【新高考复习】2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第7章 强化训练7　空间几何体中的综合问题

强化训练7空间几何体中的综合问题1．(2021·运城景胜中学模拟)下列几何体不是旋转体的为()A．圆柱B．棱柱C．球D．圆台答案B解析由题意，圆柱、球、圆台均为旋转体，棱柱为多面体．2．关于棱台，下列说法正确的是()A．两底面可以不相似B．侧面都是全等的梯形C．侧棱长一定相等D．侧棱延长后交于一点答案D解析棱台的三个特征：①两底面相互平行且相似，②各侧棱延长后交于一点，③侧面都是梯形．3.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A⊥底面ABC，AB⊥AC，A1A＝AB＝AC＝2，那么三棱锥A1－ABC的体积是()A.43B.83C．4D．8答案A解析∵A1A⊥底面ABC，∴A1A为三棱锥A1－ABC的高，且AA1＝2，又S△ABC＝12AB·AC＝12×2×2＝2，∴1AABCV－＝13S△ABC·AA1＝13×2×2＝43.4．(2020·宁城蒙古族中学模拟)若圆锥的高等于底面圆的半径，则它的底面积与侧面积之比是()A．1∶2B．1∶3C．1∶2D.2∶3答案C解析设圆锥的底面半径为r，则高为r，母线长l＝r2＋r2＝2r，则S底＝πr2，S侧＝πrl＝2πr2，S底S侧＝πr22πr2＝12.5．已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为()A.3172B．210C.132D．310答案C解析如图所示，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.又AM＝12BC＝52，OM＝12AA1＝6，所以球O的半径R＝OA＝522＋62＝132.6.(多选)将正三棱锥P－ABC置于水平反射镜面上，得一“倒影三棱锥”P－ABC－Q，如图．下列关于该“倒影三棱锥”的说法中，正确的有()A．PQ⊥平面ABCB．若P，A，B，C在同一球面上，则Q也在该球面上C．若该“倒影三棱锥”存在外接球，则AB＝2PAD．若AB＝62PA，则PQ的中点必为“倒影三棱锥”外接球的球心答案AD解析由“倒影三棱锥”的几何特征可知PQ⊥平面ABC，A正确；当P，A，B，C在同一球面上时，若△ABC的外接圆不是球的最大圆，则点Q不在该球面上，B错误；若该“倒影三棱锥”存在外接球，则三棱锥P－ABC的外接球的半径与等边三角形ABC外接圆的半径相等，设其为R，则AB＝3R，PA＝2R，则AB＝62PA，C错误；由C的推导可知该“倒影三棱锥”外接球的球心为△ABC的中心，即PQ的中点，D正确，故选AD.7．(2021·上海新场中学模拟)若一个圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为________．答案8π解析因为轴截面是边长为4的等边三角形，所以圆锥底面半径r＝2，圆锥母线l＝4.圆锥的侧面积S＝πrl＝π×2×4＝8π.8．在梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体的体积为________．答案53π解析由题意可知几何体的直观图如图，旋转体是底面半径为1，高为2的圆柱，挖去一个底面相同，高为1的倒圆锥，几何体的体积为π×12×2－13×π×12×1＝53π.9．(2020·咸阳模拟)已知在三棱锥A－BCD中，AB，AC，AD两两垂直，且AB＝1，AC＝3，AD＝22，则三棱锥A－BCD外接球的体积为________．答案43π解析因为三棱锥侧棱AB，AC，AD两两垂直，补成长方体，如图，该长方体的三边分别为1，3，22，所以球的直径为2R＝1＋32＋222＝23，即R＝3，所以三棱锥A－BCD的外接球的体积为V＝43π×(3)3＝43π，10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为2，E是线段CD1上的动点，则AE＋DE的最小值是________．答案6＋2解析如图，取CD1的中点为P，连接AP，DP，则由AC＝AD1，DC＝DD1知，AP⊥CD1，DP⊥CD1，所以AE≥AP，DE≥DP，所以AE＋DE≥AP＋DP，在正方体中，棱长为2，所以AP＝32×2×2＝6，DP＝12×2×2＝2，故当E在线段CD1上运动，E与P重合时，AE＋DE有最小值6＋2.11.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，过顶点B，D，A1截下一个三棱锥．(1)求剩余部分的体积；(2)求点A到平面A1BD的距离．解(1)由题意，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则正方体的体积为V正方体＝a3，根据三棱锥的体积公式，可得1AABDV锥－三棱＝13·S△ABD·A1A＝13×12·AB·AD·A1A＝16a3，所以剩余部分的体积V＝V正方体－1AABDV锥－三棱＝a3－16a3＝56a3.(2)由(1)知11AABDAABDVV锥－锥－＝三棱三棱＝16a3，设点A到平面A1BD的距离为d，则111··3AAABDBDVSd－三棱锥△＝13×12×32×(2a)2×d＝36a2d，故36a2d＝16a3，解得d＝33a.12.如图所示，正四棱台AC′的高是17cm，两底面的边长分别是4cm和16cm.(1)求这个棱台的侧棱长和斜高；(2)求该棱台的侧面积与表面积．解(1)设棱台AC′两底面的中心分别是O′和O，B′C′，BC的中点分别是E′，E，连接O′O，E′E，OB，O′B′，O′E′，OE，如图所示，则四边形OBB′O′，OEE′O′都是直角梯形，且O′O＝17cm，在正方形ABCD中，BC＝16cm，则OB＝82cm，OE＝8cm，在正方形A′B′C′D′中，B′C′＝4cm，则O′B′＝22cm，O′E′＝2cm，在直角梯形O′OBB′中，BB′＝OO′2＋OB－O′B′2＝172＋82－222＝19(cm)，在直角梯形O′OEE′中，EE′＝OO′2＋OE－O′E′2＝172＋8－22＝513(cm)，即这个棱台的侧棱长为19cm，斜高为513cm.(2)S侧＝4×12×(4＋16)×513＝20013(cm2)，S表面积＝S侧＋S上底面＋S下底面＝20013＋4×4＋16×16＝(20013＋272)cm2.13．(2020·安康模拟)四棱锥P－ABCD的顶点都在球O的球面上，ABCD是边长为32的正方形，若四棱锥P－ABCD体积的最大值为54，则球O的表面积为()A．36πB．64πC．100πD．144π答案C解析设球心到平面ABCD的距离为h，球O的半径为r，根据题意得，当P到平面ABCD距离最大，即为r＋h时，四棱锥P－ABCD的体积最大，所以V＝13×32×32×(r＋h)＝54，解得r＋h＝9，又A，B，C，D都在球面上，设平面ABCD所在圆的圆心为O′，由题意得O′A＝322＋3222＝3，所以r2＝h2＋32，解得r＝5，所以表面积S＝4π×52＝100π.14.(2020·济南模拟)《九章算术》是西汉张苍等辑撰的一部数学巨著，被誉为人类数学史上的“算经之首”．书中“商功”一节记录了一种特殊的锥体，称为鳖臑(biēnào)．如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，则该三棱锥即为鳖臑．若AB＝2且三棱锥外接球的体积为36π，则PB＋AC长度的最大值是________．答案45解析设三棱锥外接球的半径为R，由体积为36π，知43πR3＝36π，即R＝3，又∵PA⊥平面ABC，AB⊥BC，∴△ABC的外接圆半径为r＝AC2，即有R2＝PA24＋AC24＝9，有PA2＋AC2＝36，而在Rt△PAB中，AB＝2，PB2＝PA2＋AB2＝PA2＋4，∴PB2＋AC2＝40，而(PB＋AC)2≤2(PB2＋AC2)＝80，当且仅当PB＝AC时等号成立，∴PB＋AC≤45.15．(2020·佛山模拟)如图，一立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4m，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处．若该小虫爬行的最短路程为42m，则圆锥底面圆的半径等于________m.答案1解析把圆锥侧面沿过点P的母线展开成如图所示的扇形，由题意OP＝4m，PP′＝42m，则cos∠POP′＝42＋42－4222×4×4＝0，且∠POP′是三角形的内角，所以∠POP′＝π2.设底面圆的半径为rm，则2πr＝π2×4，所以r＝1.16．(2020·徐州模拟)如图，已知边长为2的正方形材料ABCD，截去如图所示的阴影部分后，可焊接成一个正四棱锥的封闭容器．设∠FCB＝θ.(1)用θ表示此容器的体积；(2)当此容器的体积最大时，求tanθ的值．解(1)取BC的中点M，连接FM，连接AC交GF于N，如图．由题意知FM⊥BC，在Rt△CFM中，CF＝1cosθ.在Rt△CFN中，NFCF＝sinπ4－θ，所以NF＝22－22tanθ，所以GF＝2－2tanθ.因为CNCF＝cosπ4－θ，所以CN＝22＋22tanθ.从而S四边形GFEH＝(2－2tanθ)2，正四棱锥的高CO＝CN2－NO2＝CN2－NF2＝22＋22tanθ2－22－22tanθ2＝2·tanθ，所以正四棱锥的体积V＝13S四边形GFEH·CO＝13×(2－2tanθ)2×2×tanθ＝223(1－tanθ)2tanθ，θ∈0，π4.(2)令t＝tanθ，t∈(0,1)，则V(t)＝223(1－t2)2t＝223(t5－2t3＋t)，V′(t)＝223(5t4－6t2＋1)＝223(5t2－1)(t2－1)．令V′(t)＝0，得t＝55.当t变化时，V′(t)，V(t)的变化情况如下表：t0，555555，1V′(t)＋0－V(t)↗极大值↘所以V(t)在0，55内单调递增，在55，1内单调递减，所以V(t)在t＝55时取到最大值，此时tanθ＝15.