强化训练8空间位置关系中的综合问题1.(2021·保山模拟)下列叙述错误的是()A.若P∈α∩β,且α∩β=l,则P∈lB.若直线a∩b=A,则直线a与b能确定一个平面C.三点A,B,C确定一个平面D.若A∈l,B∈l且A∈α,B∈α则l⊂α答案C解析选项A,点P是两平面的公共点,当然在交线上,故正确;选项B,由公理的推论可知,两相交直线确定一个平面,故正确;选项C,只有不共线的三点才能确定一个平面,故错误;选项D,由公理1得,直线上有两点在一个平面内,则整条直线都在平面内.2.(2021·资中模拟)若l1,l2为异面直线,直线l3与l2平行,则l1与l3的位置关系是()A.相交B.异面C.平行D.异面或相交答案D解析将直线l1,l2,l3放在正方体中,作为正方体的棱,可知D选项正确.3.(2021·潍坊模拟)已知a,b为不同的直线,α,β为不同的平面,则下列结论正确的是()A.若a⊥α,b⊥a,则b∥αB.若a,b⊂α,a∥β,b∥β,则α∥βC.若a∥α,b⊥β,a∥b,则α⊥βD.若α∩β=b,a⊂α,a⊥b,则α⊥β答案C解析A选项,若a⊥α,b⊥a,则b∥α或b⊂α,A错;B选项,若a,b⊂α,a∥β,b∥β,当a∥b时,α与β可能相交,故B错;C选项,若a∥b,b⊥β,根据线面垂直的性质,可得a⊥β,又a∥α,根据面面垂直的判定定理,可得α⊥β,故C正确;D选项,若α∩β=b,a⊂α,a⊥b,垂直于交线,并不能推出垂直于另一平面,因此不能得出a⊥β,即不能推出α⊥β,故D错.4.(2021·合肥模拟)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D为A1B1的中点,AB=BC=2BB1=2,AC=22,则异面直线BD与AC所成的角为()A.30°B.45°C.60°D.90°答案C解析如图,取B1C1的中点E,连接BE,DE,则AC∥A1C1∥DE,所以∠BDE即为异面直线BD与AC所成的角或其补角,由已知可得BD=DE=BE=2,△BDE为正三角形,所以∠BDE=60°,所以异面直线BD与AC所成的角为60°.5.(多选)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下面结论正确的是()A.BD∥平面CB1D1B.AC1⊥BDC.平面ACC1A1⊥CB1D1D.异面直线AD与CB1所成的角为60°答案ABC解析对于A,∵ABCD-A1B1C1D1为正方体,∴BD∥B1D1,由线面平行的判定可得BD∥平面CB1D1,A正确;对于B,连接AC,∵ABCD-A1B1C1D1为正方体,∴BD⊥AC,且CC1⊥BD,由线面垂直的判定可得BD⊥平面ACC1,∴BD⊥AC1,B正确;对于C,由上可知BD⊥平面ACC1,又BD∥B1D1,∴B1D1⊥平面ACC1,则平面ACC1A1⊥CB1D1,C正确;对于D,异面直线AD与CB1所成的角即为直线BC与CB1所成的角为45°,D错误.故选ABC.6.(多选)如图,棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为线段A1B上的动点,则下列结论正确的是()A.平面D1A1P⊥平面A1APB.∠APD1的取值范围是0,π2C.三棱锥B1-D1PC的体积为定值D.DC1⊥D1P答案ACD解析在A中,因为A1D1⊥平面A1AP,A1D1⊂平面D1A1P,所以平面D1A1P⊥平面A1AP,故A正确;在B中,当P与A1重合时,∠APD1=π2,故B错误;在C中,因为△B1D1C的面积是定值,A1B∥平面B1D1C,所以点P到平面B1D1C的距离是定值,所以三棱锥B1-D1PC的体积为定值,故C正确;在D中,因为DC1⊥D1C,DC1⊥BC,D1C∩BC=C,D1C,BC⊂平面BCD1A1,所以DC1⊥平面BCD1A1,又D1P⊂平面BCD1A1,所以DC1⊥D1P,故D正确.7.如图所示,在三棱锥A-BCD中,截面EFG平行于底面,且AE∶AB=1∶3,已知△BCD的周长是18,则△EFG的周长为________.答案6解析由已知得EF∥BD,EG∥BC,FG∥DC,∴△EFG∽△BDC,∴△EFG的周长△BDC的周长=EFBD,又∵EFBD=AEAB=13,∴△EFG的周长△BDC的周长=13,∴△EFG的周长=18×13=6.8.(2020·天津模拟)如图,在三棱锥S-ABC中,SA⊥底面ABC,底面△ABC为边长为1的等边三角形,SA=AB,则A与平面SBC的距离为________.答案217解析因为SA⊥底面ABC,所以SA⊥AB,又因为SA=AB=1,所以SB=2,同理SC=2,又因为BC=1,所以S△SBC=12×1×2-14=74,因为△ABC为边长为1的等边三角形,所以S△ABC=12×1×1-14=34,设A与平面SBC的距离为h,则13S△SBC×h=13×S△ABC×SA=13S△ABC⇒h=S△ABCS△SBC=217.9.(2021·湛江模拟)在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BC和C1D1的中点,经过点A,E,F的平面把正方体ABCD-A1B1C1D1截成两部分,则截面与平面BCC1B1的交线段的长为________.答案103解析如图,过点F作FH∥AE交A1D1于H,易知D1H=1,所以点H为A1D1的四等分点,连接AH,过点E作EP∥AH交CC1于点P,所以AA1A1H=CPCE,解得CP=83,故截面与平面BCC1B1交线段PE=CE2+CP2=22+832=103.10.(2021·海淀模拟)已知正四面体A-BCD的棱长为2,点E是AD的中点,点F在线段BC上,则下面四个命题中:①∃F∈BC,EF∥AC;②∀F∈BC,EF≤3;③∃F∈BC,EF与AD不垂直;④∀F∈BC,直线EF与平面BCD夹角正弦的最大值为33.所有不正确的命题序号为________.答案①③解析如图,对∀F∈BC,EF与AC异面或相交,故①错误;当点F为BC的中点时,EF为异面直线AD和BC的公垂线段,此时EF取得最小值,当F与B,C重合时,EF取得最大值3,故②正确;因为AD⊥BE,AD⊥CE,BE∩CE=E,所以AD⊥平面BEC,故AD⊥EF,故③错误;因为E到平面BCD的距离为定值d,设直线EF与平面BCD的夹角为θ,则sinθ=dEF,当F为BC的中点时,易知EF为异面直线AD和BC的公垂线段,此时EF取得最小值,sinθ=dEF有最大值,此时DF=3,DE=1,故EF=3-1=2,由Rt△EFD可知,EF·DE=DF·d,解得d=63,所以sinθ=dEF=33,故④正确.11.(2020·长春模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为梯形,AB∥DC,∠BAD=90°,点E为PB的中点,且CD=2AD=2AB=4,点F在CD上,且DF=13FC.(1)求证:EF∥平面PAD;(2)若平面PAD⊥平面ABCD,PA=PD且PA⊥PD,求三棱锥P-CEF的体积.(1)证明如图所示,取PA的中点M,连接DM,EM,因为点E为PB的中点,且CD=2AD=2AB=4,所以EM∥AB且EM=12AB=1,因为DF=13FC,所以DF=14DC=1,所以EM=DF=1,又因为AB∥DC,所以EM∥DF,所以四边形EMDF为平行四边形,所以EF∥DM,又DM⊂平面PAD,EF⊄平面PAD,所以EF∥平面PAD.(2)解S梯形ABFD=12(1+2)×2=3,S△BCF=12×3×2=3,所以S△BCF=12S梯形ABCD,因为平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,PA=PD,取AD的中点N,连接PN,则PN⊥平面ABCD,因为PA⊥PD,所以PN=12AD=1,所以VP-CEF=12VP-BCF=14VP-ABCD=14×13×S梯形ABCD×PN=112×6×1=12.12.如图,在三棱锥A-BCD中,AB=BD=AD=AC=2,△BCD是以BD为斜边的等腰直角三角形,P为AB的中点,E为BD的中点.(1)求证:AE⊥平面BCD;(2)求直线PD与平面ACD所成角的正弦值.(1)证明由题图可知,△ABD是边长为2的等边三角形,∵E为BD的中点,∴AE⊥BD,且AE=3,如图,连接CE,∵△BCD是斜边长为2的等腰直角三角形,∴CE=12BD=1,在△AEC中,AC=2,EC=1,AE=3,∴AC2=AE2+EC2,∴AE⊥EC.∵BD∩EC=E,BD⊂平面BCD,EC⊂平面BCD,∴AE⊥平面BCD.(2)解方法一取CD的中点F,连接AF,EF,∵AC=AD,∴CD⊥AF.由(1)可知,AE⊥CD,∵AE∩AF=A,AE⊂平面AEF,AF⊂平面AEF,∴CD⊥平面AEF,又CD⊂平面ACD,∴平面AEF⊥平面ACD.设PD,AE相交于点G,则点G为△ABD的重心,∴AG=DG=23AE=233.过点G作GH⊥AF于H,则GH⊥平面ACD,连接DH,则∠GDH为直线PD与平面ACD所成的角.易知△AGH∽△AFE,EF=12BC=22,AF=142,∴GH=AGAF·EF=233142×22=22121,∴sin∠GDH=GHDG=77,即直线PD与平面ACD所成角的正弦值为77.方法二由(1)可知AE⊥平面BCD,且CE⊥BD,∴可作如图所示的空间直角坐标系E-xyz,则A(0,0,3),C(1,0,0),D(0,1,0),P0,-12,32,AD→=(0,1,-3),CD→=(-1,1,0),DP→=0,-32,32,设平面ACD的一个法向量为n=(x,y,z),∴n·AD→=0,n·CD→=0,即y-3z=0,-x+y=0,取x=y=1,则z=33,∴n=1,1,33为平面ACD的一个法向量,设PD与平面ACD所成的角为θ,则sinθ=|n·DP→||n|·|DP→|=77,故直线PD与平面ACD所成角的正弦值为77.13.(2021·太原模拟)如图,在正四面体D-ABC中,P∈平面DBA,则在平面DAB内过点P与直线BC成60°角的直线共有()A.0条B.1条C.2条D.3条答案C解析在平面DAB内过P点与DB或AB平行的直线都与BC成60°的角,实际上只要求得在平面DAB内过点B且与直线BC成60°角的直线的条数.在空间过点B与直线BC成60°角的直线构成以BC为轴,BD为母线的圆锥侧面,此圆锥侧面与平面DAB只有两条交线.因此满足题意的直线只有2条.14.(2020·阳泉期末)如图,在直角梯形SABC中,∠ABC=∠BCS=90°,过点A作AD⊥SC交SC于点D,以AD为折痕把△SAD折起,当几何体S-ABCD的体积最大时,则下列命题中正确的个数是()①AC⊥SB;②AB∥平面SCD;③SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角;④AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角.A.4B.3C.2D.1答案D解析当体积最大时,平面SAD⊥平面ABCD,如图所示,对①,若AC⊥SB又根据题意,AC⊥SD,故AC⊥平面SDB,又BD⊂平面SDB,故可得AC⊥BD,而根据题意,无法得知两直线位置关系,故不正确;对②,AB∥CD,由CD⊂平面SCD,故AB∥平面SCD,正确;对③,因为无法得知底面ABCD的边长关系,所以无法确定,故错误;对④,AB与SC所成角度为∠SCD,而DC与SA所成角度为∠SAB,两个角度显然不相等,故错误.综上所述,正确的只有②.15.《九章算术》卷第五《商功》中描述几何体“阳马”为底面为矩形,一棱垂直于底面的四棱锥.现有阳马S-ABCD,SA⊥平面ABCD,AB=1,AD=3,SA=3.BC上有一点E,使截面SDE的周长最短,则SE与CD所成角的余弦值等于________.答案24解析要使截面SDE的周长最短,则SE+ED最短,将底面ABCD沿BC展开成平面图形A′BCD′(如图),连接SD′,交BC于E,则SE+ED=SE+ED′≥SD′,当S,E,D′共线时等号成立,此时,由AB=1,SA=3,得SB=2,故SA′=3,A′D