PO→·()OM→＋ON→＋OM→·ON→，∵MN为球O的直径，∴OM→＋ON→＝0，OM→·ON→＝－1，∴PM→·PN→＝PO→2－1，又P在正方体表面上移动，∴当P为正方体顶点时，||PO→最大，最大值为3；当P为内切球与正方体的切点时，||PO→最小，最小值为1，∴PO→2－1∈[]0，2，即PM→·PN→的取值范围为[]0，2.思维升华由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确．跟踪训练2如图，正四面体ABCD(所有棱长均相等)的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中各棱的中点，设AB→＝a，AC→＝b，AD→＝c，试采用向量法解决下列问题