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强化训练8空间位置关系中的综合问题1．(2021·保山模拟)下列叙述错误的是()A．若P∈α∩β，且α∩β＝l，则P∈lB．若直线a∩b＝A，则直线a与b能确定一个平面C．三点A，B，C确定一个平面D．若A∈l，B∈l且A∈α，B∈α则l⊂α答案C解析选项A，点P是两平面的公共点，当然在交线上，故正确；选项B，由公理的推论可知，两相交直线确定一个平面，故正确；选项C，只有不共线的三点才能确定一个平面，故错误；选项D，由公理1得，直线上有两点在一个平面内，则整条直线都在平面内．2．(2021·资中模拟)若l1，l2为异面直线，直线l3与l2平行，则l1与l3的位置关系是()A．相交B．异面C．平行D．异面或相交答案D解析将直线l1，l2，l3放在正方体中，作为正方体的棱，可知D选项正确．3．(2021·潍坊模拟)已知a，b为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列结论正确的是()A．若a⊥α，b⊥a，则b∥αB．若a，b⊂α，a∥β，b∥β，则α∥βC．若a∥α，b⊥β，a∥b，则α⊥βD．若α∩β＝b，a⊂α，a⊥b，则α⊥β答案C解析A选项，若a⊥α，b⊥a，则b∥α或b⊂α，A错；B选项，若a，b⊂α，a∥β，b∥β，当a∥b时，α与β可能相交，故B错；C选项，若a∥b，b⊥β，根据线面垂直的性质，可得a⊥β，又a∥α，根据面面垂直的判定定理，可得α⊥β，故C正确；D选项，若α∩β＝b，a⊂α，a⊥b，垂直于交线，并不能推出垂直于另一平面，因此不能得出a⊥β，即不能推出α⊥β，故D错．4.(2021·合肥模拟)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D为A1B1的中点，AB＝BC＝2BB1＝2，AC＝22，则异面直线BD与AC所成的角为()A．30°B．45°C．60°D．90°答案C解析如图，取B1C1的中点E，连接BE，DE，则AC∥A1C1∥DE，所以∠BDE即为异面直线BD与AC所成的角或其补角，由已知可得BD＝DE＝BE＝2，△BDE为正三角形，所以∠BDE＝60°，所以异面直线BD与AC所成的角为60°.5．(多选)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下面结论正确的是()A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．平面ACC1A1⊥CB1D1D．异面直线AD与CB1所成的角为60°答案ABC解析对于A，∵ABCD－A1B1C1D1为正方体，∴BD∥B1D1，由线面平行的判定可得BD∥平面CB1D1，A正确；对于B，连接AC，∵ABCD－A1B1C1D1为正方体，∴BD⊥AC，且CC1⊥BD，由线面垂直的判定可得BD⊥平面ACC1，∴BD⊥AC1，B正确；对于C，由上可知BD⊥平面ACC1，又BD∥B1D1，∴B1D1⊥平面ACC1，则平面ACC1A1⊥CB1D1，C正确；对于D，异面直线AD与CB1所成的角即为直线BC与CB1所成的角为45°，D错误．故选ABC.6．(多选)如图，棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点，则下列结论正确的是()A．平面D1A1P⊥平面A1APB．∠APD1的取值范围是0，π2C．三棱锥B1－D1PC的体积为定值D．DC1⊥D1P答案ACD解析在A中，因为A1D1⊥平面A1AP，A1D1⊂平面D1A1P，所以平面D1A1P⊥平面A1AP，故A正确；在B中，当P与A1重合时，∠APD1＝π2，故B错误；在C中，因为△B1D1C的面积是定值，A1B∥平面B1D1C，所以点P到平面B1D1C的距离是定值，所以三棱锥B1－D1PC的体积为定值，故C正确；在D中，因为DC1⊥D1C，DC1⊥BC，D1C∩BC＝C，D1C，BC⊂平面BCD1A1，所以DC1⊥平面BCD1A1，又D1P⊂平面BCD1A1，所以DC1⊥D1P，故D正确．7．如图所示，在三棱锥A－BCD中，截面EFG平行于底面，且AE∶AB＝1∶3，已知△BCD的周长是18，则△EFG的周长为________．答案6解析由已知得EF∥BD，EG∥BC，FG∥DC，∴△EFG∽△BDC，∴△EFG的周长△BDC的周长＝EFBD，又∵EFBD＝AEAB＝13，∴△EFG的周长△BDC的周长＝13，∴△EFG的周长＝18×13＝6.8．(2020·天津模拟)如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥底面ABC，底面△ABC为边长为1的等边三角形，SA＝AB，则A与平面SBC的距离为________．答案217解析因为SA⊥底面ABC，所以SA⊥AB，又因为SA＝AB＝1，所以SB＝2，同理SC＝2，又因为BC＝1，所以S△SBC＝12×1×2－14＝74，因为△ABC为边长为1的等边三角形，所以S△ABC＝12×1×1－14＝34，设A与平面SBC的距离为h，则13S△SBC×h＝13×S△ABC×SA＝13S△ABC⇒h＝S△ABCS△SBC＝217.9．(2021·湛江模拟)在棱长为4的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BC和C1D1的中点，经过点A，E，F的平面把正方体ABCD－A1B1C1D1截成两部分，则截面与平面BCC1B1的交线段的长为________．答案103解析如图，过点F作FH∥AE交A1D1于H，易知D1H＝1，所以点H为A1D1的四等分点，连接AH，过点E作EP∥AH交CC1于点P，所以AA1A1H＝CPCE，解得CP＝83，故截面与平面BCC1B1交线段PE＝CE2＋CP2＝22＋832＝103.10．(2021·海淀模拟)已知正四面体A－BCD的棱长为2，点E是AD的中点，点F在线段BC上，则下面四个命题中：①∃F∈BC，EF∥AC；②∀F∈BC，EF≤3；③∃F∈BC，EF与AD不垂直；④∀F∈BC，直线EF与平面BCD夹角正弦的最大值为33.所有不正确的命题序号为________．答案①③解析如图，对∀F∈BC，EF与AC异面或相交，故①错误；当点F为BC的中点时，EF为异面直线AD和BC的公垂线段，此时EF取得最小值，当F与B，C重合时，EF取得最大值3，故②正确；因为AD⊥BE，AD⊥CE，BE∩CE＝E，所以AD⊥平面BEC，故AD⊥EF，故③错误；因为E到平面BCD的距离为定值d，设直线EF与平面BCD的夹角为θ，则sinθ＝dEF，当F为BC的中点时，易知EF为异面直线AD和BC的公垂线段，此时EF取得最小值，sinθ＝dEF有最大值，此时DF＝3，DE＝1，故EF＝3－1＝2，由Rt△EFD可知，EF·DE＝DF·d，解得d＝63，所以sinθ＝dEF＝33，故④正确．11.(2020·长春模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥DC，∠BAD＝90°，点E为PB的中点，且CD＝2AD＝2AB＝4，点F在CD上，且DF＝13FC.(1)求证：EF∥平面PAD；(2)若平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD且PA⊥PD，求三棱锥P－CEF的体积．(1)证明如图所示，取PA的中点M，连接DM，EM，因为点E为PB的中点，且CD＝2AD＝2AB＝4，所以EM∥AB且EM＝12AB＝1，因为DF＝13FC，所以DF＝14DC＝1，所以EM＝DF＝1，又因为AB∥DC，所以EM∥DF，所以四边形EMDF为平行四边形，所以EF∥DM，又DM⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD.(2)解S梯形ABFD＝12(1＋2)×2＝3，S△BCF＝12×3×2＝3，所以S△BCF＝12S梯形ABCD，因为平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，PA＝PD，取AD的中点N，连接PN，则PN⊥平面ABCD，因为PA⊥PD，所以PN＝12AD＝1，所以VP－CEF＝12VP－BCF＝14VP－ABCD＝14×13×S梯形ABCD×PN＝112×6×1＝12.12.如图，在三棱锥A－BCD中，AB＝BD＝AD＝AC＝2，△BCD是以BD为斜边的等腰直角三角形，P为AB的中点，E为BD的中点．(1)求证：AE⊥平面BCD；(2)求直线PD与平面ACD所成角的正弦值．(1)证明由题图可知，△ABD是边长为2的等边三角形，∵E为BD的中点，∴AE⊥BD，且AE＝3，如图，连接CE，∵△BCD是斜边长为2的等腰直角三角形，∴CE＝12BD＝1，在△AEC中，AC＝2，EC＝1，AE＝3，∴AC2＝AE2＋EC2，∴AE⊥EC.∵BD∩EC＝E，BD⊂平面BCD，EC⊂平面BCD，∴AE⊥平面BCD.(2)解方法一取CD的中点F，连接AF，EF，∵AC＝AD，∴CD⊥AF.由(1)可知，AE⊥CD，∵AE∩AF＝A，AE⊂平面AEF，AF⊂平面AEF，∴CD⊥平面AEF，又CD⊂平面ACD，∴平面AEF⊥平面ACD.设PD，AE相交于点G，则点G为△ABD的重心，∴AG＝DG＝23AE＝233.过点G作GH⊥AF于H，则GH⊥平面ACD，连接DH，则∠GDH为直线PD与平面ACD所成的角．易知△AGH∽△AFE，EF＝12BC＝22，AF＝142，∴GH＝AGAF·EF＝233142×22＝22121，∴sin∠GDH＝GHDG＝77，即直线PD与平面ACD所成角的正弦值为77.方法二由(1)可知AE⊥平面BCD，且CE⊥BD，∴可作如图所示的空间直角坐标系E－xyz，则A(0,0，3)，C(1,0,0)，D(0,1,0)，P0，－12，32，AD→＝(0,1，－3)，CD→＝(－1,1,0)，DP→＝0，－32，32，设平面ACD的一个法向量为n＝(x，y，z)，∴n·AD→＝0，n·CD→＝0，即y－3z＝0，－x＋y＝0，取x＝y＝1，则z＝33，∴n＝1，1，33为平面ACD的一个法向量，设PD与平面ACD所成的角为θ，则sinθ＝|n·DP→||n|·|DP→|＝77，故直线PD与平面ACD所成角的正弦值为77.13.(2021·太原模拟)如图，在正四面体D－ABC中，P∈平面DBA，则在平面DAB内过点P与直线BC成60°角的直线共有()A．0条B．1条C．2条D．3条答案C解析在平面DAB内过P点与DB或AB平行的直线都与BC成60°的角，实际上只要求得在平面DAB内过点B且与直线BC成60°角的直线的条数．在空间过点B与直线BC成60°角的直线构成以BC为轴，BD为母线的圆锥侧面，此圆锥侧面与平面DAB只有两条交线．因此满足题意的直线只有2条．14.(2020·阳泉期末)如图，在直角梯形SABC中，∠ABC＝∠BCS＝90°，过点A作AD⊥SC交SC于点D，以AD为折痕把△SAD折起，当几何体S－ABCD的体积最大时，则下列命题中正确的个数是()①AC⊥SB；②AB∥平面SCD；③SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角；④AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角．A．4B．3C．2D．1答案D解析当体积最大时，平面SAD⊥平面ABCD，如图所示，对①，若AC⊥SB又根据题意，AC⊥SD，故AC⊥平面SDB，又BD⊂平面SDB，故可得AC⊥BD，而根据题意，无法得知两直线位置关系，故不正确；对②，AB∥CD，由CD⊂平面SCD，故AB∥平面SCD，正确；对③，因为无法得知底面ABCD的边长关系，所以无法确定，故错误；对④，AB与SC所成角度为∠SCD，而DC与SA所成角度为∠SAB，两个角度显然不相等，故错误．综上所述，正确的只有②.15.《九章算术》卷第五《商功》中描述几何体“阳马”为底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥．现有阳马S－ABCD，SA⊥平面ABCD，AB＝1，AD＝3，SA＝3.BC上有一点E，使截面SDE的周长最短，则SE与CD所成角的余弦值等于________．答案24解析要使截面SDE的周长最短，则SE＋ED最短，将底面ABCD沿BC展开成平面图形A′BCD′(如图)，连接SD′，交BC于E，则SE＋ED＝SE＋ED′≥SD′，当S，E，D′共线时等号成立，此时，由AB＝1，SA＝3，得SB＝2，故SA′＝3，A′D